축전기에 대한 설명글이나 강의를 보면서 ‘이래도 되나’라는 생각을 했습니다. 축전기의 원리에 대한 아무런 설명이 없다는 점 때문이어습니다. 그래서, [축전기 원리]에 관한 글을 썼지만 다시 읽어 보니 너무 어렵기만 합니다. 아무래도 처음 배울 때는 대략만 알고 익숙해지고 난 뒤 원리에 대해서도 알아보는게 나을 것 같습니다. 이글은 축전기에 대해 제대로 설명은 안했지만, 일단 문제를 풀 수 있도록 하는데 더 노력을 했습니다.
> 여기서 말하는 축전기의 충전은 우리가 알고 있는 충전식 battery 의 충전과는 성질이 많이 다르니 주의할 필요가 있습니다. 충전식 battery는 여기서 배우는 것보다 더 복잡한 현상들이 들어 있습니다. battery는 축전’지’라고 합니다. 제 느낌으로는 전지에 더 가깝다는 의미도 살짝 담겨 있습니다.
축전기
축전기는 보통 2개의 도체판으로 이루어져 있습니다. 도체판의 양단에 전압을 가하면 전하가 모입니다. 이렇게 한번 모인 전하는 가해주고 있던 전압을 떼어내더라도 모여 있는 상태가 유지가 됩니다. 이렇게 전압을 가하여 전하를 모으는 것을 충전이라고 합니다.
> 축전기를 물컵에 물을 담는 것에 비유하더군요. 전기회로를 물의 흐름으로 비유하는 것과도 연관이 있는 것 같습니다. 그렇다면 오히려 댐에 비유하는 것도 더 적당할 수 있습니다. 하지만, 모든 것이 다 비유입니다. 이런 비유는 억지로, 마구, 함부러, 적용해서는 안됩니다. (왜 비유대상처럼 안되냐고 우기는 사람들이 있어서….. )
축전기에 저장된 전하량 Q는 전압 V 에 비례하는 관계를 가지고 있습니다. 그 비례상수를 전기용량 이라고 합니다. 전기용량은 기호로 C 라고 하면, Q = CV 의 관계를 가지고 있습니다.
>물컵이든 댐이든 물의 높이 V 와 물의 양 Q 가 비례한다는 비유와 잘 어울리긴 합니다.
> 보통은 외어라고 안 하지만 여기서 Q = CV 인지, V = CQ인지는 외어야 합니다. 무엇을 C라고 할 것인가는 자연법칙이 아니라 사람이 정한약속이기 때문입니다.
하지만 주의해야 할 것이 있습니다. 여기서 V 는 축전기 양단의 걸린 전압(=전위차)을 말하는 것입니다. Q의 의미는 특별히 조심해야합니다. Q는 항상 0보다 큽니다. 전압이 V 가 걸려 있는 축전기 양단에는 각각 양전하 +Q, 음전하 -Q 전하가 있게 됩니다. 전위가 더 높은 곳에 양전하가 있습니다.
이렇게 충전된 축전기의 두 도체판사이에 +와 -전하가 있기 때문에 서로 당기는 힘이 작용합니다. 따라서, 전압을 가해주는 부분(예를 들어 건전지)을 떼어놓더라도 V = Q/C 만큼의 전위차를 유지하게 됩니다.
두 도체판 사이에 도선을 연결하면 양전하 음전하가 서로 움직여서 만날 수 있는 경로가 생기기 때문에 결국 전압이 0 이 될 수 있습니다. 이렇게 저장되었던 전하가 줄어드는 것을 보통 방전이라고 합니다.
평행판 축전기
축전기는 어떤 모양이든 상관없이 두 개의 도체만 있어도 형성되지만, 처음 배울때는 평행판 축전기를 배웁니다. 가장 간단한 모양이기 때문입니다.
거리가 d 만큼 떨어진 두 도체판에 전압 V 를 가하게 되면, 일정한 크기 E 의 전기장이 존재합니다. 물론, 두 도체판 끝 쪽으로 가면 모양이 많이 바뀌지만, d가 작으면 안쪽에 균일한 전기장 E 가 있다라고 해도 오차가 크지 않습니다. 전기장과 전압의 관계에 따라 전압 V = E d 가 됩니다. 앞에서 배운 전위 개념을 쉽게 적용할 수 있습니다.
전기장 E 가 있을 수 있는 것은 양쪽에 +Q,-Q 만큼의 전하가 있기 때문입니다. Q 값이 클수록 전기장 E 는 커지고, (Q가 같다면) 도체판의 면적 S 가 작을수록 전기장 E는 커집니다. 즉 E는 Q/S 에 비례합니다. (전하의 밀도에 비례합니다.)
평행판 축전기 전기용량
전기용량 C의 단위는 패럿(Farad)이고 [F] 라고 씁니다. 물론 C = Q/V 이므로 단위 [ C/V ] 를 대신해서 쓰는 단위입니다. 1[C]이 엄청나게 큰량을 가진 단위이기 때문에 [F]도 아주 큰 전기용량입니다. 그래서 보통은 마이크로, 나노, 피코가 앞에 붙어 있습니다.
그 다음은 전기용량이 어떻게 결정되는지 알아야 합니다. 모양이 복잡하면 힘들어지니, 두 도체판이 평행한 경우인 평행판 축전기만 살펴봅니다.
평행판의 양쪽 사이의 거리를 d, 면적 S, 유전율 \( \epsilon \) 라고 합시다. 그러면, 전기용량 \( C = \epsilon \frac{S}{d} \) 가 됩니다. 유전율은 또 일종의 비례상수같은 것입니다.
> 유전율은 물론 여기서 처음 보기 때문에 축전기에서만 사용하는 비례상수처럼 보이지만, 전자기학 곳곳에서 나타나는 숫자입니다.
아무런 물질이 없을 때 즉 진공의 유전율을 \( \epsilon_0 \) 라고 하고, 축전기 사이에 있는 물질의 유전율 \( \epsilon \) 는 \( \epsilon_0 \) 보다 큽니다. 시험문제에서는 아무런 물질이 없으면 진공이라고 생각하면 됩니다. 공기조차도 없다는 말입니다. 이 때에는 \( \epsilon \) 자리에 \( \epsilon_0 \) 를 넣으면 됩니다.
> 물론 진공의 유전율 값이 숫자로 얼마인지 값이 있지만 굳이 알 필요는 없어 알려드리지 않을 뿐입니다. 이걸 직접 넣어서 계산하도록 문제를 내는 사람은 아마도 물리전문가가 아닐 가능성이 큽니다. (공대에서는 필요할지 모르지만..) 지금도 이 값을 모르는데 왜냐면 제가 물리 문제에서 이 값이 얼마인지 알아야만 하는 순간을 만난적이 한번도 없었기 때문입니다. 그냥 물리책 앞뒤나 인터넷에 찾아보면 값이 나옵니다.
앞에서 E = V / d 라고 했고 E 는 Q / S 에 비례한다고 했으므로 Q / S는 V / d 에 비례하는 것을 알 수 있습니다. 비례상수를 \( \epsilon \) 으로 두면 \( Q / S = \epsilon V / d \) 가 될 텐데, 잘 정리하면 \( Q = \epsilon \frac{S}{d} V \)되므로 \( C = \epsilon \frac{S}{d} \) 라고 쓸 수 있습니다.
> 이 식이 중요한게 아니라, 전기용량은 유전율, 면적에 비례하고, 거리에 반비례한다는 사실이 중요합니다. 말로 길게 쓰면 까먹기 쉬우니까 식으로 적어두는 것입니다. (식만 달달 외워놓고 문제 풀때 딴 소리하는 분들이 있어서…. )
유전체와 유전 상수
일반적인 전기가 통하지 않는 부도체(종이,나무, 유리 등)를 평행판 축전기 사이를 채우면 전기용량이 커지는 현상이 있습니다. 이런 현상을 가진 물질을 유전체라고 합니다. 보통은 아무것도 없을 때(진공)에 비해 값이 커지므로 유전율 \( \epsilon \) 는 진공의 유전율 \( \epsilon_0 \)에 비해 몇배가 큰가를 생각하는게 더 편할 수 있습니다. 그래서, 새로운 용어가 또 나옵니다. 유전율 \( \epsilon = \kappa \epsilon_0 \) 라고 하여 \( \kappa \)를 유전상수라고 합니다. 보통은 1보다 큰 값이 됩니다. 유전상수는 물질의 유전율이 진공의 유전율보다 몇배로 큰가를 이야기하는 것입니다.
> 이 식만 적어도 그 뜻을 생각해야하는데 보통 그런 연습을 안하는 것 같아 다시 읽으면서 보충해두었습니다. 원래는 혼자서 식을 보고 그게 무슨뜻인지를 스스로 말할 수 있어야 합니다. 공식이라면서 외우는 사람들은 특히 새겨들어주었으면 좋겠습니다. 물리에서 진짜 공식은 몇 개 없습니다. 대부분은 자연 법칙이거나 정의를 수식으로 표현한 것입니다.
공기의 경우도 진공보다 유전율 값이 크긴 하지만 그 양이 아주 작습니다. 공기의 유전상수는 1.00059 라고 하네요. ( 종이 3, 유리판 5.6 고무 7, 메탄올 30 이라고 합니다. 출처 : [wiki] ) 당연히 공기도 유전체라고 할 수 있지만, 보통은 진공보다 눈에 띄게 커질때에만 유전체라고 말하는 경향이 있습니다.
> TMI 입니다만, wiki 자료를 보면 티탄산바륨(BaTiO3) 1200 이라고 합니다. 이렇게 유전상수가 아주 큰 물질을 강유전체라고 합니다. 강유전체는 유전상수가 클 뿐만 아니라, 외부 전기장이 없이도 큰 전기장을 만들어내는 등 자기장에 자석(강자성체)가 있다면 전기장에는 강유전체가 자석과 비슷한 능력을 가지고 있습니다. 오랜만에 강유전체를 보게 되어서 이렇게 적어 둡니다.
축전기의 전기 에너지
축전기에 전압을 가하게 되면 전기에너지가 저장됩니다. 그 에너지 양 U = \( \frac{1}{2}QV \) 입니다. 물론 \(Q =CV \) 인 점을 이용하면 U = \( \frac{1}{2}CV^2 \) 으로도 쓸 수 있고, \( \frac{Q^2}{2C} \) 로도 쓸 수 있습니다.
> 에너지를 E라고 쓰면 전기장과 헷갈리므로 여기서는 에너지를 U 라고 썼습니다. 에너지를 E라고 써야만 하는 것은 아닙니다.
축전기의 연결
축전기를 연결해서 전체 C 값을 구하는 식을 외는 것은 문제푸는데 별로 도움이 되지 않습니다. 그 이유를 알고 있는게 중요합니다. 이유도 모르고 식만 외어 풀 수 있는 문제는 잘 출제하지 않습니다. 그러니 제발 물리문제에서 식만 외면 된다는 생각은 빨리 버려야 합니다.
축전기의 연결에 관한 식도 저항의 연결이나 스프링(용수철)의 연결에서 본것과 같이 (나중에 배울 코일의 연결에서도) 병렬일 때와 직렬일 때로 쪼개서 두개로 소개하지만 그걸 외우려고 덤벼들지 마시고 무슨 원리가 들어 있는지를 깨닫는게 크게 도움이 될 것입니다. 모두 같은 원리에서 나온 식일 뿐입니다. [직렬 연결, 병렬 연결] 에 모아 두었습니다.
[전기회로에서 직렬 연결과 병렬 연결]을 구분할 때 주의할 점은 따로 글을 써두었습니다.
축전기의 직렬연결
전체의 전압은 축전기마다 각각 나누어 전압이 다르게 걸립니다. 일종의 에너지 보존 법칙이 될것 입니다. 전하량 Q는 각 축전기의 전기용량 C과 각 축전기의 전압 V 에 의해 Q = C V 로 정해 질 것입니다. 그런데, 직렬연결한 경우 축전기의 연결부분에서는 어떤 전하의 출입도 없기 때문에 전하량 보존법칙을 만족해야합니다. 즉, 총 전하량은 일정해야합니다. 보통은 총 전하량이 0 에서 시작했기 때문에 한쪽에 +Q 가 생겼다면 다른쪽은 -Q 가 생깁니다. 그래서, 직렬로 연결된 축전기의 Q 는 모두 같게 됩니다.
> 아마도 언제가는 전압을 가하기 전 전하값이 0 이 아닌 경우도 문제가 나올 때가 있을겁니다. 이런 이유를 따지지 않고 외운분들은 이런 문제가 나오면 풀지를 못합니다. 전기가 전공인 분들이 배우는 전기 회로쪽 문제에는 자주 등장하는 문제입니다.
이렇게 생각하는 방식은 평행판 축전기의 사이에 도체판을 집어넣는 경우에도 똑같이 적용됩니다.
거리가 각각 d1, d2 인 두개의 평행판 축전기를 연결하면 결국 거리가 d1 + d2 인 평행판 축전기와 같습니다.
두개를 하나로 만드는 것을 반대로 적용하면 하나를 두개로 만들 수 있다는 생각도 적용가능합니다.
이런 생각을 응용하는 것이 평행판 축전기의 일부분에 유전체를 넣는 것입니다.
축전기의 병렬연결
병렬연결된 축전기에는 모두 동일한 전압이 걸리게 됩니다. 그렇게 동일하게 전압이 걸리게 될 때 병렬연결한다고 합니다. 축전기의 각각의 전하량 Q 와 각각 전기용량 C 는 전압 V 에 따라 Q = C V 를 만족합니다. 전체의 전하량은 각 충전된 전하량의 합이 됩니다.
이렇게 되는 현상은 평행판 축전기의 면적이 증가하는 것과 같은 효과 입니다.
반대로 적용하면 평행판 축전기의 양쪽 도체판을 잘라내어 면적이 각각 S1,S2 인 두 개의 평행판 축전기를 병렬연결하는 것입니다. 이 둘은 같은 현상을 보입니다.
따라서 이렇게 일부의 영역에만 유전체를 채워 넣을 때의 문제를 풀때는 이렇게 나누기 하면 됩니다.
Q and A
이렇게 설명하면 온갖 이상한 생각을 많이 하는 것 같습니다. 궁금하게 생각할 만한 것을 미리 예상해 보았습니다.
건전지는 전류를 흐르게 하는 장치 아닌가?
==> 건전지는 전류를 흐르게 하는 장치가 아니고, 일정한 전압을 유지하게 하는 장치이다. 처음 배울때 저항을 붙이는 것에 익숙해져서서 건전지를 전류를 흐르게 하는 장치로 착각하는 사람이 많다. 전류가 흐를지 말지는 건전지에 붙이는 전자 소자가 뭔가에 달려 있다. 저항은 양단에 전압차이가 있으면 전류가 흐른다. (심지어 저항도 양단에 전압차이가 없으면 전류가 흐르지 않는다.) 저항 말고 처음으로 다른 소자를 배우는게 축전기이다. 축전기는 이상적으로는 직류 전류는 흐르지 않는 소자이다.
그래도, 전류가 흘러야 충전이 되는것 아닌가?
==> 처음 충전될때 아주 잠깐 전류가 흐른다. 도선을 연결할 때 도선의 저항이 0 이라고 가정하고 있기 때문에 그 시간이 0초 동안 전류가 흐른다. 즉, 순간적으로 전하가 이동하고 전류는 무한대값을 가진다. 전류가 흐르는 것을 보고 싶다면 중간에 저항을 넣어야 한다. 저항값이 클수록 전류가 흐르는 시간은 길어지고, 전류값은 작아진다. 전류값과 전류가 흐르는 시간을 곱한 값이 결국 충전된 전하량과 관계있다. 전류의 단위인 [A]는 [C/s]이니 당연하지 않은가?
축전기의 충전에서 축전기의 전압이 건전지의 전압이 같아질 때까지 전하가 충전된다.
==> 그렇다고 축전기에 전하가 들어가는 용량이 있는게 아니다. 전압이 더 높은 건전지를 붙이면 더 축전기의 전압은 더 높아지고, 전하량은 더 커진다. 반대로 충전된 전압보다 더 낮은 건전지를 붙이면 오히려 방전이 일어나고 충전된 전하량은 줄어든다. 우리가 쓰는 battery 도 비슷한 일이 일어나지만 원하는 전압보다 더 높은 전압을 가하면 큰일이 날 수 있다. (어떤 것은 불이 나기도 한다. ) 그래서, 전압을 더이상 올리도록 장치를 만들어 두었다. 시중에 사용하는 battery는 전압을 정해 놓고 쓰기 때문에 용량이 정해진 것처럼 말할 수 있는 것이다. 이상적인 경우를 말하는 것이므로 지금 배우는 축전기는 전하가 들어가는 용량(전하량)은 얼마든지 바뀔 수 있다.
축전기에는 왜 양전하와 음전하가 양쪽으로 생기는가? 건전지에서 이동하는 것은 전자인데…
==> 축전기에도 전하량 보존 법칙을 만족해야 한다. 처음에 아무런 전하가 없었다는 것은 총전하량이 0 이고, 건전지 음극에서 전자가 나온 것이 축전기에 쌓였다면 총전하량이 0 이 되기 위해 어딘가에서 전자가 빠져나오거나 양전하가 들어와야한다.
뿐만 아니라, 건전지에서 음극에서 전자가 나오는 것만 생각하는데, 동시에 양극으로 전자가 들어가는 현상도 같이 생겨야 한다. 그게 전하량 보존 법칙이다. 물이 흐르는 모형을 쓰는 것도 물이 나오는 만큼 동시에 들어가는 현상이 있는 모델이어야 현실에 어느정도 맞는 모델이다. 건전지를 컵에서 물을 부어내는 주전차처럼 생각하면 현실에 맞지 않는다. 끊임없이 물이채워지는 주전자여야 한다.
축전기와 관련된 기본내용들을 대충 정리했습니다. 이제 축전기의 원리에 대해 제대로 배워보아야겠다고 생각하신다면 ==> [축전기 원리]
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EBS 수능 문제 9065-0102 가 빠져서 이상한가요? 제 생각으로는 이 문제는 범위 밖입니다.
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