물리하면 생각나는 식인데, 이것부터 잘 모르면 앞으로 이야기하는데 많은 것들이 엉키게됩니다. 게시판에 질문을 하나 받은게 있어 어떻게 답을 해야하나 많이 고민하다가 살펴보니, 제가 쓴 글이 없군요. 내용은 [힘과 뉴턴의 법칙], [뉴턴의 법칙]에서 잘 배웠다고 치고, 그렇게 잘 배웠는데도 제대로 이해가 안 된 분들을 위해 이야기 하도록 하겠습니다.
관성의 법칙이 필요없는거 아닐까?
F=ma 에서 F=0 이면 a = 0 이 되므로, F=ma만 있어도 충분히 뉴턴의 1법칙이라고 부르는 [관성의 법칙]을 설명할 수 있습니다. 근데 왜 굳이, 귀찮게, 관성의 법칙을 따로 부르고 있을까요? 제가 대학교 1학년일 때 문득 든 생각입니다. 궁금해서 누군가에게는 물어보기에 너무 창피한 질문같아서 그냥 혼자 생각만 했습니다. (왜 우리나라 사람들은 모르는 것을 물어보는게 창피하고 부끄럽다고 생각할까요?)
가장 중요한 것이 관성의 법칙에는 질량(m)이란 개념이 전혀 필요없다는 점입니다. 다시 말하면 질량이란 개념은 뉴턴의 2법칙 즉, F = ma 에서 처음 등장한다는 것이지요. F=ma 를 배우기전 관성의 법칙을 배울 때면 운동을 어떻게 기술하는지 (즉, 시간, 위치, 속도, 속력, 가속도가 무엇인지) 알고 있어야 합니다. 그리고, 힘이 무엇인지도 알고 있는 상태입니다. (관성이란 것을 배웠지만) 아직 질량이 무엇인지에 대해서만 모르고 있는 것이죠. F = ma 에서 단순히 힘을 가하면 가속도가 생긴다고만 알고 있다면 반쪽만 배운 것입니다. 또 확실히 알아야 하는게 질량이지요. 즉 질량은 가해준 힘에 따라 가속도가 큰 것이 있을 수도 작은 것이 있을 수도 있는데, 만약 동일한 힘을 가했을 때 가속도가 크다면 질량이 작고, 가속도가 작다면 질량이 크다는 것도 말해준다는 것입니다. 교과서 순서로 따진다면 질량이 무엇인지를 처음 이야기 하는 것이고 질량 m = F / a 란 의미입니다.
> 그런데, F=m a 이런식으로 표현이 너무 익숙해서 너무 중요한 사실을 잊고 있어서 일부로 좀 다시 써 보았습니다. 그와 더불어 F=m a 는 잘못된 것이고 a = F / m 이 맞다고 주장하는 사례를 많이 보았는데 글쎄요… 저는 거기에 동의하기 힘듭니다. 그 주장은 반쪽만 강조하는 것으로 보입니다.
F = ma 란 법칙이 존재한다는 말에서 항상 ‘힘을 가하면’ 이란 조건에만 익숙한 것 같은데, 가속 운동을 하고 있는 어떤 물체가 있다면 그것은 어떤 힘을 받고 있다라고 말할 수 있다는 점을 잊으면 안됩니다. ‘힘’을 물체의 운동의 변화나 상태 변화를 일으키는 원인으로 배웠으니 운동이 인과관계가 있는 것 처럼 생각하지만 F=ma 만 보면 거꾸로 운동의 변화가 있다면 힘을 받는다고 생각할 수 있습니다. ‘운동의 변화’ 와 ‘힘’이 인과관계인가요? 그냥 동시 관계아닌가요?
> 운동의 변화는 가속도를 대체한 말이기도 합니다. [관성의 법칙]에서 ‘운동의 변화가 없다’란 말이 등속운동 즉, 가속도가 0 인 운동이라고 아주 강조해서 이야기 했습니다.
> 제가 여러군데에서 이야기하고 있는데, 물리를 처음 배우기 때문에 힘을 중요시 여기지만 물리학자들은 별루 힘에 대해서는 관심없습니다. 대략 200년 전 쯤에 힘 개념없이도 물체의 운동 문제를 잘 풀 수 있게 이론 정비를 해두었습니다. (심지어 제가 어디서 전해들은 바로는 뉴턴도 F=ma 라고 말한 적이 없다라고 하더군요. 사실인지는 모르겠지만… 또한 양자역학 배우면 아시겠지만 그 세계에서 힘에 대해서 물어보는 일이 없습니다.) 그러니, 제가 물음표 던진 질문에 대해서 너무 고민할 필요없습니다.
질량과 무게
자 질량이 뭔지는 정확히 모르겠지만 질량의 크기를 구하는 법은 이제 알게 되었습니다. 물체가 가속운동을 하고 있다면 그 물체는 반드시 힘을 받고 있습니다. 거꾸로 그 물체가 힘을 받는다면 가속도값을 가지게 될 것입니다. 그러니 그 값을 나누어 주면 즉, F/a 를 하면 질량값을 구할 수 있습니다.
교과서 순서는 분명 그러합니다. 그러나, 가속도의 크기를 구하는 방법은 앞의 시간에서 배운 바와 같이 시간과 위치를 잘 분석하면 알 수 있는데, 힘의 크기를 구하는 방법에 대해서는 배운 바가 없습니다. 1N 이 무엇이다라고 정확히 알고 있다면, 예를 들어 8N의 힘을 받을 때 물체가 2m/s^2 의 가속도로 운동한다면 물체의 질량은 4kg 이고, 그 물체가 1m/s^2 의 가속도로 운동한다면 물체의 질량이 8kg 인지 알 수 있을 것입니다. 한번 더 해 보면 2m/s^2으로 운동하는 물체가 받는 힘이 4N 이라면 이 물체의 질량이 2kg 이고, 받는 힘이 8N 이라면 4kg 인 것을 알 수 있습니다. 그…런…데… 1N 이 무엇이다라고 정해둔 적이 없다는 것입니다.
오히려 현재 물리학은 질량값에 대한 정의를 먼저 하는 쪽으로 시작한다는 것입니다. 질량이 뭔지는 정확히 모르겠지만, 일단 1kg 의 질량이란 양을 먼저 정해 두었다는 것입니다. [단위와 차원]에서 한 번 언급한 것과 같이 질량을 기본 단위로 정했습니다.
> 물리학자들이 힘에 대해서 관심이 별로 없다고 한 것과 일맥 상통하지요. 이렇게 힘을 기본 단위로 사용하지 않습니다.
따…라…서… 교과서에서는 1N 이란 힘은 1kg 의 질량을 가진 물체를 1m/s^2 의 가속도를 가지게 하는 량이라고 설명하고 있고, 심지어 F = ma 라고 하니, 뉴턴의 2법칙이 힘을 정의하는 법칙처럼 보인다는 점입니다.
앞에서 말한 바와 같이 질량이란 개념을 처음 소개하는 곳이기도 하고, 힘 개념을 처음 소개하는 것이 아니라 힘의 크기를 어떻게 정할지를 가르쳐 주는 곳이기도 합니다.
> 교과서는 질량은 어쩌꾸 저쩌구 ~~ 라고 설명하면서 시작하는게 아니라 힘은 어쩌구 저쩌구 ~~ 라고 설명하면서 시작합니다. (중학교 과정 힘 참조 ) 제생각에는 그래야 우리가 배우기가 좋기 때문으로 보입니다. 우리의 감각기관이 질량을 느끼는게 아니라 힘을 느끼기 때문에 훨씬 더 직관적인 접근법입니다.
문…제… 는 kg 란 단위는 우리 일상생활에서 널리 쓰이고 있어서 마치 잘 알고 있다고 착각한다는 점입니다.
여러분의 몸무게는 얼마인가요? ‘저는 60kg 입니다.’라고 말합니다. (거짓말입니다. ㅋㅋ) 그래서, 무게가 질량을 말하는 것으로 착각하고 있다는 것이지요. 물리학 교과서를 따라 말하면 ‘저는 60kgf 입니다.’라고 말해야 한다는 것입니다. kgf 는 1kg의 질량을 가진 물체가 받는 중력의 크기, 즉 힘의 크기입니다. ‘kgf’ 대신 ‘kg중’ 이라고도 합니다. 즉 몸무게는 힘의 크기를 말하는 것이지 중력의 크기를 말하는 게 아닙니다. 앞에서 말한 질량값을 구하는 방법과 같이 힘을 얼마나 받았을 때 가속도가 얼마가 되는지 확인해서 측정한 값이 아니라 그냥 중력의 크기를 측정한 값입니다. 무게란 힘의 크기를 말하는 것이니까 질량과는 엄연히 다른 개념입니다.
물론 교과서에서 보았습니다. 기억이 나는 것 같습니다. 그게 무게이든 질량이든 뭐가 문제입니까라고 반문할 수 있다는 것입니다. 우리 일상생활에서는 전혀 중요하지 않습니다. 그러니까, 일상생활에서는 무게이든 질량이든 개념 구분없이 그냥 쓰는 것이고 그렇다고 뭐라고 하는 물리학자도 없습니다.
이 개념의 차이는 좀 특별한 곳에 가야 확실히 드러납니다. 몸무게가 60kgf 인 사람의 질량이 60kg 이므로 1m/s^2 의 가속도로 움직이고 있다면 60N의 힘을 받는 것이 확실합니다. 그 사람이 달에 가면 몸무게가 60kgf 가 아니라 10kgf 밖에 안나온다는 것입니다. 저울이 고장나서가 아니라 달의 중력이 약해서입니다. 하지만 그 사람은 달에서도 여전히 1m/s^2 의 가속도로 움직이기 위해서는 60N의 힘이 필요합니다.
> 언제가 달여행을 하실일이 생긴다면 반드시 저울을 하나 들고 가서 몸무게를 재어보세요. 제가 달여행 상품을 만든다면 반드시 무료로 저울을 드리도록 하겠습니다. ^^
정리하면 이렇습니다. 질량은 물체의 고유한 값입니다. 지구에서든 달에서든 동일한 값을 가지는 양입니다. 그러나 무게는 중력이란 힘을 말하는 값입니다. 그래서 지구에서와 달에서 그 값이 다릅니다. 예를 들어 질량이 60kg 인 물체는 지구나 달에서 모두 60kg 으로 값이 같지만, 지구에서는 60kgf ~ 600N 의 힘을 받지만, 달에서는 10kgf ~ 100N의 힘을 받습니다. 확실히 다른 양입니다.
관성 질량, 중력 질량
그냥 말 나온김에 더 써봅니다. 제가 앞에서 질량이 어떤 개념인지 잘 모른다고 했습니다. 모르는 척하는게 아니라 사실 잘 모릅니다. 우리가 F = m a 란 법칙을 이용해서 정한 질량개념을 관성질량이라고 합니다. 관성의 법칙에서 말하는 그 관성을 나타내는 양입니다. 하지만, 이 값을 정의 그대로 측정하지 않고 보통은 저울 위에 올려서 또는 천칭에 올려서 측정합니다. 이렇게 중력의 도움을 받아서 측정한 질량을 중력질량이라고 합니다.
> 중력의 도움을 받는다고 하는 이유는 중력이 없는 곳에서는 이런 방법으로는 도저히 질량을 측정할 수 없습니다.
저울이 가르키는 눈금은 중력의 크기를 말해줍니다. 대략 중력이 600N 이란 값이 나왔다면( 즉 60kgf 란 값이 나왔다면) 그 물체는 60kg 일거라고 추정하는 것입니다. 물론 달에서는 100N 이란 값이 나왔다면 (즉 10kf 란 값이 나왔다면) 그 물체의 질량은 60kg 일거라고 추정하는 것입니다. 그런데 이렇게 중력의 도움을 받아서 측정한 질량값이란 관성의 법칙과 F = ma 에서 통용되는 방법으로 측정한 값이 다른 적이 한 번 도 없다는 점이 특이합니다. (등가 원리라고 합니다.) 왜 그런지 저는 잘 모릅니다. 그러니, 질량이 무엇인지 잘 모르겠다는 것입니다. 여러분도 왜 그런지 궁금한가요? 그럼 열심히 연구해 보십시오.
어떤 사람은 그게 왜 그런지 연구하지 않고 그냥 받아 들인 다음 아주 놀라운 결론을 내립니다. 관성질량과 중력질량은 항상 같다라고 합시다. 이건 어떤 이유도 근원도 없이 그냥 받아들여야 한다고 생각할 쯤되는 당연한 것이라고 합시다. (이쯤될 때는 법칙이라고 부르지 않고 원리라고 부릅니다.) 그래서 관성질량과 중력질량은 같다는 등가 원리가 있다고 합시다. 그것을 받아들이고 알고 있는 모든 지식들을 동원해서 질량이 없는 빛이 중력이 강한 곳을 지나가면 휘어서 움직이게 된다는 예측한 사람 [아인슈타인] 이 있고, 실제로 그 예측값이 잘 맞더라까지 측정까지 한 사람 [에딩턴] 이 있습니다. 혹시 열심히 연구해야지 결심하기 전에 이 사람들이 한 일 정도는 알고 계시라고 소개합니다.
> 중력질량과 관성질량이 구분이 안되더라로 너무 좌절할 필요는 없습니다. 교과서에서는 당연히 구분이 잘 안되게 설명하고 있고, 구분한다고 하더라도 결과적으로 한번도 다른 것을 발견한적이 없기 때문에 의미가 없습니다. 그러나, 머리속 상상으로는 충분히 구분이 가능하다는 것을 이야기하는 것입니다. 전자기학시간에 질량이 동일하더라도 전하량이 다를 수 있는 것처럼, 중력시간에 질량이 동일하더라도 ‘중력량’이 다를 수 있다고 시작해서 설명할 수 있을텐데, 현실에서는 질량이 동일하면 ‘중력량’이 항상 동일하다고 알려져 있습니다. 그러니, ‘중력량’ 이란 개념을 아예 처음 부터 쓰지 않습니다. 굳이 구분하자면 ‘중력량’ 이란 것이 가능한데, 이것이 위에서 말한 중력질량이란 개념입니다.
알짜힘
그리고, 또 중요한 것은 F = ma 를 배울 때 F 는 우리가 가해준 힘을 말하는게 아닙니다. 저울위에 60kg 의 물체를 올려두었을 때 받는 중력을 말하는 것도 아닙니다. 이게 뭔 말인냐구요?
저울 위에 60kg 의 질량을 가진 물체를 올려두면 중력이 가한 힘이 60kgf ~ 600N 이 나옵니다. 그럼, 그 물체의 가속도는 10m/s^2 인가요? 아닙니다. 그 물체는 가만히 정지한 상태로 있습니다. 그 물체의 속도는 0 이고, 그 물체의 가속도는 0 입니다. 뉴턴의 2법칙이 맞다면 F = m a = 60[kg] * 0 [m/s^2] = 0 [N] 입니다. 그러니까, F = 0 입니다. 60kgf 가 아니라 0 입니다. 힘을 가해주면 물체가 가속되고 어쩌구 저쩌구 해놓고 이제 와서 왜 딴 소리를 하냐구요?
힘을 가해주면 물체가 가속한다는 말은 “다른 힘은 존재하지 않고 오로그 그 힘만을 가해주면”이란 말이 들어 있는데, 보통 그렇게 길게 설명하지 않습니다. 그러니 여러분이 착각하고 있었다면 가르쳐 주신분의 실수입니다. 그래서, 앞 부분 조금 읽다가 나간 사람은 잘 못 알고 있는 상태로 그냥 나간 것이지만 다행히 여러분은 그림하나 없는 긴 글을 읽고 계시는군요.
다시 저울 위의 60kg의 물체를 봅시다. 무엇을 어떻게 고쳐야 할까요? 중력이 0 이라고 할까요? 뉴턴의 법칙이 틀렸다고 할까요?
저는 제 3의 길로 가겠습니다. 중력은 60kgf 로 여전히 존재하고 뉴턴의 법칙도 여전히 맞다고 생각하겠습니다. 그렇다면 내릴 수 있는 다른 결론은 우리가 모르고 있는 어떤 힘이 가해져서 중력과 반대방향으로 60kgf 의 힘을 가하고 있구나 하는 결론입니다. 우리가 모르고 있는 어떤 힘은 [수직항력]편에서 다룹니다.
F=ma 에서 말하는 F 는 우리가 알든 알지 못하든 어쨌든 그 물체에 가해지는 모든 힘의 합을 말합니다. 어떤 힘을 합친 값을 합력이라고 합니다. 여기서 F 는 단순한 합력이 아니라 모..든.. 힘을 합친 합력입니다.
총…. 합력입니다. 영어로는 net force 라고 합니다. 다른 학문에서도 “net” 이 들어간 용어 들이 많이 있습니다. 보통 “총”~~ 라고 번역하더라구요. 이 표현을 한글화 하면서 나온 용어가 알짜힘입니다. ‘알짜배기’할 때 그 알짜 입니다. 운동의 변화량을 알 수 있는 알짜배기 힘이란 의미도 될 수 있겠죠. 조금 어색하긴 해도 익숙해지니까 정겹기도 합니다. (물리 용어 한글화하면서 살아남은 몇몇의 용어입니다.) 그래서, 영어로 된 물리학 책에는 F = ma 라고 하지 않고 F_net = ma 라고 하는 교과서도 있습니다. 정확히는 이렇게 쓰는 것이 혼동의 여지가 없습니다.
다시 저울의 사례로 돌아가 봅시다. 60kg 질량을 가진 물체를 저울에 가만히 올려두면 중력 60kgf 를 받고 우리가 잘 모르지만 나중에 배울 수직항력 60kgf 를 받고 있어 이 힘들의 총 합력은 0 이 됩니다. 알짜힘이 0입니다 따라서, 뉴턴의 2법칙 F= ma 에 따라 이 물체의 가속도는 0 이 될 것임을 예측할 수 있고, 그러므로 정지 할 것인지는 모르겠지만 속력이 변화하지 않을 것임을 예측할 수 있습니다. 그래서, 뉴턴의 법칙을 만족하는 지구에서는 중력이 존재하고, 그 물체를 저울에 올려 놓아서 물체가 저울에 닿는 순간 수직항력이 저울면의 수직으로 작용하는데 우리가 손을 떼게 되면 그 크기는 중력이랑 같은 값이 되므로 수직방향으로는 가속도가 0 이고, 가만히 놓으면서 속력도 0 이 되도록 했기 때문에 속력도 0으로 정지하여 있습니다.
> 물체를 저울에 올려놓는 걸 이렇게 길게 이야히 해야하다니……
그런데, 만약 누군가가 옆에서 이 물체를 10N 의 힘으로 밀게 되면 중력, 수직항력, 옆에서 민 힘의 합력 즉 모든 힘의 합인 알짜힘의 크기는 10N 만 남게 되므로 이물체는 a = F / m = 10 [N]/ 60 [kg] = 1/6 [m/s^2]의 가속도로 움직이고 있을 것입니다.
> 가속도를 가지게 되면 속력은 점점 더 빨라지고 있는 것입니다. 옆에서 10N 을 더 이상 가하지 않으면 (힘을 주지 않으면) 가속도는 0 이 되고, 속력은 변화하지 않기 때문에 힘을 가하지 않은 순간의 그 물체의 속력으로 움직일 것입니다.
정리
제가 지쳐서 여러분이 잘 정리해 보시길 바랍니다. 긴 글 읽느라 수고 하셨습니다.
> 이 글을 쓴 날 대략 2시간 쯤 안 쉬고 타이핑했던 것으로 기억합니다.
검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.
다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.
구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.