장력에 대해서는 굳이 할말이 많지 않다고 생각해서 글쓰기를 미루고 있었는데, 최근 게시판에서 몇 가지 질문들을 받다가 보니 공통적으로 해야하는 이야기들이 있어서 정리하는 글을 올립니다. 글을 쓰기 전에 교과서를 잠깐 보았더니, 제 기억과는 달리 실에 대한 장력을 이야기하는 부분이 아주 짧게 기술되어 있더군요. 아~ 그래서 질문들이 많이 나오나 보다 생각하게 되었습니다. 뭔가 특별한 이야기를 하려는 것은 아닙니다. 우리가 알고 있는 것들을 잘 조합하는 것입니다.
공부하면서 스스로 생각해 낼 수 있으면 좋겠지만, 그렇지 못한 경우를 생각해서 글을 씁니다.
팽팽한 실은 양쪽에서 잡아 당기는 경우입니다.
보통 문제에 나오는 상황에서 실의 장력은 실의 양쪽에서 잡아 당기는 것를 말하는 것입니다. 그렇지만 우리는 아주 기본적인 것부터 확인하기 위해서 먼저 실의 한 쪽 끝만 잡아당기는 경우를 생각 해봅시다. 실의 한쪽 끝을 F의 힘으로 잡아당기고 실의 질량이 m 이라고 합시다. 그 이외에는 아무런 힘도 가해지지 않는다고 합시다. 그러면
처음 상태에서 모양이 살짝 변할 수는 있겠지만, 이것도 F=ma 에 따라 a 란 가속도를 가지고 움직입니다. 이런 상황을 물리 문제로 낸 것을 본 적은 없습니다.
보통은 아래와 같이 실이 팽팽하게 직선으로 뻗어져 있는 경우입니다.
실의 장력이 F 라고 이야기 할 때는 실 양쪽을 F의 힘으로 잡아당기고 있는 것을 이야기 하는 것입니다. 위에서 한쪽만 잡아당기면 이렇게 팽팽한 상태가 되는게 아닌 것을 먼저 보여드렸으니 지금은 양쪽을 잡아당기고 있다는 것을 쉽게 이해할 수 있으리라고 생각합니다.
보통의 물리문제에서 다루는 경우는 이렇게 팽팽하게 잡아당겨진 실의 모양일 때를 이야기하는 것입니다. 물체에 힘을 가할 때 미는 것은 주로 접촉된 물체로 그리지만, 물체를 당기는 것은 이렇게 실을 이용합니다. 뿐만 아니라 실을 이용하면 힘을 가하는 방향을 쉽게 표현 할 수 있기 때문에 실을 이용하여 힘을 가하는 문제가 많이 나옵니다. 그래서, 접촉된 물체를 밀 때 수직항력을 고려하는 것 만큼이나 물체를 당길 때 장력을 고려해야하므로 물리교과서 앞부분에서 설명이 한 번 나오게 됩니다.
장력의 방향은 실을 당기는 방향입니다. 영어로는 tension 이라고 합니다. 물체에 가해지는 힘의 크기는 뉴턴 제 3법칙(작용 반작용의 법칙)에 따라 장력의 크기와 같고, 방향은 반대 방향이 됩니다. 그래서 흔히들 물체에 장력이 가해졌다고 하지만, 엄밀히는 실을 잡아 당기는 힘을 장력이라고 하는 것이고 물체가 받는 힘은 이 장력의 반작용력입니다. 이렇게 실에 매달린 물체의 움직임만을 중요하게 생각하므로 자꾸 실의 한쪽만 생각하다 보면 실을 양쪽에서 잡아당기고 있다는 사실을 깜박하게 되어 나중에 이상한 결론이 나올 수 있으니 주의하자는 의미로 첫 주제를 잡았습니다.
두 물체를 실로 묶어서 움직이고 있을때, 이 실이 팽팽하게 있다는 상황은 실을 양쪽에서 힘을 주어 당기고 있기 때문임을 잊지 마십시오.
> 이 정도 그림이 무슨 뜻인지는 충분히 배운 분들이 읽고 있다고 생각해서 설명은 생략합니다.
아주 특별한 경우에만 실의 양쪽 장력의 크기는 같고 방향이 반대입니다.
많은 문제가 이렇게 생각하면 풀리는 문제이기 때문에 아무런 의심없이 장력은 크기가 같고 방향이 반대로 잡아 당기는 것이라고 생각하게 됩니다. 하지만, 이런 생각을 고집하다보면 언젠가 문제 풀이를 틀리는 경우가 생깁니다.
실 양쪽의 장력의 크기의 같고 방향이 반대라고 하는 것은 사실은 아주 특별한 경우입니다.
먼저, 정지된 두 물체 사이에 실을 매달아 둔 경우를 생각해 봅시다. 아래 그림과 같은 것은 현실에서 아주 자주 보는 경우입니다. 지금의 그림은 쇠사실과 같이 무거운 물체이지만, 가벼운 실도 사실 이렇게 묶어 둘수 있습니다.
> 이렇게 쇠사슬이나 실이 이루고 있는 모양의 형태를 현수선(懸垂線, Catenary)이라고 합니다.
( 현수선은 懸 달 현, 垂 드리울 수 로 줄을 매달아 드리우고 있을 때 나타나는 선 모양을 말합니다. 현수교란 다리는 이렇게 줄을 메달아 드리우고 있는 다리를 말합니다. )
실의 양쪽을 가만히 메달아 주는 경우 작용하는 힘을 고려해보면 실에는 장력 뿐만 아니라 중력도 작용하고 있습니다. 그래서, 실 양쪽을 당기는 장력의 크기가 같고 방향이 같아서는 절대로 이런 모양이 나올 수 없습니다. 기본쪽으로 장력의 크기와 방향을 정확히 아는 것은 쉬운 일이 아닙니다. [현수선의 함수구하기](https://blog.naver.com/wlsthf9401/60167207959)를 보시면 상당히 어렵게 느껴질 것입니다.
보통의 물리 문제에서 보이는 팽팽한 선도 중력이 있는 경우 값이 아주 작지만 약간은 아래로 쳐져 있을 수 밖에 없습니다. 이렇게 복잡한 경우를 처음 배울 때부터 다룰 수 없습니다. 뿐만 아니라 잘 다룰 수 있더라 아주 그 값이 작기 때문에 그런 것까지 신경 쓸 필요가 없습니다. 때문에 보통은 실의 질량은 무시한다. 실의 질량은 0 이라는 가정이 주어지는 것입니다.
자, 이렇게 실의 질량이 0 이라 가정하여 중력은 고려하지 않아도 되는 경우 팽팽한 선을 봅시다.
우리가 알다시피 정지되어 있는 물체의 알짜힘은 0 이므로 , 실의 양쪽을 잡아 당기는 힘이 같고 방향은 반대가 되어야 가능합니다. 이것은 단순히 실의 양쪽 끝 뿐만 아니라 실이 있는 어떤 위치든지 모두 만족해야하는 것입니다.
그림을 그리기 힘들어서 두군데 정도만 표시하였지만, 사실은 실의 모든 점에서 마찬가지 입니다.
실의 질량을 0으로 가정하는 또 다른 이유
실의 질량을 0 으로 가정하는 것은 중력의 영향을 무시하고 싶어서이지만 또 다른 이유가 있습니다.
중력을 고려하지 않아도 되는 무중력상태인 공간에서 물체 두 개를 실에 묶어 움직이는 경우를 봅시다. (무중력 상태는 우주 정거장 같은 곳에서 구현 가능합니다. 하지만 중력이 0 인게 아니라 중력이 0인 것처럼 보이는 상태를 말하는 것입니다.)
어떤 힘을 가해서 그림과 같이 팽팽한 직선이 되도록 움직일 수 있을 것입니다. 이렇게 힘을 가해주면 가속도 운동을 하고 실의 질량이 있기 때문에 장력이 같을 수 없습니다. F = ma 에 따라 한쪽의 장력이 실의 질량 m 에다 실의 가속도 a 만큼 더 커야 당연합니다.
그러면 실제로는 두개의 큰 물체에 대한 문제를 다루고 싶은 것인데 실이란 물체까지 고려해야하는 상태가 됩니다. 그리고, 장력이 다른 것을 고려한다고 하더라도 실의 질량이 아주 작으므로 양쪽의 장력 차이도 아주 작기 때문에 뭐 그런 것 까지 생각하고 싶지 않은 것입니다. 그래서, 실의 질량을 0 으로 가정하여 두면 실제로는 장력이 아주 미세하게 작은 값으로 좀 다르긴 하겠지만 거의 같은 것을 그냥 같다라고 두고 생각할 수 있게 됩니다.
따라서, 가속운동할 때 아주 작은 값을 무시하기 위해서도 실의 질량을 0 으로 가정하는 것이 훨씬 간단합니다.
이렇게 실의 질량을 0 이라고 두면 장력의 크기는 같고 방향은 반대라고 생각할 수 있습니다.
도르래에 걸쳐 있는 실에 미치는 장력
어떤 분이 도르래에 걸쳐 있는 실의 장력의 크기가 왜 같냐고 질문하셨습니다. 위에서 실의 질량을 0 으로 두면 장력의 크기는 같다고 했으니까 당연히 도르래도 그렇다고 생각하시는 분이야 이 질문이 이상하게 보이겠지만, 제가 보기에는 오히려 이 분의 질문이 오히려 더 당연한 것입니다.
물리를 암기과목처럼 생각하시는 분들이야 실에 미치는 장력의 크기는 같고 방향은 반대라고 외어 풀면 이런 질문이 나올 수 없습니다. 하지만, 앞에서 말한 것들은 모두 **팽팽한 직선** 의 모양을 가진 경우에 적용되는 것인데 도르래에 걸쳐있는 실은 팽팽한 직선이 아니라 원의 모양을 가지고 있습니다. 그러니, 이 때도 과연 그런게 의심을 가지는 것이 당연합니다. 그 질문에 답을 할 때 제 기억에는 어디선가 도르래에 걸쳐있는 실의 장력의 방향에 대해서 본것 같은데, 막상 교과서를 찾아 보니 잘 못 찾겠군요. 제 기억이 잘못된 것일 수 있으니 도르래에 걸쳐있는 실의 장력에 대해서 그림으로 그려 살펴 보겠습니다.
앞서서 먼저 살펴보아야 하는 것이 있습니다. 우리가 앞서 본것과 같이 팽팽한 실의 이루고 있는 모양이 바로 장력의 방향이라는 것입니다. 우리가 가해주는 힘의 방향을 바꾸면 실이 이루고 있는 방향도 바뀝니다.
> 이게 왜 그래야만 하는지에 대해서 저 스스로 약간 확신이 안 드는 점도 있습니다….
그래서 직선의 형태가 아니라 곡선의 형태라면 아래 그림과 같이 아주 조그만한 영역으로 쪼개어 살펴 보야야 합니다.
그림과 같이 도르래와 같이 원의 둘레를 따라가는 실에 미치는 장력은 서로 크기가 같게 됩니다. (실의 질량은 0 이라 가정, 도르래와 실 사이에는 마찰력이 없다는 가정이 있을 때입니다.)
이렇게 도르래와 실 사이에는 마찰력이 없고, 실의 질량이 0 이라고 두면 실의 양쪽에서 잡아 당기는 장력의 크기는 같다는 결과를 얻을 수 있습니다.
아직까지는 장력은 크기가 같고, 방향이 반대다라고 생각해서 문제를 풀수 있는 경우입니다. 하지만, 이것들은 모두 특별한 가정들이 들어 있다는 것을 잊어서는 안됩니다.
실 양쪽 장력이 같다고 생각하면 틀리는 경우
어디선가 지나가다 본 문제에서 장력이 같다고 놓아서 틀렸다는 문제를 본 적이 있었는데, 저도 장력이 같다고 생각했다가 아닌 것을 깨닫게 된 경우가 있었습니다. 이와 유사한 그림을 한 번 그려 보겠습니다.
바로 아래와 같이 날카로운 물체 끝에 실이 걸려 있는 경우입니다. 물론 아주 확대 해보면 결국 둥그름한 형태가 되니 도르래와 같지 않냐고 생각할 수도 있겠지만 여기서는 물체 끝에 걸려 움직이지 않는 경우를 말하는 것입니다. (여기서 움직이지 않는다는 상황은 마찰력이 존재한다는 것을 숨겨둔 것입니다.)
왼쪽 그림과 같은 경우 삼각형 양쪽의 두 줄의 장력을 같다고 가정하면 안 됩니다. 오른쪽은 당연히 두 줄의 장력은 다른 값을 가진다고 생각하시나요? 뾰족한 물체를 이용해서 걸어둔 물체가 움직이지 않는 경우라면 오른쪽 그림과 마찬가지로 두 줄의 장력은 다른 값을 가지는 게 마땅합니다. (왼쪽그림이나 오른쪽이나 모두 아래쪽으로 늘어진 실은 위쪽 줄과 마찰력이 작용하여 움직이지 않습니다. )
이런 경우를 생각해보면 역시나 마찰력이 없는 도르래에 걸려 있는 실의 장력이 같은 것은 아주 특별한 경우인게 분명합니다. (실제 도르래도 마찰력이 아주 작은 베어링을 사용하여 거의 장력이 같게 되긴 합니다.)
실이 도르래를 잡아당기는 힘
또다른 주제로 실이 미치는 장력이 크기가 같고 방향이 반대라면 어떻게 실이 어떻게 도르래를 잡아당기냐는 질문도 받는 적이 있습니다.
양쪽에 각각 10N 으로 잡아 당기고 있으니까 모두 합쳐서 20N 으로 당기고 있습니다. 그런데, 도르래는 그자리에 그대로 있으므로 도르래에 미치는 알짜힘은 0 이므로 도르래를 당기는 힘이 20N 인것은 알겠는데, 실의 장력의 방향으로 볼 때 서로 상쇄되어 도르래를 20N으로 당기고 있는 것이 이해가 안되는 것이지요. 심지어 마찰력이 없다고 했으니 더욱더 이해가 안되는 것입니다. ( 여기서 도르래 질량은 0 이라고 가정합니다.)
그럼 또 기본으로 돌아가서 봅시다. 이번에는 오롯이 도르래를 빼고 실만 바라봅시다.(오른쪽 그림) 이 실이 20N의 힘을 받는데 왜 가속 운동을 안하고 있는 것일까요? 어디선가 20N의 힘으로 반대방향으로 실을 밀어 주고 있기 때문일 것입니다. 왼쪽그림을 보면 노란색의 힘은 도르래에 미치는 힘이므로 실에 미치는 힘은 아닙니다. 실에 미치는 힘이 빨간색만 있다면 분명 F = ma 에 따라 가속운동을 해야하겠지만, 움직이지 않는다는 것은 실에 미치는 힘이 또 있다는 것입니다. 그것을 따로 오른쪽에 그려보면 녹색의 힘이 20N으로 작용하고 있다는 것이 확실하며, 이렇게 작용하는 힘은 도르래가 접촉하고 있으므로 이 힘을 수직항력이라고 부르면 되는 것입니다. 도르래가 실을 20N 의 수직항력(녹색의 화살표)으로 밀어 주고 반작용으로 실이 도르래를 20N 의 수직항력으로 밀어 주고 있는 것이지요.
그럼 90 도로 걸쳐 있는 경우는 아래그림과 같겠죠.
각도를 점점 줄여서 생각해보아도 마찬가지로 수직항력은 존재해야 함을 알 수 있습니다. (그림을 그리기가 너무 어려워 생략했습니다. 양해바랍니다. )
각 점마다 결국 크기가 얼마인지 잘 몰라도 도르래에 걸쳐서 수직항력이 존재하고 있다는 사실을 유추해낼 수 있을 것입니다.
> 앞의 그림에서는 점으로 취급해서 수직항력같은 것은 고려의 대상이 되지 않았지만, 사실은 수직항력도 함께 생각을 해야한다는 것을 알 수 있습니다. 물론 저도 이번에 처음 생각하게 된 것이라 구글링을 하게 되었습니다. 그랬더니 기계공학쪽에서 다루는 주제로 보이는 글들을 찾았습니다.
> https://en.wikipedia.org/wiki/Capstan_equation
(마찰력이 존재하는 경우에 장력이 달라지는 관계식을 구한 사람이 있습니다.)
> https://doubtnut.com/question-answer-physics/suppose-we-consider-friction-between-string-and-the-pulley-while-still-considering-the-string-to-be–32506518
(Capstan 식이 어떻게 나왔는지 상세한 과정입니다. 각 지점별 수직항력의 관계를 알 수 있네요.)
> 물론 이 글들을 읽고 이해하시라고 올려둔 것은 아닙니다. 결국 이런 문제들을 풀기 위해 지금의 공부를 하고 있는 것이란 것을 보여드리는 것입니다.
그러니까, 질문의 발단은 실에는 장력만 있다고 생각했기 때문입니다. 도르래와 실 사이에 수직항력도 있을 수 있는 것이고, 실이 도르래를 당기는 것은 수직항력입니다. (도르래가 실을 미는 것도 수직항력입니다.)
마찰력이 있을 때 도르래
위의 참조 링크로 걸어둔 사례는 생각하기 좀 어려운 경우입니다만, 물리 문제에서도 실과 도르래 사잉에 마찰력이 있는 문제에 대해 다룹니다. 실을 감아두었다가 잡아당기면 도르래가 돌아가는 현실적인 문제(유사하게는 팽이에 실을 감아 당기는 경우)를 다를 수가 있어야 하니까요. 이 부분은 회전운동에서 다루게 됩니다. 그 주제는 다음에 글 쓰면 링크 걸어두겠습니다.
글을 마치며
여태껏 만나본 여러 장력에 대한 질문들에 대한 답을 위해 필요한 것들을 모아서 정리해 보았습니다. 모든 학문들이 다 그렇지만, 물리는 특히나 생각을 하지 않고 단순히 외어서만 풀 수 없습니다. 제발… 공식을 외어서 푸는게 아님을 깨닫기 바랍니다.
(그리고,,,, 물리에는 공식이란 게 거의 없습니다. 대부분 자연 법칙을 수학적으로 표시한 것입니다. 주위를 둘러 보면 공식이 어떻다고 말씀하시는 분들이 많은데, 공부하실 때 어떤 식을 잘 푸는게 중요한게 아니라 알고 있는 자연법칙을 그 상황에 알맞게 적용시킬 것인가를 생각하는 것, 즉 식을 잘 세울것 인가를 고민해야합니다. )
이 글은 게시판에 있는 아래 질문들에 대해 답하기 위해서 썼습니다. 질문하기를 꺼려하는 한국 문화에서 용기 내어 질문하신 몇몇분들의 덕분입니다. 여러분들의 질문 덕분에 저도 많은 것을 배우고 있습니다. 질문주셔서 감사합니다.
헉 ~ 도르레가 아니라 도르래가 맞는 표현이라구하네요… 왜 난 평생을 도르레라고 알고 있었는지… 그래서 고친다고 고쳤는데,,,, 놓쳤더라라도 양해 부탁드립니다.
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