정상파 - 수험생 물리

정상파에 대해서는 이미 약간 배운바있다고 가정하고 글을 쓰겠습니다.
고등학교 물리1, 물리2 에서 다룬 것과 다른 것은 없습니다. ( 정상파를 처음 들어보는 분은 클릭해서 먼저 살펴보세요.)
정상파를 배울때는 파동의 독립성 또는 중첩의 원리를 알아야 합니다. 파동과 파동이 만났을 때 각각의 진동이 독립적으로 진행하고, 그 진동의 변위는 각각 더해주면 됩니다.

정상파 함수 표현

— 짓궂은 출제위원이 이런 걸 묻더라구요.

정상파는 진폭, 파장, 주기가 같고 단지 진행 방향만 반대인 두 파동이 만나면 일어나는 일을 다루는 것입니다. sin 함수 표현은 기억하시겠죠. 결론은 아래와 같았습니다. 각 기호의 정의는 클릭해서 살펴보세요.

$y (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$
$y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( x / \lambda - t / T))$
$y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( k \cdot x - f \cdot t))$

이중 제일 처음 것을 이용하겠습니다.

한 파동이 $y_r (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$ 라면 또 다른 나머지 한 파동은 진폭,파장, 주기는 같고 진행방향이 반대라고 했으니, $y_l (x, t) = A \sin ( \kappa x + \omega t)$ 가 됩니다. 두 파동이 만난 경우라면 중첩의 원리상 그냥 두 함수를 더한 것이 최종 모습이 됩니다.
$y (x, t) = y_r (x, t) + y_l (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t) + A \sin ( \kappa x + \omega t)$
고등학교 수학시간에 이런 sin 함수의 합을 곱으로 나타낼 수 있는게 있었죠. ㅠㅠ 기억이 안 날게 뻔하므로 링크 걸어드립니다. ( 물론 $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 를 이용하면 결과를 찾을 수도 있습니다.시간은 좀 걸리겠지만 )
$\sin (A+B) + \sin (A-B) = 2 \sin A \cos B$ 랍니다.
그래서, 위의 함수는
$y (x, t) = 2A \sin ( \kappa x ) \cos (\omega t)$
가 됩니다.
제가 좋아하는 파장과 주기 표현으로 바꾸면
$y (x, t) = 2A \sin ( 2 \pi ( x / \lambda ) ) \cos ( 2 \pi (t / T) )$
가 됩니다.

이걸 그릴 수 있겠습니까? 이건 파동 하나만 있는 것 보다 훨씬 그리기가 편합니다. sin 함수와 cos 함수의 곱입니다.
시간에 따라 변해가는 것을 그리면 t=0 일 때도 sin 함수, t = 0.01 일 때도 sin 함수, t = 0.1T 일 때도 sin 함수……. 좌우로도 움직이지 않고 그냥 x=0일 때는 항상 0, x = $\lambda /2$ 일 때도 항상 0, … x = $\lambda /2$ 의 정수배이기만 하면 항상 0 인 sin 함수를 그리면 됩니다. 대신, 얼마나 높이 올라가느냐는 t 가 주어졌을 때 cos 값을 곱해주면 됩니다. 특이하게도 cos 값이 0 인 경우는 순간적으로 아무일 없는 것처럼 보일 때도 있겠네요.( 물리1 에서 그린 것이라 제가 따로 안 그립니다. 언젠가 능력될 때 시뮬레이션으로 보여드리겠습니다. 그 때까지는 이렇게 말로 궁시렁 거리는 것을 양해 바랍니다.)

정상파의 마디는 항상 0 이 나오는 지점입니다. 배는 마디와 마디 사이가 되고, 배의 진폭은 기본 파동의 두배가 되겠네요.
마디가 되는 지점이 $\frac{\lambda}{2}$ , $\frac{2 \lambda}{2}$ , $\frac{3 \lambda}{2}$ … 되어 $\frac{n \lambda}{2}$ (n 은 자연수) 입니다.
배가 되는 지점은 마디와 마디 사이가 이므로, 배가 되는 지점은 $\frac{\lambda}{4}$ , $\frac{3 \lambda}{4}$ , $\frac{5 \lambda}{4}$ …. 으로 $\frac{\lambda}{4}$ 의 홀수배가 됩니다. $\frac{(2n- 1) \lambda}{4}$ (n 은 자연수)입니다.

파동의 진행은 위상이 동일한 지점이 움직이는 것인데, 여기서는 파동이 진행하는게 보이지 않습니다. 정상파(定常波)는 한자로 보면 정상(正常), 비정상(非正常)이 아니라 상(常)이 정(定)해져 있는 파란 뜻입니다. 마디가 되는 지점이 딱 정해져 있지요. 영어로는 standing wave 라고 합니다. 진행하지 않고 서 있는 파동입니다.

여기까지는 별 특별한 제약이 없습니다. (물론 파장과 주기사이의 관계는 파동의 진행 속력에 의해 정해지지만) 파장과 주기가 얼마이든 상관없이 벌어지는 일입니다. 특별한 일은 길이가 유한곳에서 일어나는 일입니다. 이게 시험에서 자주 나오는 상황입니다.

줄에서 정상파

우리가 실험에서 볼 줄은 길이가 정해져 있습니다. 약간 팽팽하게 만들어 한 쪽 끝을 고정시켜 묶어둡니다. 그리고, 줄에 진동을 만들어 주면 진동이 곧 파동이 되고, 묶여있는 곳에서 반사를 일으킬 것입니다. 우리가 흔들어준 파동과 반사된 파동이 (이론적으로는) 진폭과 파장과 진동수가 동일하지만 진행방향이 서로 반대이 파동이 될 것입니다. 금방 앞에서 배운 정상파를 이루게 될 것입니다.

동영상을 보시죠. 두개는 같은 실험입니다.

(이건 움직이는 손이 보여서)

(이건 슬로우모션이 있어서)

앞에서 말한 정상파를 함수로 표현하거랑 유사하게 나오는 것 같습니까?
위에서 말한 것과 가장 큰 차이는 파장과 주기가 일정한 조건을 만족해야만 정상파가 가능하다는 점입니다. 한쪽으로 흔들어주기 위해서 한쪽을 고정 시킬 수 없었는데, 만약 양쪽을 모두 고정시키고 흔들수 있다면 더 설명하기가 편합니다.

(이건 기계가 흔들고 있어서 얼마나 열심히 흔들어주는지 감이 안 생깁니다.)

양쪽 끝은 고정이 되어 있는 곳에서 정상파가 생기면, 양쪽 끝이 곧 마디가 되어야 합니다. 줄의 길이가 $l$ 이라고 하면, $l = \lambda /2$ , $l = 2 \cdot \lambda /2$ , $l = 3 \cdot \lambda /2$ , $l = 4 \cdot \lambda /2$ , $l = 5 \cdot \lambda /2$ ,….. 인 정상파가 가능합니다. 조금 수학적으로 멋있게 표현하면 $l = n \cdot \lambda /2$ (n 은 자연수) 일 때 정상파가 가능합니다. 위의 관계식을 다르게 표현 하면 파동의 파장 $\lambda = 2l / n$ 이 되어야 할 것입니다.

n=1 일 때 진동을 기본진동이라고 하면 n=2 이면 2배 진동, n=3 이면 3배 진동 … 이라고 이름을 지으면 좋겠네요.

진동수와 파장은 파동의 속력과 관계가 있습니다.( $\lambda f = v$ ) 실험 상황에서 처럼 파동의 속력이 일정하게 정해진 경우에는 $f = n v / 2l$ 이 되어야 할 것입니다. n 이 커진 조건이 만들어지려면 진동수가 바뀌어야 합니다. 손이 보이는 동영상을 보면 진동 배수가 올라갈수록 (n 이 커질수록) 얼마나 열심히 흔들고 있는지 보이나요?

팽팽한 줄에서 파동의 속력 $v = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$ ( $T$ 는 장력, $ $\rho$ 는 선밀도 입니다. ) 그래서, 기계가 흔드는 실험에서는 추가 달려있는게 보이죠. 장력 T 를 조절해서 기계가 잘 흔들 수 있는 조건을 맞춰주려는 것입니다.

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공무원 7급 국가직 2012
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정상파 함수 표현

줄에서 정상파

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