관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotational inertia)

>>이 글은 회전운동에 대한 전체적인 내용(회전운동) 대해서 살펴본 뒤, 회전운동을 어떻게 기술하는지(회전에 사용된 변수들), 돌림힘이 무엇인지에 대해서 이해한 분이 읽는다는 가정이 들어 있습니다. 회전운동에 대해서 잘 모르신다면 한 번 확인하신후 읽어 보시길을 권합니다.

병진운동 ( 회전운동 에서 설명했습니다.) 에서 힘과 가속도의 법칙, 운동에너지, 운동량의 개념에 질량이란 개념이 들어가듯, 병진운동의 질량에 대응하는 개념이 회전운동에 적용되면 관성모멘트(moment of inertia) 또는 회전 관성(rotaional inertia)란 개념이 됩니다. 그냥 수식으로 접근하면 너무나 낯설고 이상해 보이는 개념이라 왜 이렇게 생겨먹은 것인지 먼저 알아보겠습니다.

관성 모멘트/ 회전 관성 이것은 어떤 개념인가?

이름을 볼때 (‘관성’이란 낱말이 들어간 것으로 보아) 병진운동의 질량 개념에 대응 되는것임을 눈치챌 수 있습니다. 먼저 병진운동에서 사용된 질량을 살펴봅시다. 힘과 가속도의 법칙(뉴턴의 2법칙)에 따라 어떤 물체에 힘을 가하면 그 물체는 가속도운동을 합니다. 똑같은 힘을 가하더라도 물체의 가속도(운동의 변화)는 다릅니다. 물체의 질량이 클수록 가속도(운동의 변화)가 작고, 물체의 질량이 작을 수록 가속도(운동의 변화)가 큽니다. 힘을 가해 움직이고 있는 물체를 정지시키려면 질량이 클 수록 오래 걸리고(가속도가 작고) 질량이 작을 수록 금방 멈추게 합니다(가속도가 큽니다). 질량이 큰 물체는 물체가 운동상태를 유지하려는 성질 즉 관성이 크다는 표현을 하기도 합니다. 관성이 크다는 것이 운동의 변화가 별로 없다는 말이고, 질량은 곧 관성의 크기를 말하는 것입니다. 일상적인 용어로 말한다면 ‘묵직하다’ 정도가 되겠지요.

회전운동에도 유사한 개념을 사용합니다. 똑같은 돌림힘을 가하더라도 물체에 따라 각가속도가 다를 것입니다. 똑같은 돌림힘을 가하더라도 물체가 계속해서 회전을 유지하려는 성질이 크다면 각가속도는 작고, 회전을 유지하려는 성질이 작다면 각가속도는 클 것입니다. 이런 성질(회전과 관계된 관성)을 표현하는 물리양이 필요합니다. 이를 회전 관성(rotational inertia)라고도 하고, 관성 모멘트(moment of inertia)라고도 합니다. 회전관성이 크다는 말은 회전을 계속 유지하려는 성질이 크다는 말이고, (돌림힘이 같더라도) 회전관성이 큰 물체일 수록 각가속도의 변화는 더 작습니다. 이것도 일상적인 용어로 말한다면 ‘묵직하다’ 정도가 될 것입니다.

질량이든 관성 모멘트/회전 관성이든 둘 다 운동과 힘/ 돌림힘의 관계를 볼 때 묵직한 정도를 표현하기 위한 물리 개념입니다.

기호과 단위, 차원

관성 모멘트/회전 관성은 inertia 의 i 에서 따와서 기호로는 \( I \) 라고 하겠습니다. 이것도 그리스 문자를 쓰는 경우가 없어서, 그냥 관습에 따라 \( I \) 로 쓰겠습니다. \( I \) 의 단위는 관련된 관계식을 따라서 정해질텐데 아직, 관계식들에 대해서 말한 적이 없으므로 여기서는 무엇이다 말할 수 없습니다. 다만, 이렇지 않을까 대략적으로 추정을 해 봅시다.

앞에서 돌림힘을 살펴본 바에 따르면 돌림힘은 힘* 거리 의 차원을 가진 양이었습니다. 단위로 표현하자면 [N m] 입니다. 즉 (질량* 가속도) * 거리 = 질량 * 거리^2 / 시간^2 차원의 양으로 단위로 표현하면 [\(kg \cdot m^2 /s^2\)] 입니다. 그리고, 각가속도의 차원은 1/시간^2의 차원을 가진양, 단위로 표현하면 [\(1/s^2\)]인 양입니다. 회전운동에서도 뉴턴법칙 2법칙과 같이 돌림힘 = 회전관성 * 각 가속도의 형태의 법칙이 있다고 한다면, 회전관성 = 돌림힘 / 각가속도의 양이 될 것이고, (질량*거리^2/시간^2) / (1/시간^2) = 질량 * 거리^2, 단위로 보면 [\(kg m^2 / s^2 /(1/s^2)\)]= [\(kg \cdot m^2 \)]의 양이 될것으로 보입니다.

이런 단위를 가진 양이 관성 모멘트/ 회전 관성 이라고 하고 난 다음, 운동에너지의 관점에서 봅시다. \(\frac{1}{2} m v^2 \) 즉 [\(kg \cdot m^2 / s^2\)]의 양입니다. 비슷하게 회전운동에서도 질량 대신 관성모멘트/회전관성, 속도 대신 각속도를 사용하여 \( \frac{1}{2} I \omega^2 \)라고 할 수 있다면 \([ kg*m^2] \cdot [1/s]^2 \) = \( [kg \cdot m^2 /s^2 ] \) 이 되어 운동에너지와 같은 단위가 됩니다.

관성 모멘트/ 회전관성 \( I \)라는 개념은 질량*거리^2 의 차원을 가진 양(단위는 [\(kg*m^2\)] )으로 정하면 병진운동에서 얻었던 것과 유사한 모양의 관계식을 얻을 수 있을 것 같습니다.

>> 이렇게 접근하는 것이 상당히 낯설은 접근법일 것입니다. 여러분이 물리에서 차원과 단위를 무시하기 때문에 물리를 이해하는데 더 어려워진다는 생각이 있어서 일부러 좀 낯설게 접근해 보았습니다. 일반 물리에서 맨 첫시간에 배우는 주제로 차원과 단위에 대해서 써둔글이 있습니다.

과연 이런 차원의 양을 정의하는게 맞을까요? 교과서에서 이런 양을 정하는 방법을 자세히 설명하고 있으니 함께 따라가 봅시다.

>> 아무리 생각해봐도 교과서 설명이 가장 적절한 것 같습니다. 그러니까 교과서를 잘 읽어 보는게 중요합니다. 항상 수능 수석자 인터뷰에서 듣는 이야기이지만….

교과서 설명 따라가기

뉴턴의 2법칙과 유사한 모양, 운동에너지 정의와 유사한 모양의 관계식을 얻을 수 있도록 관성질량을 정의하는 것이 그냥 운이 좋은게 아니라 물리법칙을 만족하도록 정한 것입니다.

>> 할말은 많지만 하지 않는 것이 아주 아주 많습니다. 그러다 결국 돌림힘 글에서 일부 이야기를 추가해버렸습니다. 깊이 공부할 필요는 없지만 제발 제가 회전운동은 병진운동이랑 대응된다고 설명하는 부분만큼은 꼭 기억해 주시길 바랍니다.

우리가 병진운동에서 운동에너지를 정의한 것을 \( \omega \) 의 각속도로 회전하는 물체의 각 조각들에다 적용해 봅시다. 그러면 각 조각 조각1번 조각 2번 조각 …. i 번 조각의 운동에너지는 각각 \(\frac{1}{2} m_i v_i^2 \) 이 될 것이고(i번 조각의 질량은 \(m_i\), i번 조각의 속력 \( v_i \) ), 전체 운동에너지는 이 값들의 합이 될 것입니다.

각 조각들만 먼저 살펴 보면 축이 고정된 회전운동에서 \( v_i \) 는 \( r_i \cdot \omega_i \) 가 될 것입니다. (회전에 사용되는 변수들 참조)

따라서, 각 조각들의 운동에너지 \( \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} m_i ( r_i \cdot \omega_i)^2 \) 이 될 것입니다. ( \( r_i \)란 i번 조각의 축으로 부터 떨어진 거리입니다. ‘축에서 부터’ 거리이지, 원점에서 부터 거리가 아닙니다!!! \( \omega_i \)는 i번 조각의 각속도의 크기 입니다. )

여기서 각 조각들은 모두 서로 위치가 바뀌지 않고 다 같이 함께 움직이고 있으므로(강체라고 합니다) 어떤 곳에 위치했는지와 상관없이 \( \omega_i \)는 모두 동일하다는 점이 중요합니다. 처음에 각속도를 \( \omega \) 라고 했으므로 모든 \( \omega_i \) 는 \( \omega \) 라고 쓸 수 있습니다. 그러므로 각조각들의 운동에너지는 \( \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 \) 이 됩니다.

전체 운동에너지는 각 조각들 운동에너지의 합이므로 수식으로 쓰면 \( \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{i} m_i r_i^2 \omega ^2 \)이 됩니다.

회전운동의 경우 운동에너지를 앞에서 말한 바와 같이 \( \frac{1}{2} I \omega^2 \) 이라고 쓰려면 \( I = \displaystyle\sum_{i} m_i r_i^2 \) 이라고 정하면 됩니다. 작은 조각들이란 개념이 적분개념임을 알고 있다고 하면, \( I = \int r^2 dm \) 이라고 쓸 수 있습니다. \( I \)를 이렇게 정하면 앞에서 말한 것이 이제는 더 이상 가정이 아닙니다.

회전관성/관성 모멘트 크기에 대한 감 가지기

회전 관성/관성 모멘트의 정확한 값을 계산하는 법을 배우기 전에 더 중요한 것은 직관/감을 가지는 것이라 생각합니다. 정량적으로 정확한 값을 알기 전에 정성적으로 어느게 더 크고 작은지 비교해 보도록 합시다.

\( I = \displaystyle\sum_{i} m_i r_i^2 \)

를 보면 작은 입자들의 질량에다가 거리의 제곱으로 가중치를 부여한 값입니다. 똑같은 질량이더라도 거리가 멀수록 제곱에 비례하여 회전 관성의 값이 커집니다. 회전 관성의 값이 크다는 것은 동일한 돌림힘/토크를 주더라도 잘 돌아가지 않는다는 뜻이죠.

한 번 더 강조하면 여기서 거리는 축으로부터 거리입니다. 어느 점에서부터 거리가 아닙니다. 게다가 좌표의 원점으로부터의 거리도 아닙니다. 축이 원점을 지나도 축으로부터 거리와 원점에서부터 거리는 다릅니다. 위의 그림 중 세번째 그림을 한 번 더 봐 주십시오.

>> 제가 여러번 강조하는 이유가 있습니다. 저도 처음 배울 때 이걸 몰라서 틀려본 경험, 다음 이야기가 이해가 안 된 적이 있기 때문입니다. 정량적으로 관성모멘트/회전관성을 계산하는 부분에서 결정적 문제를 일으킵니다.

예제 1 : 원판위에 모래뿌리기 (동일한 질량, 동일한 밀도의 물체지만 모양이 다른 것 )

원판의 중심을 회전축으로 하여 돌릴 수 있는 장치를 만들어 두고 이 원판위에 동일한 양의 모래를 뿌립니다. 한 사람은 주로 가운데 쪽에 뿌려 놓고, 다른 한 사람은 주로 가장자리쪽에 뿌려 둡니다. 앞에서 말한 작은조각이 모래알갱이라고 합시다. 모래 알갱이의 질량이 모두 같다고 가정하면, 같은양의 모래를 뿌려서 전체 질량은 양쪽 다 동일합니다.

검은색을 모래가 쌓인 것으로 봐주세요. ㅠㅠ

같은 돌림힘으로 회전 시킬때 더 돌리기 어려운 것, 즉 회전 관성이 큰 것은?

가장자리에 모래를 뿌린 것입니다. 모래알갱이마다 축으로부터 거리의 제곱값을 가중치를 부여해서 값을 모두 합한다면 가장자리에 뿌린 것이 값이 더 큽니다. 가장 자리에 뿌린 것이 회전관성이 더 큽니다.

물론 뿌려둔 모래는 강력접착제로 붙여 둔 것을 가정하고 있습니다. 앞에서 계산할 때 각 모래 알갱이는 축을 중심으로 원운동한다는 것을 가정하고 있습니다. 즉, 축에서 부터 거리가 전혀 변하지 않는다는 가정입니다. 어려운 말로는 강체(rigid body)라고 합니다. 이런 가정이 없다면 원판을 돌릴 때 모래는 다 흩어져 버릴 것이고, 앞에서 정의하고 있는 계산 방법은 쓸 수 없을 것입니다.

똑같은 방식으로 생각하면 같은 양의 밀가루 반죽으로 도넛 형태를 만든다면, 비록 가늘게 생겼지만, 거리의제곱의 가중치를 가진 것이 훨씬 회전 관성이 더 클 것입니다.

예제2 : 플라스틱과 철을 이어 붙인 막대기 ( 동일한 질량, 동일한 모양이지만 밀도가 다른것)

흰색은 플라스틱, 파란 색은 철을 표시한 것입니다. 회전축을 막대의 한가운데로 하여 손으로 돌린다고 합시다. 각각 길이는 둘 다 같게 해서 막대기의 질량은 동일합니다. 질량 중심도 한 가운데로 동일합니다. 그러나, 무거운 부분이 바깥쪽에 더 많이 있는 오른쪽이 관성 모멘트가 더 큽니다. (무거운 부분의 물리학적 표현은 밀도가 큰 부분입니다.)

아래 그림과 같이 밀도가 조금씩 변하는 물질을 사용한 막대라도 마찬가지로 오른쪽이 관성 모멘트가 더 클 것입니다.

이렇게 동일한 질량일 때는 어느 정도 추정이 가능하겠지만, 모양도 다르고, 질량도 다른 물체라면 둘 사이를 그냥 눈으로 봐서 비교하는 것은 어려울 것입니다. 이때는 이제 계산을 직접할 수 있어야 합니다. 계산한 것이 쉬운 것이 아니라서 별도의 글로 남기겠습니다.

정리하기

관성 모멘트/회전 관성은 병진운동의 질량 개념을 회전운동에서 적용한 개념입니다. 우리가 알고 있는 운동법칙과 잘 어울릴 수 있도록 \( \int r^2 dm \) (적분을 잘 모르겠다면 \( \displaystyle\sum_{i} m_i r_i^2 \) 라고 생각하면 됩니다.) 라고 정합니다. 단위는 [\( kg \cdot m ^2 \)] 입니다. 이렇게 정해지고 나면 축이 고정된 회전운동의 관계식이 병진운동에서 얻은 관계식과 비슷한 모양의 관계식을 얻게 됩니다. 그 값은 모양, 질량, 질량의 분포(밀도)에 따라 달라집니다.

관성 모멘트와 회전 관성은 둘 다 비슷한 정도((어느하나가 우세하다고 말하기 힘들 정도)로 쓰고 있기 때문에 익숙해지시라고 일부러 섞어서 썼습니다. 그래서 혼동을 주었다면 죄송합니다. 관성 모멘트와 회전 관성은 같은 말입니다.

숫자로 값을 구하는 방법에 대한 글을 일부 썼습니다. 네모난 모양들에 대한 것입니다. 막대,직사각형, 직육면체입니다. 관성모멘트/회전관성 값구하기(1) L7

병진운동		회전운동
위치	\( x \)	각	\( \theta \)
속도	\(v=\frac{dx}{dt} \)	각속도	\( \omega=\frac{d\theta}{dt} \)
가속도	\(a =\frac{dv}{dt} \)	각가속도	\(\alpha= \frac{d\omega}{dt}\)
질량	\( m\)	관성모멘트	\( I\)
힘	\( F\)	돌림힘(토크)	\(\tau\)
뉴턴의 2법칙	\( F=ma\)	뉴턴의 2법칙	\( \tau=I\alpha\)
일	\( W= \int F dx \)	일	\( W= \int \tau d\theta \)
일률	\( P = Fv \)	일률	\(P=\tau\omega \)
운동에너지	\(K=\frac{1}{2}mv^2 \)	운동에너지	\( K=\frac{1}{2}I\omega^2\)
운동량	\(p=mv \)	각운동량	\( L=I\omega\)