blog - 25 중 20 번째 페이지

2018-06-152019-08-19

쿨롱의 법칙 문제 틀리는 법 – 1차원, 점전하 문제에서

쿨롱의 법칙은 잘 알고 계실거라 생각하고 문제를 풀 때 왜 틀리는지를 알아보려합니다.
흔히들 하는 실수가 주어진 식을 잘못 적용하여 생기는 문제인데, 저도 가끔씩 그런 실수를 합니다. 잘못 적용했을 때, 금방 잘못인지 알아채고 고칠 수 있으면 되는데, 많은 분들이 그것이 잘못되었다는 것조차도 알지 못하는 경우가 많다는게 문제입니다. 물리를 수식을 적용하는 암기과목처럼 접근하려고 하는 습관이 있기 때문이라고 생각하는데, 오늘은 쿨롱의 법칙을 가지고 문제를 틀리는 경우를 따져보겠습니다.(점전하, 1차원에서)

쿨롱의 법칙

두 개의 전하의 전하량이 각각 q,Q 라고 하고 거리 r 만큼 떨어져 있을 때, 각 전하에 미치는 힘 F는 거리의 제곱에 반비례하고, 각 전하량에 비례하며, 전하의 부호가 같으면 척력, 부호가 다르면 인력이 됩니다.
식으로 표현하면
$\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$
됩니다. $k$ 는 비례상수로 $\sim 9 \times 10^9 (N \cdot m^2 \cdot C^{-2})$ 의 값을 가지고, $\frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ 값과도 같습니다.
F 값이 + 이면 척력, – 이면 인력을 의미합니다.

문제를 틀려보자 1

전하량이 5C 인 전하가 x 축의 원점에 있을 때, 위치 x에 있는 전하량이 -3C 인 전하가 받는 힘의 크기(N)와 방향은 (x 가 증가하는 방향이 + )?

이런 쉬운 문제가 있다니… 위에 있는 식에다 숫자를 재빨리 넣어줍니다.
$F= k \frac{5\cdot (-3)}{x^2} = - \frac{ 15 k}{x^2}$
이렇게 답을 하는 순간 틀리게 됩니다.

왜 틀렸는지 찾았습니까?
x > 0 인 경우에는 F 가 (-)값이 나오고 문제가 없습니다만, x < 0 인 경우에도 F 가 (-)나와서 위치 x 에 있는 -3C 이 x축의 (-)방향으로 힘을 받는다는 표현 즉, 척력(서로 멀어지는 방향)이 작용한다고 표현하고 있다는 문제가 있습니다.
$\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 의 결과인 (+),(-)의 의미는 전하를 기준으로 했을 때의 방향이지, x축과 y축과 같이 절대적 방향을 의미하는 식이 아닙니다.
등가속도 직선 운동에서 힘의 방향은 절대적 방향이어서 (+)(-)가 크게 문제되지 않았지만, 쿨롱의 법칙에서는 전하를 기준으로 하는 상대적 방향이라서 신경을 많이 써야 합니다.

정답이 되려면,
x>0 일 때, $F= - \frac{15 k}{x^2}$
x<0 일 때, $F= \frac{15 k}{x^2}$
가 되어야 합니다.

문제를 틀려보자 2

전하량이 5C 인 전하가 x 축의 원점에 있고, x=3위치에 있는 전하량이 -3C 인 전하가 있을 때, x 위치(x>3)에 있는 전하 q 가 받는 힘의 크기(N)와 방향은 (x 가 증가하는 방향이 + )?

$F= k \frac{5\,q}{x^2} + k \frac{-3\,q}{x^2} = k \frac{ 2\,q}{x^2}$
혹시 이렇게 푸시는 분이 있을까 싶어서 적어두었습니다.

$\displaystyle F= k \frac{q\, Q}{r^2}$ 에서 r 은 둘사이의 ‘거리’를 말하는 것이지 ‘위치’가 아닙니다.
5C 은 원점에 있으니까 q 와의 거리가 $| x |$ 로 이고,
-3C 는 x= 3 인 위치에 있어 q 와의 거리는 $| x - 3 |$ 이 됩니다.

정답은
$F= k \frac{5\,q}{|x|^2} + k \frac{-3\,q}{| x - 3 | ^2} = k \frac{5\,q}{x^2} + k \frac{-3\,q}{(x - 3)^2}$ (단, x>3)
다른 위치에서는 (+)(-) 를 다시 따져야 합니다.

정리

• $\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 에서 r 은 ‘위치’가 아니라 ‘두 전하 사이의 거리’ 를 말합니다.
• 방향은 각 전하를 기준으로 하는 상대적 방향입니다.
• 문제를 풀 때에는 각 전하를 기준으로 영역을 쪼개어 방향을 생각하고, 크기는 $\displaystyle F= k \frac{|q| \,|Q| }{r^2}$ 로 양수만을 구하는 것을 추천합니다.

부연 설명

쿨롱의 법칙을 적용할 때 영역 쪼개지 않고 한 식으로 표현하는 방법은 식을 벡터로 표현하는 것입니다.
전하 $q_1$ , $q_2$ 가 각각 $\vec{r_1}$ , $\vec{r_2}$ 에 있을 때,
$q_2$ 에 의해 $q_1$ 이 받는 힘
$\displaystyle \overrightarrow{F_1} = k \frac{q_1 \cdot q_2 }{| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|^2 } \cdot \frac{ \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}} {| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|}$
이 됩니다.
훨~~~씬 복잡하게 표현되지요? 그래서 물리학 개론에는 다행히도 처음 본 식처럼 표현하는데, 사용할 때 상당한 주의를 해야합니다. 중요한 것은 쿨롱의 법칙은 “각 전하에 미치는 힘은 거리의 제곱에 반비례하고, 각 전하량에 비례하며, 전하의 부호가 같으면 척력, 부호가 다르면 인력” 이라는 내용이지, $\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 식이 아닙니다. 식은 그런 내용을 잘 표현하려고 노력하는 것일 뿐입니다. 물리에 식을 끼워 맞추면 $\displaystyle \overrightarrow{F_1} = k \frac{q_1 \cdot q_2 }{| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|^2 } \cdot \frac{ \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}} {| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|}$ 는 방법으로 식의 모양은 얼마든지 다르게 표현될 수도 있는 것입니다. $\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 식을 외우는 것보다 중요한 것은 내용을 아는 것이고, 그 내용에 맞게 식을 적용해야하는 것입니다.

문제 풀어보기

공무원 7급 국가직 문제에 3번 나왔습니다.
2008
2009
2011
예전에는 나왔는데, 요즘은 가우스법칙 적용하는 문제가 주로 나오고 있습니다.
이제는 고등학교 문제로 격하되었나 봅니다. 2019년 수능 문제로 출제 되었네요.

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-13

공무원 7급 국가직 2010 고책형 문제 8번

수소원자에서 전자가 바닥상태(n=1)에 있을 때 에너지 준위는 $E_g$ 이다. 두번째 들뜬 상태(n=3)에서 전자의 에너지준위를 묻는 문제입니다.(n은 양자수)

① $\frac{1}{4}|E_g|$
② $\frac{2}{3}|E_g|$
③ $\frac{3}{4}|E_g|$
④ $\frac{8}{9}|E_g|$

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2010_물리학개론_고형 문제 8번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-13

공무원 7급 국가직 2007 공책형 문제 4번

수소원자에서 전자가 바닥상태에 있을 때 에너지 준위는 -13.6eV 이다. 첫번째 들뜬 상태에서 전자의 에너지준위[eV]를 묻는 문제입니다.

① -9.6
② -6.8
③ -3.4
④ -1.7

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2007_물리학개론_공형 문제 4번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-13

공무원 7급 국가직 2007 공책형 문제 10번

원자의 전자 상태를 나타내는 양자수는 주(n), 궤도 각운동량(l), 궤도 자기(m_l), 스핀 자기(m_s) 로 구성되어 있는데, 주양자수 n=5 일 때, 상태의 수를 묻고 있습니다.

① 30
② 40
③ 50
④ 60

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2007_물리학개론_공형 문제 10번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-13

공무원 7급 국가직 2015 3책형 문제 11번

수소원자에 대한 보어 모형에서 첫번째 들뜬 상태 (양자수 n=2) 일 때, 궤도 반지름이 r 이면 전자의 전자의 운동량의 크기를 묻고 있습니다.(전자 질량은 $m$ , 플랑크 상수 $h$ )

① $\frac{\pi r}{h}$
② $\frac{2 \pi r}{h}$
③ $\frac{h}{\pi r}$
④ $\frac{h}{2\pi r}$

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2015_물리학개론_3형 문제 11번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-13

공무원 7급 국가직 2014 A책형 문제 13번

수소원자에 대한 보어 모형에서 양자수 n=1 일 때, 반지름이 R 이면 전자의 물질파 파장 $\lambda$ 과 전자의 속력 $v$ 는 얼마인가를 묻고 있습니다. (전자 질량은 $m$ , 플랑크 상수 $h$ )

① $\lambda = \pi R , v = \frac{h}{2\pi R m}$
② $\lambda = \pi R , v = \frac{h}{\pi R m}$
③ $\lambda = 2 \pi R , v = \frac{h}{2\pi R m}$
④ $\lambda = 2 \pi R , v = \frac{h}{\pi R m}$

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2014_물리학개론_A형 문제 13번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-132018-06-13

공무원 7급 국가직 2011 우책형 문제 11번

수소원자에 대한 보어 모형에서 전자 궤도의 반지름이 가장 작은 n=1 일 때, 속력이 $v_1$ , n=2 일 때, 속력이 $v_2$ 이면 $v_1/v_2$ 은 얼마인가를 묻고 있습니다.

① 1/4
② 1/2
③ 1
④ 2

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2011_물리학개론_우형 문제 11번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-132018-06-13

공무원 7급 국가직 2016 2책형 문제 10번

수소원자에 대한 보어 모형에서 바닥상태에 있는 전자 궤도의 반지름 r = 0.053nm 일 때 전자의 속력을 구하는 문제입니다. (쿨롱 상수 $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9.0\times10^9 Nm^2/C^2$ , 전자질량 $m = 9.0\times 10^{-31}kg$ , 전자의 전하량 $e = -1.6\times10^{-19}C$ , 빛의 속도 $c = 3.0\times10^8m/s$ )

① 0.0025c
② 0.0050c
③ 0.0075c
④ 0.0100c

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2016_물리학개론_2형 문제 10번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-132018-06-13

공무원 7급 국가직 2008 봉책형 문제 17번

보어 원자 모형에서 세운 가정이 아닌 것을 묻고 있습니다.

① 전자는 핵 주위를 광속에 가까운 속력으로 움직인다.
② 핵과 전자 사이의 쿨롱의 힘에 의해 전자는 원운동을 한다.
③ 전자는 특정궤도에서 에너지를 방출하지 않고 운동할 수 있다.
④ 전자의 궤도 각운동량값은 어떤 값의 정수배이다.

[확인] [해설 보기]

공무원 7급 국가직 2008_물리학개론_봉형 문제 17번

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

다른 글을 더 읽어 보시겠습니까? 개념지도를 클릭해보세요.

구글 맞춤검색을 이용할 수 있습니다.

2018-06-132019-08-14

원자모형 – 보어 모형

원자 모형은 돌턴 – 톰슨 – 러더퍼드 – 보어 – 양자역학의 현대모형의 과정을 거치면서 발전합니다.

보어 가설

보어는 원자가 어떻게 될지 몇 가지를 가정하여 그 이전 모형으로는 설명할 수 없는 것을 설명하려는 시도를 했습니다. 그 가정을 정리하면 다음과 같습니다.

1. 전자는 원궤도 운동을 한다.

원궤도를 이루는 이유는 원자핵과 전자의 전기력 때문입니다. 수소원자의 경우, $F = k \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ 를 만족합니다. 전기력이 원궤도의 구심력이 됩니다. e 는 전자의 전하량, k 는 쿨롱 법칙의 상수

2. 특정한 원궤도에서만 안정하다. 그 때는 전자기파는 방출하지 않는다.

전자기학에서 알고 있는 것, 전자가 가속도운동을 하면 전자기파를 방출한다는 사실을 무시합니다.

3. 어떤 안정된 궤도에서 다른 안정된 궤도로 바뀔 때 (전자가 전이될 때), 빛을 방출/흡수한다.(원자의 에너지가 바뀐다.)

전자기파의 방출/흡수는 빛의 방출/흡수를 말합니다. 그 때 방출/흡수된 빛의 파장을 $f$ 라고 하고, 궤도 $n$ 의 원자의 에너지 $E_n$ 이라고 하면 $E_n - E_m = h \, f$ ( $h$ 은 플랑크 상수) 결국 에너지 보존 법칙을 만족한다가 되죠.

4. 안정된 전자궤도는 양자화되어있다. 그 조건은 전자의 각운동량 $mvr = n \frac{h}{2\pi}$ ( $n$ 은 자연수) 을 만족하는 조건이다.

각운동량을 잘 모르면 이해하기 어렵습니다. 그래서, 조금 다르게 설명하기도 하는데, 위의 수식을 조금 바꾸어 씁니다. 그러면, $2\pi r mv = n h$ 를 만족한다는 말인데, $n \frac{h}{mv} = 2\pi r$ 인 조건과 같습니다. 즉, 전자의 드브로이파(물질파)의 정수배가 원둘레길이와 같다. 그래서, 안정된 궤도의 ‘전자의 물질파가 정상파를 이루고 있다’와 같은 말로도 표현합니다.

수소 원자 에너지 준위

수소 원자는 정지해 있다고 보고, 전자의 역학적 에너지를 말하는 것입니다. 전자의 운동에너지 + 전자의 위치에너지가 됩니다.
전기장에 의한 위치에너지 $E_p = - k \frac{e^2}{r}$ 이고,( $r = \infty$ 일 때, $E_p = 0$ 이 되도록 기준값을 정했습니다.)
운동에너지 $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = - k \frac{e^2}{2 r}$ 가 되므로,(위 구심력 식이 있습니다.)
역학적 에너지 $E_n = E_k + E_p = - k \frac{e^2}{2 r}$ 이 될 텐데,
r 은 양자화조건이 있으므로, n 에 따라 정해지고, E 도 n에 따라 정해집니다.
잘 정리하면 $E_n = -13.6eV / n^2$ 이 됩니다.

수소 원자 보어 모형에서 n 에 따른 물리량

n 값에 따라서 각 물리량이 어떻게 되는지를 정리해 보겠습니다.

위에서 수소원자에서 만족하면 되는 식은 두개입니다.
$k \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
$m v r = n \frac{h}{2\pi}$

n 이 바뀌면, 속력 v도 바뀌고, 궤도 반지름 r 도 바뀝니다. 따라서, 기호를 바꿔쓰겠습니다.
$k \frac{e^2}{r_n^2} = \frac{m v_{n}^{2}}{r_n}$
$m v_n r_n = n \frac{h}{2\pi}$

$r_n$ 을 알고 싶으면 $v_n$ 을 소거합니다.
$r_n = n^2 \frac{h^2}{4 \pi^2 k e^2}$

$v_n$ 을 알고 싶으면 $r_n$ 을 소거합니다.
$v_n = \frac{1}{n} \frac{2 \pi k e^2 }{h}$

n 이 커질 수록
• 궤도 반지름(r) 은 $n^2$ 으로 비례하고
• 전자의 속력(v) 는 $1/n$ 으로 비례하여 줄어듭니다.
• 전자의 각 운동량은 mv r 이니까 $n$ 으로 비례하여 늘어납니다.

• 위치에너지 $E_p = - k \frac{e^2}{r}$ 이니까
n 이 커질 수록 $- \frac{1}{n^2}$ 로 비례하는데 (-) 가 있으므로 증가하는 것입니다.

• 운동에너지는 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ 는 n 이 커질 수록 $\frac{1}{n^2}$ 로 비례해서 줄어 들긴합니다.

• 역학적 에너지는 두개의 합으로 수소 원자 에너지 준위에서 설명한 것과 같이 결국, n 이 커질 수록 $- \frac{1}{n^2}$ 로 비례합니다. (-) 가 있으므로 증가하는 것입니다.

• 물질파 파장 $\lambda_n = \frac{h}{mv_n}$ 이므로 $n$ 에 비례해서 늘어납니다.

‘전자의 물질파가 정상파를 이루고 있다’ 로 표현하는 경우
n = 2 일 때는 2배 진동이 되고, 물질파 파장도 2배가 되므로, 원궤도 둘레가 4배가 되고, 반지름이 4배가 된 것과 일치한다는 뜻입니다.
n = 3 일 때는 3배 진동이 되고, 물질파 파장도 3배가 되며, 원궤도 둘레가 9배가 되고, 반지름이 9배가 된 것과 일치한다는 뜻입니다.

• 전자와 원자핵사이의 전기력은
$F = k \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ 이므로
$\frac{1}{n^4}$ 으로 비례하고 n 이 커질수록 작아집니다.

공무원 국가직 7급 기출 분석

• 매년 1문제는 원자핵이나 원자 모형에 대해 묻고 있습니다. 둘 다 암기성이지만 어렵지 않으므로 약간만 시간을 투자하면 됩니다.
• 보어 양자 가설에 나오는 식 2개로 문제를 풀게됩니다. 가끔 수소 원자의 에너지 준위를 묻기도 하는데, 그 자리에서 식을 풀 수 없으니, 마지막 결론 $E_n = -13.6eV / n^2$ 은 외고 있는게 좋을 듯 합니다.
• 공무원 국가직 7급에서 상태수를 묻는 문제가 출제가 된 적이 있습니다. 물리전공인 사람들이 1년간 양자역학에서 배우는 내용입니다. (간단히 설명할 수 있는게 아니라는 뜻입니다. )이 결과가 화학시간에 배우는 내용입니다. 화학시간에 배운 내용을 바탕으로 풀어야 할 것 같습니다.