운동량과 운동에너지
사람들은 보통 물리를 싫어하죠. ㅋㅋ 저도 잘~~알고 있습니다. 요즘은 ‘물알못’이라고 하더군요. 물리를 알지 못한다고 하는데, 제가 보기에는 물리를 알지 못하는게 아니라, 물리를 싫어하는거죠. 어렵다고 말을 하는데, 사실 학교에서 가르치는 물리는 어렵지 않아요. 수학보다 훨씬 쉽죠. 뭐 가끔 미분,적분도 쓰기는 하는데 그것도 아주 쉬운 수학이지요. (아! 물론 전공으로 하는 물리는 무지 어려운거 맞아죠. 수학도 무지 어려운거 쓰구요.) 물리가 싫은 거죠.
그렇게 싫어진 이유, 어렵게 느끼는 가장 큰 이유는 바로 학교에서 선생님들이 재미없게 가르치고, 왜 그걸 배워야하는지에 대한 이야기를 해주지 않는다는 겁니다.
‘힘’을 배우고 난 뒤 바로 뜬금없이 ‘운동량’ 과 ‘운동에너지’를 가르칩니다. 안 그래도 재미없는데, 이건 또 왜 가르치는지. 그러구는 힘에가 시간을 곱해라, 거리를 곱해라고 막 강요하고, 그게, ‘충격량’이다 ‘일’이다를 가르칩니다. 이러니 재미가 있겠습니까? 저도 그런거 재미없어요. 그러니까 ‘시험에 나올 것 같지 않은 물리’ 란 코너를 만들려고 하는거죠.
우리가 이걸 배우는 이유는 생각보다 단순합니다. 우리가 야구공을 던져 땅에 있는 깡통을 맞춥니다. 그 깡통 튕겨나가죠. 내가 힘껏 던지면 더 멀리 튕겨나갑니다. 내가 더 세게 던지면 더 멀리가죠. 내가 더 세게 던지면 분명히 야구공이 더 빨리갑니다.
이거 뿐입니까? 야구공 대신 쇠공을 던지면 더 큰일이 일어나잖아요.
” 아! 내가 힘을 세게 줄 수록 야구공이 더 빨리 날아가고, 야구공이 더 빨리 날아갈수록 뭔가 큰 일이 벌어지는구나! 야구공보다 쇠공을 던지면 더 큰 일이 벌어지는구나!! ” 이겁니다. 별거 있습니까?
힘을 세게 줄수록 야구공이 더 빨리 날아가는 것은 F= ma 로 풀면 되는거니까 이미 배운 것입니다.
새로 배우는 것은 야구공이 더 빨리 날아갈수록 뭔가 더 큰 일이 벌어지는 것에 대해서 배우는 것입니다. 더 무거운 쇠공을 던지면 뭔가 큰 일이 벌어지는 것에 대해서 배우는 것입니다. 조금 어려운 말로 바꾸면, “속도 v 가 클수록 큰일이 벌어진다. 질량 m 이 클수록 큰 일이 벌어진다.” 를 배우는 것입니다. (여기서 일은 물리시간에 말하는 ‘일’이 아니여요~~ 그냥 일상생활에서 말하는 그겁니다.)
그래서, 옛날 사람들이 고민을 했답니다. \( mv \)때문이냐 \( mv^2 \)때문이냐? ( 제가 중학교때 읽은 거라 사실인지 아닌지는 불확실합니다. ) 서로 이게 맞다 저게 맞다 싸웠겠지요. 그리고 서로 맞다는 걸 증명하려고 열심히 연구했겠지요. 그러면서 점점 뭔가를 알게 되었겠지요. 그래서, 얻은 결론을 이제 우리가 배우는 겁니다.
\( mv \) 를 주장하는 사람은 ‘운동량’ 이란 개념을 만들어냈고, \( mv^2 \) 을 주장하는 사람은 ‘운동에너지’란 개념을 만들어 낸겁니다. That’s it! 이게 어려운 겁니까?
‘우리는 하나를 알면 하나를 까먹는다’
제가 이렇게 설명하면서 하나를 가르쳐드렸지요. 그런데, 그걸 배우면서 우리는 뭔가를 까먹고 있다는 겁니다. 그 까먹은거 때문에 어려운게 되어 버렸습니다. 선생님들은 우리가 천재인지 아나봐요. 우리가 까먹은게 뭔지를 안 가르쳐 줘요.
운동량(충격량), 운동에너지(일) 을 배우는 동안 우리가 까먹은 것은 뉴턴의 법칙입니다.
우리가 힘을 줘서 야구공을 던질 때 뭔가 큰 일이 일어난다고 했는데, 뭔가 큰 일이 일어나게 한 것은 우리가 힘을 주었기 때문이지요. 우리가 힘을 주는 동안 큰일이 벌어지게 하는 어떤 량이 늘어났다고 생각을 하는 겁니다. ‘힘을 주는 동안’ 어떤 일들이 벌어지고 있는거입니다. 우리는 이미 힘을 주면 어떤 일들이 벌어지는지를 알고 있다는 사실을 까맣게 잊어버리고, 그냥, 운동량, 충격량, 운동에너지, 일을 배우고 문제를 풀고, 뉴턴의 법칙이 필요한 문제에는 뉴턴의 법칙만 쓰고.. 두가지를 같이 쓰는 법을 배우지는 않았다는 겁니다. 뉴턴의 법칙은 ‘법칙’이잖아요. 그러니까, 운동량, 운동에너지를 이야기할 때에서도 당연히 뉴턴의 법칙은 만족하고 있어야 합니다. 그럼, 운동량, 운동에너지 배울 때 배운 것들이 뉴턴의 법칙을 위반하는 일이 없는지를 잘 생각해봐야하는 것입니다.
운동량, 운동에너지 배울 때 배운 것들이 뉴턴의 법칙을 위반하는 일이 없는지
우리가 사는 지구위에서는 중력도 있고, 마찰력도 있고 온갖힘들이 많이 작용하기 때문에 지금부터는 아무런 힘도 받지 않는 천상계에서 물리를 이야기 하겠습니다. 약간 비슷한 곳을 찾으라고 하면 주변에 어떤 별도 없는 우주공간정도가 되겠네요.
그곳에서 우리가 야구공을 던진다고 할 때, 우리가 ‘힘을 주는 동안’ 만 살펴보겠습니다. ‘힘을 주는 동안’ 에는 크게 시간과 거리를 생각합니다. 운동은 시간과 거리가 핵심이니까요. ‘힘을 주는 시간동안’ 과 ‘힘을 주면서 가는 거리동안’ 무슨일이 생기는 지를 따지려고 합니다.
고등학교 물리 I 수준에서 생각하려면, 등가속도 직선운동에 한정해서 따져봅니다. 그래서, 처음 속력이 Vi 로 날아가고 있는 물체에 힘 F 를 속도 방향과 같은 방향으로 ‘일정하게’ 주겠습니다. 그러면 t [초] 동안 s [m] 를 가고 나중 속력은 Vf 가 됩니다. 질량이 m 이라고 하면, 가속도 a = F /m 일 겁니다.
t 초 동안 속도가 바뀌었고 속력이 Vi 가 Vf 가 됩니다. 일정한 힘을 주었기 때문에 가속도 a 도 일정하고, a = ( Vf – Vi) / t 이 맞을 겁니다.
t 초 동안 s [m]를 갔을 겁니다. 조금 복잡하지만 계산하면 Vf^2 – Vi^2 = 2 * a * s 를 만족하는 것도 알고 있을 겁니다.
운동량과 충격량
힘 F 를 일정하게 t 초 만큼 주었습니다. 힘 F 를 시간에 따라 자꾸 쌓아나가는 겁니다. ( 물리 2 로 말하자면 적분하는 겁니다.)
F * t 를 계산해 보면 F = m*a 이고, a = ( Vf – Vi) / t 입니다.
힘을 시간에 따라 쌓아나간 량 F* t 는 m*a*t = m * ( Vf – Vi) / t * t
이거는 m * ( Vf – Vi) = m * Vf – m * Vi 가 되네요.
힘을 시간에 따라 쌓아나간 량 F* t = m * Vf – m * Vi
m * Vi + F * t = m * Vf
힘을 쌓아나가기 전 (ㄱ) 상황에 있다가 (ㄴ)~(ㄹ) 동안 힘을 쌓아나가면 (ㅁ) 상태가 됩니다. (ㄱ) 상태에 m * Vi 의 어떤 량이 (ㄴ)~(ㄹ) 동안 F * t 만큼 늘어나 (ㅁ) 상태에는 m * Vf 가 됩니다.
좀 더 물리스럽게 이야기하면,
‘(ㄱ) 에서 운동량 m * Vi 는 (ㄴ)~(ㄹ) 동안 충격량 F * t 를 받아서 (ㅁ) 상태에는 운동량 m * Vf 가 된다’ 고 말하고 싶은 겁니다.
그러니까
운동량은 mv 라고 정의하고, 충격량은 F * t 라고 정의한 겁니다.
그러니까, 운동량, 충격량은 ‘힘을 시간에 대해 쌓아나간량(적분한량)’을 설명하기 위해서 만들어낸 개념입니다.
운동에너지과 일
힘 F 를 일정하게 s [m] 가는 만큼 주었습니다. 힘 F 를 거리에 따라 자꾸 쌓아나가는 겁니다. ( 물리 2 로 말하자면 적분하는 겁니다.)
F * s를 계산해 보면 F = m*a 이고, Vf^2 – Vi^2 = 2 * a * s 입니다.
힘을 거리에 따라 쌓아나간 량 F* s 는 m* a * s = m * ( Vf^2 – Vi^2)/(2s) * s
이거는 m * ( Vf^2 – Vi^2)/2 = 1/2 * m * Vf^2 – 1/2 * m * Vi^2 가 되네요.
힘을 거리에 따라 쌓아나간 량 F* s = 1/2 * m * Vf^2 – 1/2 * m * Vi^2
1/2 * m * Vi^2 + F * s = 1/2 * m * Vf^2
힘을 쌓아나가기 전 (ㄱ) 상황에 있다가 (ㄴ)~(ㄹ) 동안 힘을 쌓아나가면 (ㅁ) 상태가 됩니다. (ㄱ) 상태에 1/2 * m * Vi^2 의 어떤 량이 (ㄴ)~(ㄹ) 동안 F * s 만큼 늘어나 (ㅁ) 상태에는 1/2 * m * Vf^2 가 됩니다.
좀 더 물리스럽게 이야기하면,
‘(ㄱ) 에서 운동에너지 1/2 * m * Vi^2 는 (ㄴ)~(ㄹ) 동안 일 F * s 를 받아서 (ㅁ) 상태에는 운동에너지 1/2 * m * Vf^2 가 된다’ 고 말하고 싶은 겁니다.
그러니까
운동에너지는 1/2 * m * v^2라고 정의하고, 일은 F * s 라고 정의한 겁니다.
그러니까, 운동에너지와 일은 ‘힘을 거리에 대해 쌓아나간량(적분한량)’을 설명하기 위해서 만들어낸 개념입니다.
다시 앞으로 돌아가면
뭔가 큰일을 벌이는 것이 mv 냐 mv^2 이냐 싸워다고 했는데, mv^3 , mv^1.5, mv^7 으로 싸워도 되지요. 어쨋든 ‘ 뭔가 큰일을 벌이는 것’ 은 m 에 따라 커지고 v 에 따라커지는 것은 확실하니까요. 그런데, 우리가 mv^2 , mv^3 , mv^1.5, mv^7 도 아닌 1/2mv^2 에 관심을 가지고, mv 에만 관심을 가지는 것은 힘을 ‘거리’에 따라 ‘시간’에 따라 쌓아나간 량이라서 관심을 가지는 거랍니다.
운동량과 운동에너지
지금 배우는 물리에서는 운동량과 운동에너지가 힘을 어떻게 해서 얻은 값이지만, 나중에 전공으로 다루는 물리에서는 운동량과 운동에너지를 더 중요한 개념으로 생각합니다. 오히려 힘은 운동량으로 정의합니다. (힘을 시간으로 쌓은 것이 운동량이라고 했으니 운동량은 시간으로 나눈것이 힘이 됩니다. dP / dt = F .. 교과서나 참고서 잘 뒤져보시면 살짝쿵 이야기하고 넘어갑니다.)
mv 다음에는 mv^2 이 아니라 1/2mv^2 에 관심을 가지는 이유는 말씀드린대로 시간, 공간에 대해 쌓아가는 개념이 중요하기 때문입니다. 지금이야 운동량 P = mv , 운동에너지 E = 1/2mv^2 을 열심히 외우고 계시겠지만, 중요한 것은 운동량은 힘을 시간으로 쌓은 것, 운동에너지는 힘을 거리로 쌓은 것이 더 중요합니다.
자 그러면 물리적 감을 더 키워보겠습니다. 운동량(힘을 시간으로 쌓은 것) 을 거리로 한 번 더 쌓아가면, 운동에너지 (힘을 거리로 쌓은 것)을 시간으로 한 번 더 쌓으면 둘다 ‘힘을 시간과 거리로 쌓은 것’ 이 됩니다.
놀랍게도 이런 물리량이 있습니다. 플랑크 상수 h 입니다. 그러니까, p * 거리 = h 가 되고, E * 시간 = h 가 됩니다.
여러분이 잘 아는 모양으로 바꾸면, p = h / 거리 , E = h / 시간 이 됩니다.
빛이라면 p = h / 빛의 파장, E = h/ 빛의 주기 가 됩니다. (p = h * k (파수), E = h * f (진동수) ) 가 됩니다.
물질이라면 물질의 p = h / 물질파 파장, 물질의 E = h/ 물질파 주기 가 됩니다.
그래서, 저는 p = h * k (파수), E = h * f (진동수) 식을 외우지 않습니다.
운동량은 힘을 시간으로 쌓은 것, 운동에너지은 힘을 거리로 쌓은 것을 외웁니다.
그러면, 앞에서 배운거 뒤에서 배운 것 모두 한꺼번에 해결할 수 있기 때문입니다.
사실 외울 것도 없지요. 일은 힘 곱하기 거리는 중학교 때 부터 배운 거니까….
당연히 충격량은 힘 곱하기 시간이겠지….
일이 운동에너지 변화량이 되니까, 충격량이 운동량의 변화량이 되겠지…..
천상계에서 운동량과 운동에너지
지금까지는 천상계에서 운동량과 운동에너지에 대해서 이야기 했습니다만, 우리가 사는 지상계로 내려오면 문제는 더욱 복잡해집니다. 이렇게 복잡한 지상계에서 운동량과 운동에너지를 뉴턴의 법칙과 같이 다루려면 머리가 터질지도 모르니까 선생님들은 안가르쳐 주었을지 모르겠네요.
지상계에서 운동량과 운동에너지는 다음에 시간이 되면 이야기 하도록 하겠습니다.
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