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직렬 연결, 병렬 연결의 문제가 종종 있습니다. 이런 문제를 최종 관계식으로 풀려고 하는 분들을 많이 보았습니다. 이유는 모르겠고 일단 외운 다음 써 먹자는 생각을 하고 있다면 물리 점수를 잘 받기는 어렵습니다. 출제자도 그렇게 수식 하나 외어서 풀수 있는 문제를 출제하려고 하지 않습니다. 직렬 연결, 병렬 연결할 때 일어나는 일을 제대로 알고 있는지를 물어 보려는 것입니다.

직렬 연결, 병렬 연결 문제는 주로 회로에서 저항, 축전기, 코일을 연결할 때나 역학문제에서 스프링(용수철)을 연결할 때 볼 수 있습니다. 그 개별적인 내용은 각각 그 주제를 찾아서 보시면 되고 직렬 연결, 병렬 연결을 한꺼번에 보면서 공통된 것을 살펴보려고 합니다.

결과식 찾아내기

직렬 연결, 병렬 연결의 최종 결과식을 찾아내는 순서입니다.
1. 각 요소들이 단순한 곱으로된 관계식을 확인합니다.
2. 연결되더라도 각 요소들이 부분과 전체가 값이 같은 것이 있습니다.
3. 연결되면 각 요소들이 부분이 되어 전체는 각 부분을 합한 값을 같게 되는 것이 있습니다.
4. 합으로 표현되는 식을 관계식으로 바꾸어 줍니다.
5. 바꾸어준 관계식을 2의 같은 값으로 나누어주면 최종 결과식이 나옵니다.

관계식 확인

저항 V = R * I

코일 V = L * dI/dt

축전기 Q = C * V

스프링 F = k * x

(원래는 F = – k * x , – 가 계속 붙게 되면 지저분해 보여서 떼어냈습니다 k는 음수라고 하면 이 식도 틀린것은 아닙니다.)

>R,L,C,k 는 그렇게 하기로 정한 것이라 외우는 수 밖에 없습니다.

연결하는 것 (각 부분 요소)은

저항 Ra, Rb

코일 La, Lb

축전기 Ca, Cb

스프링 ka, kb

계수들을 각각 a, b 라고 이름 붙여두면

각 부분 요소도 관계식을 만족해야합니다.

저항	코일	축전기	스프링
V = I * R	V = L * dI/dt	Q = C * V	F = k * x
Va = Ia * Ra	Va = La * dIa/dt	Qa = Ca * Va	Fa = ka *xa
Vb = Ib * Rb	Vb = Lb * dIb/dt	Qb = Qa * Vb	Fb = kb * xb

 

직렬 연결

요소	저항	코일	축전기	스프링
전체든 부분이든 같은 값을 갖는 것	I = Ia = Ib	dI/dt = dIa/dt = dIb/dt	Q = Qa = Qb	F = Fa = Fb
전체는 부분의 합이 되는 것	V = Va + Vb	V = Va + Vb	V = Va + Vb	x = xa + xb
관계식 적용	R * I = Ra* Ia + Rb * Ib	L * dI/dt = La * dIa/dt + Lb * dIb/dt	Q/C = Qa / Ca + Qb / Cb	F/k = Fa/ka + Fb/kb
결과식	R = Ra + Rb	L = La + Lb	1/C = 1/Ca + 1/Cb	1/k = 1/ka + 1/kb

 

병렬 연결

요소	저항	코일	축전기	스프링
전체든 부분이든 같은 값을 갖는 것	V = Va = Vb	V = Va = Vb	V = Va = Vb	x = xa = xb
전체는 부분의 합이 되는 것	I = Ia + Ib	dI/dt = dIa/dt + dIb/dt	Q = Qa + Qb	F = Fa + Fb
관계식 적용	V/R = Va/Ra+ Va/Rb	V/L = Va / La + Vb/Lb	C V = Ca * Va + Cb * Vb	k * x = ka * xa +kb * xb
결과식	1/R = 1/Ra + 1/Rb	1/L = 1 / La + 1/Lb	C = Ca + Cb	k = ka + kb

 

한 번 더 강조하면 마지막 줄의 결과식을 외는게 중요한게 아니라 처음 두줄이 이렇게 되는것을 이해하는 게 더 중요합니다. 처음 두줄만 제대로 이해하면 관계식만 적용하면 마지막 결과는 자동으로 맞게 됩니다. 천천히 들여다 보고 한번 생각해 보세요.

각 요소들이 3개, 4개, … 로 늘어나거나, 연결이 복잡한 경우에도 만족되어야 하는 것은 처음 두줄입니다.

각 요소별 설명

아래의 내용이 준비되면 link 걸어 놓겠습니다.

회로에서 직렬과 병렬의 구분  ( 뒷 부분은 level 7 의 수준입니다.)

저항의 직렬 연결, 병렬 연결

코일의 직렬 연결, 병렬 연결

축전기의 직렬 연결, 병렬 연결

스프링의 직렬 연결, 병렬 연결

검색창에서 "수험생물리"를 검색하시면 다시 찾아올 수 있습니다.

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원자가 어떻게 생겼는지 눈으로 볼 수는 없지만, 머리속으로 상상하는 모양이 있을 것입니다. 이런 모형은 우리가 실험할 때 나타나는 사실과 잘 일치해야합니다. 

원자란 무엇인지, 돌턴의 원자설은 어떤 내용인지는 중학교때 잘 배운 내용이고, 이제 한 발자국 더 나아갑니다. 

먼저 전자를 발견하게 됩니다. 전자기학시간에 음전하는 결국 전자라는 사실을 밝혀내게 됩니다. 

전자기학시간의 양전하와 음전하가 왜 생겼났나를 설명할 수 있는 모형이 되어야하기 때문에 톰슨의 원자 모형이 나오게 됩니다. 

 

직접 실험한 것을 보여주는 페이지

그런데 바람개비는 잘 보이지 않아서 아래를 보시면 됩니다. 

 

결국 원자는 전자와 나머지로 구분된다는 것입니다. 그 나머지를 열심히 탐색해야겠죠.

그래서, 러더퍼드가 실험을 합니다. 결국 그나머지는 똘똘뭉쳐있는  핵으로 이루어져 있다는 것입니다.

 

물론 ‘산란’이란는 물리학적 현상은 계산이 복잡해서 전공자들만 배웁니다. ^^ 다행이죠?

 

핵이 있다는 것을 알게 되었으니 핵에 대해서 배웁니다.  핵에 대해서는 시험에 잘 나오더군요. 금방 배워서 점수 따기 좋은 영역이지요.

 

 

 

 

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복사는 열을 전달하는 3가지 방법 (전도,대류,복사) 중 하나입니다. 복사는 전도나 대류와는 달리 아무런 물질이 없어도 열을 전달 할 수 있습니다. 아무런 물질이 필요 없는 것은 매질이 필요없는 빛을 이용하여 에너지를 전달하는 방식이기 때문입니다. 빛도 파동 현상 중 하나라고 배웠으므로 빛도 에너지를 전달합니다. 복사는 빛을 통해 아무런 물질을 거치지 않고 직접 에너지를 전달하는 방법입니다.

빛이 물체에 닿게 될 때 일어나는 일이 좀 복잡하긴 합니다. 하지만, 흑체 복사는 기본적인 점만 조금 알고 나면 이해할 수 있습니다. 시험에서는 자세히 알 필요없이 몇몇 관계식만 외우면 문제를 풀 수도 있겠지만, 여기서는 흑제 복사를 제대로 알고 싶은 분을 위해 설명합니다.

빛의 반사,흡수,투과

물체에 빛을 비추어 주면 물체의 표면에서 일부는 반사하지만, 일부는 물체 안으로 들어갑니다. 그렇게 물체에 들어간 빛은 물체에 흡수가 되지만, 물체가 얇은 경우에는 모두 흡수되지 않고 일부는 남아서 밖으로 나오게 됩니다. 빛이 물체에 흡수되지 않고 남은 양이 통과하는 것을 투과라고 합니다.

처음에 비추어준 빛의 에너지 양을 E 이라고 하고 반사, 흡수, 투과 한 빛의 에너지양을 각각 R, A, T 라고 한다면 E = R + A + T 가 됩니다.

거울 처럼 거의 대부분의 빛을 반사하는 경우(E ~ R)라면 물체안에 빛이 들어가고 통과해서 나오는 것을 거의 보기 어려울 것입니다. ( A + R ~ 0 )

일반적인 유리의 경우, 우리가 볼수 있는 파장의 빛(가시광선)을 쪼여주면 일부 반사하지만, 거의 흡수하지 않고 (A~0) 대부분은 투과합니다. ( E ~ R + T )

도자기로만든 접시가 불투명해보이지만, 밝은 빛을 비추어 보면 약간의 투명한 느낌이 남아 있는 것을 알 수 있습니다. 일부는 반사하고 나머지는 중 거의 대부분은 흡수하지만, 투과 되는 양은 아주 조금이 됩니다. (E ~ R + A, T ~ 0 )

그러나, 우리 주변의 대부분의 물체는 밝은 빛을 비추어 주어도 완벽할 만큼 빛을 다 가립니다. (뒤에 그림자가 생깁니다.) 즉, 일부는 반사, 나머지는 흡수하지만, 투과되는 양은 없습니다 ( T = 0 , E = R + A ) 물론 이런 물체도 아주 얇다면 미쳐 흡수되지 못하고 투과될 수 있습니다. 빛이 투과되는지 아닌지를 결정하는 것은 물질이 얼마나 빛을 잘 흡수되는가, 얼마나 두꺼운가에 달렸습니다.

단순한 것을 이렇게 길게 이야기한 것은 어느정도 두께를 가진 물체에 빛을 비추면 투과가 일어나지 않고, 반사와 흡수만 생각하면 된다는 이야기를 하고 싶었던 것입니다. 지금부터는 반사와 투과만 생각하면 될 만큼 두툼한 물체에 대해서 이야기합니다.

흑체

빛의 파장이 어떻든 상관없이 모든 빛을 흡수하는 이상적인 물체를 흑체(black body)라고 합니다. 반사되는 빛이 없으므로 까맣게 보일 것이므로 흑체란 이름이 전혀 이상한 것은 아닙니다.

물체 외부에서 물체로 빛을 비추게 되면 일부는 반사하고 일부는 흡수하지만, 흑체는 전혀 반사하지 않고 100% 흡수하는 물체를 말합니다. 아무래도 표면이 까만색인 물체가 흑체에 가까울 수 있겠지만, 보통 까만색인 물체도 어느 정도 빛을 반사합니다. 정말 100% 빛을 흡수하여 까맣게 된 물체라면 빛이 들어오지 않는 방안에서 우리가 눈을 감았을때 느끼는 까만색처럼 보여야 합니다. 실제로는 물체의 어느정도의 윤곽이 보인다는 것은 일부는 반사되고 있다는 말입니다.

검은색이 흰색보다 빛을 더 잘 흡수한다는 것을 실제로 실험하는 동영상

( 제목은 열의 복사실험 인데 실제는 빛의 흡수 실험이 더 알 맞은 제목입니다. ㅋㅋ 양초에서 나온 빛에는 눈에 보이지 않는 적외선이 아주 많이 포함되어 있습니다. )

빛의 흡수와 복사

흑체가 까만것은 외부에서 물체에 빛을 비추었을 때의 일을 이야기한 것이고 이제는 ‘물체에서 빛이 나오는 현상’을 이야기하려고 합니다. 반사는 물체에 빛을 비추어 주었을 때 이야기를 하는 것이고 이제는 빛이 하나도 들어오지 않는 깜깜한 방안에서 물체를 두었을 때도 그 ‘물체 자체에서 빛이 나오는 현상’을 말하려고 합니다. 그것을 ‘복사’라고 합니다. 흑체에서도 빛이 나오는 현상이 있는데도 까맣게 보이는 것은 나중에 설명하기로 하고 일단 정말로 물체에서 빛이 나오는 현상, 즉 복사 현상이 있는 것일까에 대해서 먼저 확신을 가져 보려고 합니다.

흑체가 빛을 모두 흡수한다는 것은 에너지를 흡수하는 것입니다. 그렇게 에너지를 흡수하는 물체라면 아무리 작은 양이라고 수십년 수백년 조금씩 에너지가 축적이 되면 물체의 온도는 올라 갈 것dl고, 그 물체는 점점 더 온도가 올라가면 결국 무한대의 온도를 가질 것입니다. 그것이 흑체가 아니라 흑체 비슷한 것이라고 해도 시간이 더 오래 걸리는 것 말고는 결국 흑체랑 다를 바가 없으니 우리 주변의 검은색 물체는 모두 무한대의 온도는 아니더라도 아주 온도가 높아야 하는데 실제로는 그렇게 뜨겁지 않은 것을 보면 빛을 받아서 에너지를 얻기도 하지만, 에너지를 다시 내어놓는 일도 있다는 뜻입니다.

에너지를 내어 놓는 비율을 \( \epsilon \), 흡수하는 비율을 \( a \) 라고 합시다. 이상적인 흑체는 \( a \) = 1 (100%) 인 물체를 말합니다. 앞에서 말한 것은 \( \epsilon \) 이 1보다 조금이라고 작다면 빛을 비추어주면 비추어준 빛의 총 에너지량에서 \( a – \epsilon \)만큼 쌓여서 점점 더 뜨거워지게 된다는 말이며 결국, 무한대의 온도를 가지는 일이 일어날 것이란 주장입니다.

굳이 흑체가 아닌 일반 물체라고 하면 비추어준 빛의 일부는 반사를 하게 되므로 흡수하는 비율이 \( a \) < 1 보다 작을 것이므로 0.7 이라고 합시다. 만약 \( \epsilon \) 이 0.7보다 작은 0.6 이라고 하면 \( a – \epsilon \)의 비율인 0.1 만큼씩은 에너지가 쌓여서 그 물체는 아주 뜨거워 질 것입니다. 반대로 \( \epsilon \)가 0.7 보다 큰 0.75라고 합시다. \( \epsilon – a \)의 비율인 0.05만큼 에너지가 줄어들면서 결국 아주 차거워져 0K 가 되어야 합니다. 그런데, 우리 주변에 그런 물체를 본적이 없다는 말은 결국 \( a = \epsilon \) 이란 말입니다. 흑체라면 \( a \)=1이므로 \( \epsilon \)= 1 인 게 분명하다는 말입니다.

이런 말을 들으니 마치 사기 당하는 느낌도 있겠지만, 이 말이 틀렸다면 주변에는 아주 뜨거운 물체와 아주 차가운 물체들로 가득차 있어야한다 결론에 도달합니다. 그런 거 본적 없으니 \( a = \epsilon \)란 걸 믿을 수 밖에 없단 말입니다. 즉 빛을 잘 흡수하는게 방출도 잘하고, 잘 흡수 못하는게 방출도 잘 못한다는 것입니다. 느낌은 전혀 그렇지 않지만, 우리가 그렇게 느끼는게 틀렸다는 것이죠.

다시 정리하면 흑체는 \( a = \epsilon = 1 \), 일반 물체는 흑체는 \( a = \epsilon < 1 \). 모든 물체는 \( a = \epsilon \) 이란 것이고, 이값이 1과 같으면 흑체, 아니면 일반 물체라는 것입니다. 이 사실을 잘 알고 있다면 이제는 흑체에 대해서만 다루도록 하겠습니다. 나머지 일반 물체는 흑체 성질에서 일반 물체는 1보다는 작은 \( a = \epsilon \) 을 곱한 것으로 생각하면 알 수 있기 때문입니다.

물체 외부에서 빛을 쪼여서 나타나는 반사, 흡수는 사실 빛의 파장에 따라 특성이 다양합니다. 이것에 대해서는 어려운 주제이니 더 이상 신경쓰지 말고 이제부터는 물체에서 빛이 나오는 복사에 대해서 더 열심히 알아봅시다.

그럼 현실에서 흑체를 만드려면

빛을 100% 흡수하는 물체를 만드려면 물질의 특성 자체가 빛을 100% 흡수하게 만들어야 합니다. 빛을 전혀 반사하지 않는 물질을 찾는 것과 같습니다. 이렇게 만드는 연구도 많이들 진행하는데, 이런 물질을 ‘super-black’ 이라고 합니다. [위키피디아] 를 참고하시면 최근까지의 대략의 연구 결과를 알 수 있습니다.

아래 그림은 한 예입니다.

> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vantablack_01.JPG 를 참조하십시오.

[동영상] 도 참고 할 만 합니다.

글의 앞부분에서 빛을 100% 흡수하게 되면 물체의 윤곽을 전혀 알아 볼 수 없다는 말이 무슨말인지 실감이 날 것입니다. 알루미늄 호일이 구겨져 있지만 검은 부분에서는 전혀 알 수 없으며, 동영상처럼 마스크위에 super-black 물질을 발라두면 마스크 윤곽을 알아 볼 수 없습니다. 우리가 평소에 보는 검은색은 빛을 제법 많이 반사한다는 말을 실감할 수 있을 것입니다.

이렇게 물질의 자체에 특성이 빛을 잘 흡수하는 것을 찾은 것은 그래도 최근 일이며 100여년 전에는 이런 물질들이 없어서 반사하는 성분이 많은 물질을 이용할 수 밖에 없었습니다. 그래서, 흑체에 대한 연구를 하기 위해서는 물체의 모양을 이용하였습니다. 100% 빛을 흡수한다는 말은 한 번 들어간 빛이 절대 못 나오도록 만드는 것과 같습니다. 아래 그림과 같은 구조를 말합니다.

> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Black_body_realization.svg 를 참조하십시오.

[현실에서 흑체를 만드는 법] Fig. 6.1.1 도 참고할 만 합니다.

빛을 반사하는 특징을 가진 물질을 이용하더라도 이런 구조를 가지고 있다면 한 번 들어간 빛은 다시 빠져나오는 일은 없을 것입니다. (100%에 가깝게 흡수할 것입니다.) 예를 들어 10%쯤 반사 하고 90%쯤 흡수하는 물질로 만들었다고 합시다. 들어 온 빛이 한 번 반사하면 처음에는 90%가 흡수되고 10%가 반사되지만, 그 때 반사한 빛이 다시 두번째로 물체에 닿을 때는 그 10%의 90%도 흡수합니다. 벌써 처음 들어갈 때의 99%를 흡수합니다. 10번만 반사해도 99.99999999%는 흡수하게 될 것입니다. 아주 흑체에 가까운 물체가 되는 것입니다. 지금은 흡수의 측면만 생각했지만 앞에서 말했다시피 흡수를 잘하는 것은 방출을 잘하는 것이란 것을 잊으면 안됩니다. 흑체 복사를 연구하려면 이렇게 만든 물체의 조그만한 구멍에서 나오는 빛이 어떤 특성을 가졌는지 연구하면 됩니다.

흑체 복사

지금까지 이야기 한 것 중에서 흑체에서 나오는 빛에 대해서 이야기합시다. 이것이 흑체 복사입니다.

흑체 복사로 나온 빛의 파장은 얼마일까요? 흑체가 까맣게 보이는 걸로 봐서는 이게 가시광선이 아닌 것은 분명합니다. 물체에서 빛이 나온다는 것이 논리적으로 그럴싸해도 실제도 잘 받아들여지지 않는 이유가 바로 눈에 보이는게 없기 때문입니다. 하지만, 엄청나게 온도를 올리면 이제 상황이 바뀝니다.

흑체는 아니지만 쇠덩이가 있다고 합시다. 이게 반짝거리는 것은 빛이 반사되어서 그렇게 보이는 것입니다. 들어온 빛의 대부분은 반사를 합니다. 평소에 이 쇠덩이를 보이는 것은 흑체복사를 눈으로 보는 것은 아닙니다. 빛이 하나도 안들어 오는 방안에 넣어 두면 반사되는 빛이 없어 쇠덩이 어디 있는지 보이지 않을 것입니다. 그러나, 빛이 하나도 없는 방안에서도 쇠를 가열하면 빨갛게 변하게 됩니다. 그렇게 나온 빛은 워낙 밝아서 굳이 빛이 하나도 없는 방을 만들 필요도 없습니다. 다음 그림과 같이 쇠덩이에서 빛이 나오는 것을 볼 수 있습니다.

> [POSCO 홍보영상] 에서 허락 없이 일부를 가져왔습니다.

흑체복사를 이렇게 멀리서 찾을 필요가 없습니다. 고기 구울 때 빨간 숯을 본적 있을 것입니다. 낮은 온도에서 숯은 검은색을 띱니다. (이건 제법 흑체와 비슷하겠군요.) 그러나, 온도를 올리게 되면 숯이 빨갛게 보이는 것도 뜨거운 숯이 내어 놓는 빛을 보는 것입니다. (복사현상을 보는 것입니다.)

흑체 복사로 나오는 빛의 에너지량은 오로지 온도에만 의존합니다.
> 이것도 증명이 가능합니다만, 어려울 수도 있고, 내용이 길어지니 요청하는 분이 있을때 별도로 다루겠습니다.

흑체 복사 현상에서 온도에 따라 흑체의 색깔이 다르게 됩니다.

> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Color_temperature_black_body_800-12200K.svg
를 참조하세요.

우리가 미술시간에 배운 따뜻한 것 빨간색, 차가운 것 파란색과는 반대입니다. 뜨거운 것이 파란색, 중간은 흰색, 차가운 것이 빨간색입니다. 더 차가우면 눈에 안보이는 빛(적외선)이 나옵니다. 반사도 없고, 복사한 빛도 눈에 보이지 않으므로 물체는 까맣게 보입니다. 가열하지 않은 숯의 경우 까맣게 보이지만, 그래도 눈에는 보이지 않는 적외선이 나오고 있다는 말입니다.

색깔을 비교해 보니 posco 쇳덩이의 온도는 대략 1000K 쯤 될 것입니다. POSCO 직원분은 워낙에 온도를 많이 측정하면서 보았기 때문에 이 색깔만 보면 몇도인지 10도 범위내로도 맞출듯합니다.

이 색깔은 ‘색온도와 화이트밸런스’를 이해하는 데, 지구 과학 시간의 ‘별의 온도’를 이해하는 데 도움이 됩니다.
디지털카메라에서 색온도나 화이트밸런스란 용어를 본 적이 있을 것입니다. 사람이 색깔을 받아들이는 것은 아주 복잡한 문제들도 함께 가지고 있는데 그 중 하나가 흰색을 인식하는 문제입니다. 흰종이를 다양한 조명아래에서 카메라로 찍어서 서로 비교하면 분명히 다른 색깔을 띄게 됩니다. 녹색 조명아래에서는 녹색, 노란 조명아래에서는 노란색으로 나타납니다. 그러나, 사람이 흰색을 인식할 때에는 주변 조명에 따라 착각을 잘 합니다. 그래서, 흰종이를 백열등 아래서 보는 것과 형광등 아래에서 볼 때 분명히 다른 색깔인데도 그냥 같은 흰색이라고 인식하는 문제가 있습니다. 그래서, 조명에 따라 진짜 기계가 측정하는 색깔이 다르지만 사람이 느끼는 것처럼 바꿔주는 변환을 하는 것을 화이트밸런스라고 합니다. 그 때 주변 조명의 색깔이 어떤 것인가를 알려 주어야하는데요. 그 주변 조명의 색깔이 흑체가 몇도의 온도를 가진 것과 같은가(색온도)를 이용합니다. 조명의 색깔이 4000K 흑체와 같다라면 색온도가 4000K 인 것을 흰색으로 파악하여 사진의 색깔을 변환합니다. 그 색온도의 숫자는 바로 위에서 보는 그림의 온도에서 온 것입니다.

지구과학시간에 별의 색깔을 알면 별들의 온도를 찾을 수 있다고 배웁니다. 아래는 오리온 별자리를 찍은 사진입니다.

자세히 보면 별마다 색깔이 조금씩 다른 것을 볼 수 있습니다. 그래서 위의 그림의 색깔과 온도값을 비교하면 별의 온도를 알 수 있습니다. 태양 표면 온도가 5,778K 라는 것도 이 색깔을 이용한 것입니다.

> 별이든 조명이든 흑체가 아닌데 왜 흑체복사를 이용해 설명할까요? 앞에서 말한 것과 같이 흑체와 일반 물체의 에너지 방출량의 값은 다릅니다. 그러나, 파장별 에너지의 비율은 동일하므로 흑체복사랑 비교해도 색깔이 다를 일은 없습니다.

흑체 복사 에너지 분포

무지개 색깔에 흰색은 없습니다. 원래 흰색 빛이란 것은 여러가지 색깔의 빛이 합쳐져 있는 것입니다. 태양빛을 나누면 무지개로 보인다는 것은 이미 잘 배워서 알고 있을 것입니다. 흑체의 색깔이 흰색이라고 하면 이것도 역시 단일의 파장이 아니란 말입니다. 마찬가지로 빨간색, 파란색인 것도 사실은 단일의 파장이 아니라 여러 파장의 빛이 들어와서 섞여 있는 것입니다. 그것을 파장 별로 (또는 진동수 별로) 크기를 측정할 수도 있습니다. 뿐만 아니라, 우리눈에 보이지 않는 적외선, 자외선도 기계를 이용한 측정이 가능합니다.

빨간색 바깥인 적외선, 파란색 바깥인 자외선은 눈에 보이지 않으니 우리가 색깔을 인식하는데는 영향을 주지 않습니다. 눈에 보이는 가시광선만 가지고 그 비율이 어느쪽이 많은가에 따라 빨간색, 흰색, 파란색으로 보이는 것입니다.

그 값을 그래프로 그리면 다음과 같습니다.

> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Black_body.svg 를 참조하세요.

먼저 가로축을 유심히 보아야합니다. 어떤 자료는 파장이지만, 어떤 자료는 진동수일 수 있습니다.
세로축의 단위를 보면 아주 복잡합니다. 이걸 직접 묻는 일은 거의 없을 테니 설명은 생략합니다.

> 아주 복잡한 값인 것은 맞습니다. 이렇게 말하는 것은 쉽게 설명하고 이해하기 어렵다는 말입니다.

무지개 색깔을 칠해놓은 것이 우리가 눈으로 색깔을 인식하는 부분입니다. 유심히 보야야하는 것이 그래프의 최대값입니다. 온도가 올라갈 수록 그래프 꼭대기(최대값)가 있는 파장값(가로축)은 짧아집니다. 또한, 온도가 올라갈 수록 그래프가 차지하는 면적이 엄청나게 커집니다. 이 두가지 특징을 각각 빈의 변위법칙, 슈테판 볼츠만의 법칙이라고 합니다. (좀있다가 다시 보겠습니다.)

지금은 이 그래프로 앞에서 본 색온도를 설명할 수 있어야 합니다. 그런데, 여기 그림이 적절하지 않아서 [다른 그림 Star Temperatures ] 을 추천합니다. 4000 red star, 5270K white star, 7000K blue star 라고 하는 것이 색 온도를 말합니다. 각각의 그래프를 보면 4000K에서는 붉은 색쪽이 양이 더 많고, 7000K 는 파란색이 더 많습니다. 5270K 는 빨간색과 파란색이 어느 정도 균형이 잡혀 있습니다. 온도가 올라가면 최대값이 점점 파란색쪽으로 옮겨가면서 빨간색에서 흰색, 파란색을 거치는 색온도를 가지게 된다는 것을 알 수 있습니다.

백열전등의 경우 거의 노란색에 가깝습니다. 대략 4000K red star 랑 유사하다고 생각해볼 수 있을 텐데요. (실제는 이보다 낮습니다.) 그래프 아래쪽 면적을 비교해보면 가시광선이 차지하는 비중이 얼마되지 않습니다. 가시광선에 해당하는 부분 아래의 면적은 눈에 보이는 빛이 내어놓는 에너지, 전체의 면적은 전구가 내어 놓는 총에너지입니다. 백열전등이 빛을 내기 위해서는 눈에 보이지 않는 빛에서 많은 에너지를 사용합니다. 에너지 보존 법칙을 생각하면 우리가 백열전등에 공급하는 총에너지가 바로 전체 복사에너지가 될 텐데, 빛으로 내어놓는 에너지가 얼마되지 않습니다. 그래서, 백열전등이 효율이 나쁜 전등이라고 하는 것입니다. (대략 5% 정도라고 하네요.)

빈의 변위 법칙

위에서 본 그래프는 파장에 따른 복사에너지 세기를 표현한 것입니다. 온도가 올라 갈수록 가장 세기가 센(에너지를 많이 내어 놓는) 파장이 짧아진다는 사실을 빈(Wien) 의 변위법칙( displacement law)라고 합니다. 흑체의 온도가 올라갈수록 복사에너지가 가장 큰 파장은 적외선, 빨간색, 노란색, 파란색, 보라색, 자외선의 순서로 점점 파장이 짧아지는 법칙입니다. (빛은 파장이 짧아질 수록 진동수가 커집니다.)

대략 \( \lambda T = 2.898 \times 10^{-3} m \cdot K \) 의 관계를 가지고 있다는 말입니다. T는 온도로 당연히(?) 절대 온도입니다.
섭씨 700 정도 되면 절대온도로 약 1000K 정도 되므로 가장 많은 에너지를 내어 놓는 파장 \( \lambda = 2.898 \times 10^{-3} / T \) [m]가 될 것이므로 대략 3um 가 된다는 말입니다. 빨간색이 0.6um 정도 되므로 이보다는 파장이 긴 적외선임을 알 수 있습니다.

> 숫자를 이렇게 대략적으로만 계산하는 것은 그냥 감을 가지자는 의미입니다. 물리 연구하는 사람들은 먼저 빠르게 대략적인 값을 먼저 확인합니다.

위에서 1000K는 빨간색이라고 하지 않았나요? 라고 반문하시는 분은 다시 주의해서 글을 읽어야 합니다. 빈의 변위 법칙을 말하는 지금은 가장 에너지가 많이 나오는 파장이 적외선이란 말입니다. 이 파장 뿐만 아니라 그보다 작은 에너지를 내어놓는 여러 파장의 빛도 나오고 있습니다. 우리는 그런 빛을 다 모아서 한꺼번에 바라보기 때문에 빨간색으로 보게 됩니다.

절대온도로 약 6000도 정도 되면 파장이 대략 6배 짧아 질 것이므로 0.5um 쯤 됩니다. 파란색에 가까운 색깔을 내는 파장일 것입니다. ( 그러나, 모든 파장의 빛을 한꺼번에 다 모아서 바라보면 거의 흰색에 가깝습니다. )

슈테판 – 볼츠만 법칙

슈테판-볼츠만 법칙은 온도 T인 흑체에서 내어 놓는 단위 시간, 단위 면적당 에너지는 \( \sigma T^4\) 이고, \( \sigma = 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4} \) 이 되더라는 것입니다. 물론 단위는 무척 복잡합니다. 단위 시간, 단위 면적이란 말이 들어 가면서 그렇게 복잡해 졌습니다. 대략적으로 위에서 본 그래프를 파장으로 적분한 값이 \( T^4 \) 비례한다는 결과입니다. 시험에서는 동일한 크기, 시간 동안 흑체에서 내어 놓는 에너지는 \( T^4 \) 에 비례하더라는 결과가 중요합니다.

지구과학시간에 별의 광도는 그 별이 내어놓는 에너지를 말하는데, 슈테판-볼츠만의 법칙으로 찾아 낼 수 있습니다. 또, 광도를 이용하면 별의 크기를 구할 수도 있다는 것도 지구과학 책을 잘 뒤져보면 나옵니다. 어쨋든, 멀리 떨어져 있는 별에 대한 정보를 알아내는데 사용됩니다.

흑체 복사 분포를 수식으로 표현하면

슈테판, 볼츠만, 빈 등이 열심히 흑체에 대한 연구를 해서 일정한 법칙도 찾아내었습니다. 전체적인 모든 것을 알 수 있는 것은 처음에 살펴본 에너지 분포 그래프입니다.

단위도 무지 이상하고 이상한 기호도 많이 들어 있습니다. 직접 시험문제로 물어 보지는 않을 것이니 걱정할 필요는 없습니다. 앞의 두 법칙을 잘 설명하기 위해서 보여드리는 것입니다.

처음에 본 에너지 분포 그래프는

\( u(f) = \frac{8\pi h f^3}{c^3} \frac{1}{e^{hf/kT}-1} \)

이런 모양을 가지고 있습니다. 여기서 f 는 진동수, h 는 플랑크 상수, c 는 빛의 속력, k 는 볼츠만 상수, T 는 절대 온도 입니다.

여기서 에너지가 최대가 되는 파장 (진동수)를 찾는 것은
\( \frac {du(f)}{df} = 0 \) 이 되는 f를 찾는 것입니다.
직접 계산하면 아주 복잡한 모양을 가지고 있는데, 대략적인 모양이 빈의 변위법칙과 같습니다.

에너지 분포를 진동수로 적분하면

\( \int_{0}^{\infty} u(f) df = \frac{8\pi^5 k^4 }{15 c^3 h^3} T^4 \)

이라는 복잡한 값이 나옵니다. 이것이 슈테판 볼츠만 법칙입니다. 슈테판 볼츠만 법칙의 \(\sigma \) 값이 \( \frac{8\pi^5 k^4 }{15 c^3 h^3} \) 과 같음을 알 수 있습니다.

기존의 알고 있는 지식에 잘 들어 맞는 이 에너지 분포식은 플랑크가 찾았는데, 아주 엄청난 가정을 하고 있습니다. 그렇기 때문에 물리시간에 현대물리/양자역학을 배울 때 처음에 다루는게 되는 주제가 되었습니다.

플랑크 이전에는 레일리(Rayleigh)와 진(Jeans)가 기존에 알고 있는 모든 지식을 동원해 계산을 해서 주장한 에너지 분포는 파장이 좀 짧은 곳에서나 조금 맞을 뿐 너무 안 맞는 것이었습니다. 그러니, 뭔가 우리가 알고 있는 지식에 큰 문제가 있다는 사실은 알고 있었습니다. 그러던 중 플랑크가 엄청난 가정 하나를 하고 문제를 풀어 보았다는 것입니다. 그 엄청난 가정은 다음과 같습니다.

플랑크 상수

” 빛은 하나씩 셀 수 있는 불연속적인 에너지를 가지고 있다고 하자.”

이렇게 불연속적 값을 취하는 것을 양자화라고 합니다. 플랑크는 빛의 에너지를 양자화했습니다. 즉,
빛의 에너지는 진동수에 비례하며, E 는 hf 의 배수로 이루어져 있다는 생각을 도입하여 위의 에너지 분포식을 찾아 내었습니다.
여기서, \( h = 6.626 \times 10^{-34} J s \) 입니다. 진동수를 곱하면 에너지가 나와야 하므로 단위 \( J s\) 는 일의 단위 J 와 시간의 단위 s(초)입니다. h 를 플랑크 상수라고 합니다.

> 우리 주변이 연속값인데 어떻게 불연속이냐고 따지지 맙시다. 우리 주변이 아날로그값이지만 디지털로 변환한 컴퓨터 데이터로도 잘 살고 있습니다. 물리에서도 불연속한 값이 아주 작은 값이라서, 웬만한 부분에서는 아무 문제 없이 세상은 잘 돌아갑니다.

이후 주제에서는 플랑크의 이런 생각이 역사적으로 점점 어떻게 응용되는지를 보게됩니다. 여러분도 이제 양자역학에 대한 첫 발걸음을 딛게 되었습니다. 다음주제는 플랑크의 생각을 응용한 것으로 [광전효과] 라는 것입니다.

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후기

EBS 수능 문제를 볼 수 있는 방법을 찾았습니다. 그러면서 문제를 보았더니 제가 수준이 높을까 싶어서 일부러 설명하지 않는 것도 문제로 나오고 있네요… 글을 좀 더 수정해야겠습니다. 이렇게 어렵게 내니 수능에서 물리를 선택안하지… 라고 생각할 수 밖에 없네요. 대학생보다 더 어려운 걸 공부하는 고등학생 여러분 모두 파이팅!!

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[광전효과]와 함께 [컴프턴효과]는 빛의 입자적 성질을 보여주는 대표실험입니다. 빛의 순수히 파동의 성질만 가지고 있는게 아니라 입자적 성질도 가지고 있다면, 혹시 입자적 성질만 보았던 물체의 움직임에도 파동의 성질이 있지 않을까요?

물질의 파동적 성질

드브로이(de Broglie)가 왜, 어떻게 그런 생각을 하게 되었는지 모르지만, 빛이 이중적 성질이 있는 것 같이 물질도 이중적 성질을 가지고 있을 것라고 생각했습니다. 그 파동을 물질파(物質波, matter wave) 또는 드브로이파(de Broglie wave)라고 합니다.

광자의 에너지 E, 운동량 p 를 구하라고 하면

E = h/T = h f ( f는 진동수로 1/T )

p = h/\( \lambda \) = h k ( k 는 파수로 1/\( \lambda \))

라고 하는 것과 완전히 대칭적으로

물질파의 주기 T, 파장 \( \lambda \) 을 구하라고 하면

T = h/E ( E = 1/2mv^2 과 같은 운동에너지일 수 있습니다. 물론 아주 빠르다면 상대성 이론도 생각해야합니다.)

\( \lambda \) = h/p (p=mv 와 같은 운동량이겠지만, 아주 빠르다면 상대성 이론도 생각해야합니다.)

라고 생각하는 것입니다.

물질파?

우리가 평소에 알고 있던 파동이 물질의 파동입니다. 예를 들어 파도는 물의 파동입니다. 소리는 공기의 파동입니다. 물질이 원래 파동의 성질이 있는것 아닌가요? 물질파(드브로이파)와는 뭐가 다른가요?

물질파(드브로이파)에서 말하는 파동은 기존의 파동에서 이야기하는 것과는 다릅니다. 입자로 해석하던 물체의 움직임을 파동처럼 설명하자는 것입니다. 물체의 움직으로 입자로 해석하는 것은 물체가 움직이면 어딘가 도착하고 충돌하여 튕겨져 나오는 현상 등 물리를 처음 배울 때 움직임을 해석하던 그 방법들을 말합니다. 그렇게 움직이는 것을 파동처럼 생각할 수 있다는 것입니다. 파동시간에 배운 파동은 물체는 제자리에서 흔들거리고 에너지를 전파하는 것이지 직접 움직이는 게 아니라고 했습니다. 그러니, 물질파는 기존에 배운 파동과는 다른 내용입니다. 이제는 제자리에서 진동하는 것이 말고 물체의 이동하는 것 마저도 마치 파동같다니 도대체 뭔말인지 알 수가 없습니다.

그러게요..
아무리 말로 설명하려고 해도 잘 못하는 것은 제 실력이 좋지 않기 때문입니다. 그러니, 실험을 보면서 나타난 현상을 알려드리겠습니다.

입자로는 설명하기 어렵고 파동으로만 설명가능 한 대표적 현상이 회절, 간섭입니다. 물질파가 존재한다면 그런 회절,간섭현상이 보여야할 것입니다. 물리학자들도 물질파를 믿으려면 그런 증거를 보아야하지 않겠습니까? 그런 실험들을 통해 드브로이의 생각이 맞는지 검증을 하는 것입니다.

[컴프턴효과] 에서 X선의 파동의 성질을 설명할 때 고체에 X선을 쪼이면 X선의 회절,간섭에 의한 무늬를 볼 수 있다고 했습니다. 만약 전자의 물질파(드브로이파)의 파장을 X선의 파장과 같게 만들어서 고체에 전자를 쏘면 X선의 회절 무늬와 똑같은 무늬를 얻을 수 있어야 할 것입니다. 교과서나 인터넷에에 그런 무늬 그림이 나옵니다만 공개된 데이터는 구하지 못해서 못 보여드리네요.

뿐만 아니라 회절 실험의 대표실험인 이중슬릿의 무늬와 같은 것을 전자를 이용해서도 할 수 있을 것입니다. 전자는 입자입니다. 그러니까, 총처럼 전자를 쏘아주면 이중 슬릿을 지나 반대편 스크린에 떨어집니다. 그렇게 전자가 떨어진 곳이 밝게 빛나는 사진을 찍은 것입니다.

(이 그림의 출처 및 저작권 정보는 다음과 같습니다. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double-slit.svg )

그 이중슬릿 실험 결과를 구했습니다.

(이 사진의 출처 및 저작권 정보는 다음과 같습니다. https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Doubleslitexperiment_results_Tanamura_1.gif)

정확한 슬릿간격이나 전자의 속도등의 정보는 잘 모릅니다. 다만, 각 그림에 사용된 전자의 갯수는 (a) 8 , (b) 270, (c) 2000 , (d) 60000 개 라고 합니다.

그림의 (a)는 전자를 8개 쏘았습니다. 8개의 점이 나타납니다. 각 점마다 전자가 입자인 것이 잘 드러납니다. 여기 무슨 파동의 성질이 보입니까? 전혀 보이지 않습니다. 그냥 8개의 점이 있습니다.

그러나, 그 갯수를 점점 늘려갑니다. (b)는 270 개 입니다. (c)는 2000개 입니다. (d)는 6000개입니다. (d) 를 보니 두 개의 가는 선이 나타나는 게 아니라 마치 이중슬릿 회절 무늬와 같이 나타나는 것입니다.

> 여기는 자료가 없지만, 전자의 속력을 잘 조정하면 물질파의 파장이 바뀔 것입니다. 그러면 이 무늬의 간격도 바뀔 것입니다. 이 실험에서는 전자의 속력은 모두 똑같게 잘 만들어 둔 실험입니다.

이런 사진들이 물질파가 존재한다는 증거입니다. 이런 것과 비슷한 실험은 21세기가 들어서도, 전자가 아닌 것에서도 나타난다는 실험들은 계속 보여지고 있습니다. [Wave–particle duality](https://en.wikipedia.org/wiki/Wave%E2%80%93particle_duality)에서 Wave nature of large objects 란 부분에 보면 나열 되어 있습니다.

물질파를 파동함수로 표현하기

물질파의 파장은 \( \lambda \) = h/p = h /(mv) , 진동수 f = E/h = (1/2mv^2)/h 가 된다면 파동의 속력은 f \( \lambda \) = v/2 가 되잖아. 이거 뭐야?

상대성 이론을 따져야 하나?

\( \lambda = h/p = h /(mv) \)

\( f = E/h = (mc^2)/h \)

파동의 속력은 \( f  \lambda  = c^2/v \)

또 이건 뭐야? 빛보다 무지하게 빠른 속력인데..?

속력 v 가 제대로 나오지 않습니다. 이렇게 막상 파장과 진동수를 구하려고 해 보아도 이상한 결과에 이르는 것은 물질파를 단순한 sin 함수라고 가정하고 문제를 접근하고 있기때문입니다. 파동에서 설명드렸다시피 파동을 sin 함수로 설명하는 것은 파동을 쉽게 이해하기 위한 것이지, 파동이 반드시 단순한 sin 함수는 아닙니다. 일반적으로 파동은 많은 sin 함수들의 합으로 복잡한 모양입니다.

이렇게 복잡한 물질파의 파동함수를 찾아내려면 어떻게 알 수 있을까요? 그런 파동함수를 찾아내는 방법 중 하나가 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 푸는 것입니다.

> 요즘 좀 어려운 시험에서는 이 파동함수까지 물어 보는 문제가 출제됩니다. 제가 보기에는 좀 과도한게 아닌가란 생각이 듭니다. 전공자에게는 아주 쉬운 경우일지 모르지만 양자역학을 처음 배우는 일반물리/대학물리에서는 그냥 외어 풀어야하는 황당한 문제일 뿐입니다.

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[광전효과]와 함께 빛의 입자적 성질을 보여주는 대표실험입니다. 이 실험을 한 Compton 도 노벨상을 받은 중요성이 있는 실험이긴 한데, 광전효과가 시험 문제를 내는데는 너무나도 좋은 것들이 많기 때문에 시험에는 잘 안 나오는 주제이긴 합니다.

빛의 입자적 성질

[광전효과]에서 빛의 입자적 성질을 보일때 광자 하나의 에너지란 개념을 생각하는 것과 같이 운동량 개념도 생각할 수 있을 것입니다. 우리가 알고 있는 지식들을 총동원해봅시다.
특수상대성이론에서

에너지 \(E = \sqrt{m^2c^4+(pc)^2}\) (\(m\)은 질량, \(c\)는 빛의 속력,\(p\)는 운동량)

임을 알고 있습니다. 빛이 입자라고 해서 물질은 아니며, 질량\(m\)은 0 임을 말씀드렸습니다.

그러므로 위의 식에서 \(E = pc \) 라는 일반 물질과는 다른 값을 얻을 수 있습니다. 그래서, 광자 하나의 운동량이 \(p = \frac{E}{c}\)가 아닐까라고 추정해 볼 수 있습니다.

광전효과에서 \(E = h f\) (\(h\)는 프랑크 상수 ,\(f\)는 진동수)

파동의 속력에서 \(c = f \lambda \) (\(\lambda \) 는 파장 )

인 것을 고려하면

광자 하나의 운동량 \(p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda} \) 이 예상됩니다.

\(E\),\(p\),\(h\),\(f\),\(\lambda\) 가 분자, 분모를 왔다갔다하면서 헷갈릴텐데, 각 물리량들의 차원을 알면 쉽게 정리가 됩니다. [플랑크 상수의 차원] 에 대한 글을 참고하세요.

컴프턴 실험은 광자의 운동량을 이렇게 해석하면 실험 결과를 잘 설명할 수 있다고 보여준 실험입니다. 실험을 이해하기 전에 사전 지식들을 점검해보겠습니다.

실험을 살펴보기 전 지식

X선 (X-ray)은 병원에서 한번쯤 들어 보았던 그 X선 입니다. X선도 전자기파입니다. X선도 아주 파장이 짧은(진동수가 큰) 전자기파입니다. 눈에 보이지 않는 자외선, 적외선도 빛이라고 하듯 X선 전자기파인 이상 넓은 의미의 빛입니다. 빛의 파동의 성질을 보았던 것처럼 X선도 파동의 성질을 볼 수 가 있습니다. 고체에 X 선을 비추어 주면 특정한 각도에서 강력한 회절무늬가 나타납니다. 이 회절무늬는 주로 고체안의 원자,분자들의 분포 간격과 같은 구조에 의존합니다. 생물시간의 DNA 의 구조를 알아낸것도 DNA에 X선 쪼여주고 얻은 회절 무늬를 분석해서 알아낸 것입니다. 이런 회절 현상들은 구조물들의 크기와 비슷한 파장일 때 나타나므로 주로 수 옹스트롬(Å) 의 파장을 가진 X선에서 이런 회절무늬를 얻을 수 있습니다. (고체의 원자,분자 간격이 수 옹스트롬(Å)이란 말입니다.) 파장이 수백 nm 가 되는 가시광선, 자외선에서는 볼 수 없는 현상입니다.

> 아주 작은 크기에 대한 이야기를 가볍게 써둔 글이 있습니다. https://blog.naver.com/happie/221391186751

컴프턴 효과는 이보다도 파장이 짧은 X선으로 한 실험입니다. 그래서, 회절무늬가 나타나는 것은 아닙니다. 대신 산란(scattering)이란 현상을 보는 것인데, 여지껏 산란은 잘 다루지 않았습니다. 잘 돌이켜 보면 하늘이 파란 이유를 말하거나 핵을 설명할때 러더퍼드(Rutherford) 모형정도에서 나오는 현상입니다. (산란 현상자체가 조금 어려운 이야기인 것도 문제에 잘 나오지 않는 이유인 것 같기도 합니다.)

산란에 대해 대충 설명하자면 어떤 물체를 가만히 놓아 두고 새총으로 구슬을 마구 쏘아보면 대부분은 그냥 지나가지만 구슬이 가끔 부딛혀서 다른 방향으로 튕겨져 나오는 것을 보는 것입니다. 이것은 입자의 산란 실험입니다. 파동의 산란 실험도 있을 수 있습니다. 나란히 잘 진행하던 물결이 중간에 장애물을 만나면 여러방향으로 퍼져나가는 현상도 산란입니다. 원래 파동이 진행하던 방향과 다른 방향으로 진행하는 파동현상을 관측할 수 있습니다. (새총의 구슬이 대부분은 그냥 지나가고 일부 튕겨져 나오는 것과 마찬가지 입니다.) 그러니, 산란 현상 자체는 입자로도 파동으로도 설명할 수 있는 현상입니다. 중요한 것은 산란 과정 속에서 일어나는 세부적인 일 들입니다.

컴프턴 산란 실험

파장이 짧은 X선으로 흑연을 장애물로하는 산란실험을 하는 것입니다. 실험 그림은 여러 군데서 찾아 볼 수 있을 것입니다. 만약 한번도 보지 못하신 분이라면 [동영상]을 참고하십시오.

X선을 쬐이면 흑연에서 전자가 튀어나온다고 합니다. 광전효과를 보아서 그런지 별로 놀랍지는 않습니다. X선이 에너지를 잃었다면 전자가 에너지를 얻었다는 것이니까. 파동에 의해서 에너지를 얻은 건가 정도 생각해도 그렇습니다.

그러나, X선 측정에서는 이상한 일이 있습니다. 장애물에 부딛혀 튕겨나온 파동의 파장이 처음보다 더 긴것이 발견된다는 것입니다. 파장이 더 길어지는 정도는 원래 X선이 진행하던 방향과 튕겨진 X선의 각도 \( \phi \)와도 관계가 있더라는 것입니다. 그 관계식은 원래 파장 \(\lambda\)와 길어진 파장 \(\lambda’\) 의 차이 \(\Delta \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\phi)\) 로 나오는데, (여기서 m 은 전자의 질량입니다. 빛의 질량이 아닙니다.)
\( \frac{h}{mc} \) 의 차원은 거리임을 쉽게 할 수 있습니다. 그래서, 이 값을 Compton wavelength 라고 합니다. 전자의 Compton wavelength 는 0.024Å = 2.4pm 입니다. 그러니 이런 실험 결과가 관측되려면 고체의 원자간격보다도 더 짧은 수십 pm의 파장을 가진 X선을 사용해야만 관측이 가능합니다.

파동이라면 장애물에 부딛혀 튕겨나온 파동의 진동수가 변할 일은 없습니다. 아시다시피 굴절에서도 파동의 속력이 변하는 일이 일어나더라도 진동수는 바뀌지 않았습니다. 지금 실험은 빛의 속력이 바뀔일도 없습니다. 그런데 실험 결과는 쏘아준 파장과 같은 파장의 X선도 관측되지만(당연해 보이는 일), 그 보다도 파장이 더 길어진 X선도 나온다는 것입니다.(이상한 일) 광전효과에서 말한  광자의 에너지를 생각하면 X선의 에너지가 줄어든 광자도 같이 나온다는 것입니다.

컴프턴 효과를 광자로 설명하기

이렇게 파동으로는 설명이 안되는 현상을 마치 에너지와 운동량을 가진 입자처럼 취급하여 계산한 예상치와 실험결과치가 잘 맞아 떨어지더란게 컴프턴 산란실험입니다. 아이디어는 별로 어렵지 않습니다. 기본적인 입자의 충돌문제로 생각합니다. 즉, 광자란 입자와 정지해있던 전자란 입자가 탄성충돌한 것으로 생각합니다. 그러면 에너지 보존 법칙에 의해

충돌전 에너지는 광자 \(hf\), 전자 0, 충돌후 에너지는 광자 \(hf’\) 전자 운동에너지 \(K\)

식 1) \( hf = hf’ + K \)

운동량 보존 법칙을 생각하면 운동량의 x축, y축의 성분이 보존되어야 하므로,
빛이 x축으로 들어 왔다고 생각하면

x축

\( \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda’} \cos\phi + p \cos \theta\)

y축

\( 0 = \frac{h}{\lambda’} \sin\phi – p \sin \theta\)

( \( \phi\) 는 빛의 튕겨난 각도, \(\theta\)는 전자가 튕겨나간 각도, p 전자의 운동량 )

빛의 파장과 진동수, 빛의 속력 관계에서 \(c = f \lambda \) 를 이용하면

\( hf = hf’ \cos\phi + pc \cos \theta\)

\( 0 = hf’ \sin\phi – pc \sin \theta\)

식 2) \( (hf – hf’ \cos\phi)^2 + ( hf’ \sin\phi)^2 = (pc)^2 \)

상대성 이론에서

\( E = mc^2 + K \)

\( E = \sqrt {m^2c^4 +(pc)^2}\)

이므로 (\(m\)은 전자질량) 정리하면

\( ( mc^2 + K )^2 = m^2c^4 +(pc)^2 \)

이식에 식 1),2) 을 집어 넣고 잘 정리하면

\(\lambda’ – \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\phi) \)

광전효과와 컴프턴효과까지 생각하면 빛을 파동으로만 생각할게 아니라 입자처럼 생각해야 설명가능한 세상이 있다는 것을 받아들일 수 있나요? 이것을 받아들이고 나서 우리는 좀 더 이상한 생각을 하게 됩니다. 빛이 이렇게 파동의 성질과 입자의 성질을 같이 가지고 있는 이중성이 있다면, 물질은 정말 입자의 성질만 있을까? 파동의 성질이 없을까? 물질도 이중성을 가지고 있는게 아닐까? 그렇게 파동의 성질을 가지고 있다면 과연 그 파장은, 진동수는 얼마가 되는게 맞는 것일까? 드브로이란 사람이 과감히 주장을 했습니다. 물질도 파동의 성질이 있을 것이다. 그 파동을 물질파, 드브로이파라고 합니다.

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광전효과에 대한 기본설명은 검색을 하면 많이 나오고, 혹시, 처음 들어보신 분이라면 다음의 동영상을 보면 도움이 될 것입니다.

[광전효과 기본](https://www.physicstutor.kr/1256)

[빛의 입자성](https://www.physicstutor.kr/1263)

> 검색의 일부 내용 중에 또 어떤 교과서 내용의 뉴앙스로는 빛에 의해 전류가 흐르는 현상을 모두 광전효과로 보고 글이 쓰여져 있는데, 그것도 광전효과로 포함시키는 것에는 의문이 있습니다. 이글의 광전효과는 일명 photoemission이라도 하는 금속에 빛을 쪼여 주면 금속 밖으로 전자가 나오는 현상에 한정합니다.

빛의 파동적 성질

광전효과를 배울때는 기존에 배웠던 내용을 잘 알고 있다는 것을 전제로 합니다. 그 중 하나가 빛이 파동적 성질을 띄고 있다는 사실입니다. 빛이 파동의 성질을 가지고 있다는 가장 대표적 증거는 회절과 간섭 현상입니다. 파동의 성질중 반사와 굴절 같은 것은 파동의 성질로도 설명가능하지만, 입자적 성질로도 잘 설명할 수 있습니다. 그러니까, 빛이 반사하고 굴절한다고 해서 꼭 파동일 필요는 없습니다. 하지만, 빛이 회절 현상과 간섭 현상을 보이는 것은 입자적 성질로는 설명할 수 없습니다. 어떤 물리현상에서 회절과 간섭현상이 나타나면 그것은 바로 파동현상이란 결론을 쉽게 내릴 수 있습니다.

또 잘 알고 있어야 하는게 전자기파입니다. 전자기 파트의 마지막에 배우는 것이 전파를 발생시키는 원리입니다. 전기장의 변화는 주변 자기장의 변화를 일으키고 자기장의 변화는 주변 전기장을 변화를 일으켜서 어떤 한 곳에 전기장이나 자기장의 변화가 생기면 그런 변화가 퍼져나갑니다. 전기장(electric field),자기장(magnetic field)을 지금 수준에서는 구분해서 말하는데, 물리학 대학원과정에 가면 두 개를 합쳐서 표현할 수 있습니다. 그래서, 그냥 전자기장(electromagnetic field)이라고도 합니다. 전자기장의 변화가 퍼져나가는 현상, 즉 전자기장의 파동이 가능하다는 것은 (TV, 라디오, WiFi 무선 통신을 가능하게 하는) 전파를 만들어 내는 것으로 증명하였습니다. ( https://www.physicstutor.kr/1202 ) 전파는 전자기장의 파동입니다. 다른 말로 전자기파라고 합니다. 전자기파( electromagnetic wave)는 전자기장(electromagnetic field)의 파동(wave)입니다.

빛을 이해하는데는 두 가지 사실(빛은 파동이다. 세상에는 전자기파가 있다.)의 결합이 필요합니다. 빛은 전자기장의 파동(=전자기파)이라고 생각합니다. 가장 강력한 이유 중 하나가 전파의 속도와 빛의 속도와 정확히 똑같습니다. 빛도 전자기장의 파동이라는 생각을 할 수 밖에 없었습니다. 옛날 사람들은 파동이 유지되기 위해서는 매질이 필요하다고 생각했기 때문에 ‘에테르’라는 빛의 매질을 찾으려고 무지 노력했으나 실패하자, 결국 전자기파라는 파동은 매질이 필요없다고까지 파동 개념을 수정하였습니다.

> 빛이 전기장/자기장을 발생 시키는 것도 아닌데 성질이 전자기파랑 비슷해서 전자기파라 부르는 게 아닙니다. 요즘은 기술이 좋아져 빛을 쪼여서 전하를 띈 입자(이온,전자)를 한 곳에 붙잡아 둘 수도 있습니다. 빛이 있는 곳에 전기장,자기장의 변화가 있고, 이 전자기장 속의 이온이나 전자는 힘을 받게 되므로, 이를 잘 조정하여 원하는 위치에 있도록 하는 기술입니다.

빛은 전자기파의 일종입니다. 전자기파에는 전파도 있고 빛도 있다는 말입니다. 심지어 전파와 빛의 구분도 모호하기 때문에 넓은 의미로는 전자기파를 그냥 빛이라고도 합니다. 빛은 좁게는 눈에 보이는 가시광선을 말하기도 하지만, 가시광선보다 파장이 약간 긴 적외선, 약간 짧은 자외선과 같이 눈에 보이지 않는 것도 빛이라고도 합니다. 전자기파 중에 극단적으로 파장이 짧은 X선(x-ray) 와 극단적으로 파장이 긴 전파 마저도 그냥 빛이라고도 합니다. 좁은 의미의 빛인 가시광선과 전파의 차이는 그냥 파장(또는 진동수)가 다른 현상일 뿐입니다.

빛은 전기,자기의 일종이 아니고, 전하도 아닙니다. 소리는 공기의 진동이라고 해서 소리가 공기는 아닌 것 처럼, 빛은 전기장/자기장의 진동이지 전기장/자기장이 아닙니다. 그렇다고 전기도 아니고, 자기도 아닙니다. 전하도 아닙니다. ( 물론 전기장/자기장의 진동은 전기,자기,전하의 영향을 받습니다.) 광전효과를 배우고 나면 입자설이란 용어가 나오는데, 그렇다고 빛이 전하의 일종이란 뜻도 아닙니다.

앞으로 나올 이야기에서 빛의 세기(강도)는 전자기파의 진폭을 의미합니다. 빛의 세기가 크다는 것은 전자기파의 진폭이 크다는 뜻입니다. 빛의 세기는 가시광선(에를 들어 노란색, 빨간색, 녹색처럼 눈에 보이는 빛)이라면 밝기를 말합니다. 밝은 빛일 수록 빛의 세기가 센것입니다. 하지만, 눈에 보이지 않는 빛인 적외선, 자외선의 경우는 밝기라는 표현이 불가능하므로(우리 눈에 보이지 않으니 밝은지 안 밝은지 알수가 없습니다.) 밝기란 용어를 쓰지 않고 세기란 표현을 쓰는게 더 적당할 것 같습니다.

우리 눈에 보이는 빛인 가시광선에서는 빛의 색깔은 전자기파의 파장 또는 진동수랑 관계있습니다. 가시광선이라면 색깔이 있지만, 눈에 보이지 않는 빛인 적외선, 자외선에서는 색깔이라는 말을 쓸 수 가 없으므로 빛의 파장, 진동수랑 표현을 쓰는게 더 적당할 것 같습니다. (가시광선의 색깔에 해당하는) 성질이 다른 전자기파의 지칭하는 용도로 쓰입니다. 그리고, 광전효과를 배우고 나면 빛의 입자설을 배우게 될 텐데, 그렇더라도 여전히 빛의 파장이란 개념은 계속해서 씁니다.

> 저는 전자기파가 빛이고, 빛이 전자기파라는 입장을 가지고 있기 때문에 평소에 빛=전자기파 라는 아주 넓은 의미로 빛이란 용어를 쓰고 있습니다.

금속에서 전자가 튀어나오려면 에너지가 필요합니다.

광전효과는 금속에 빛을 쬐여 주면 전자가 튀어나오는 현상입니다. 그러나, 금속에서 전자가 튀어나오는 현상은 빛을 쬐여주는 방법만 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 금속에 엄청나게 높은 전압을 가하면 양자역학의 터널링 효과라는 것으로 인해 전자가 나옵니다. (영어로 Field electron emission이라고 하는데 우리말로는 전계 방출이라고 번역하는 것 같습니다.) 또다른 것으로 엄청나게 높은 온도로 열을 가하면 전자가 튀어나오는 현상도 있습니다. 광전효과를 이해하는데는 열에 의해 전자가 튀어나오는 것에 관심을 가져보는 것이 도움이 됩니다. 백열전구의 필라멘트에 전류를 흘려주면 열이 발생하여 필라멘트가 아주 뜨거워 지고 밝은 빛이 나오지만, 높은 온도로 가열하였기 때문에 전자도 튀어나옵니다. 이 때 나오는 전자를 열때문에 나오는 전자라고 열전자라고도 합니다. 이름이 열전자이지만, 그냥 전자일뿐 특별한 전자는 아닙니다. 열때문에 나오는 것을 열전자라고 하듯, 광전효과로 인해 빛을 쬐여주면 전자가 튀어나오는 것을 광전자라고 이름을 붙여주지만, 이렇게 튀어나온 전자는 아무런 특별한게 압니다. 그냥 전자일 뿐입니다.

열전자든 광전자든 평소에는 왜 나오지 못하다가 열이든 빛이든을 쬐여주면 그때서야 튀어나오는 것일까? 금속안의 전자가 밖으로 튀어나오기 위해서는 에너지가 필요하다는 것을 먼저 알 필요가 있습니다. 전자가 평소에는 나오지 못하지만 에너지를 공급받게 되면 그때서야 튀어나올 수 있다는 것입니다.

비유를 들어서 보면 전자는 컵 안의 물과 같습니다. 아래 그림의 a 경우 처럼, 물을 아주 가득 담아 두었다면 살짝만 건드려도 물이 넘쳐 컵 밖으로 나오게 됩니다. 이런 상태라면 평소에도 금속에서 전자가 쉽게 나올 수 있을 것입니다. 그러나, 평소에 컵에 물을 받을 때는 그림의 b경우와 같이 적당히 넘치지 않게 물을 받아 둡니다. 컵안의 물은 가만히 두면 밖으로 흘러나오지 않습니다. 조그만한 흔들림이 있더라도 물이 밖으로 나오는 일은 생기지 않습니다. 금속안의 전자는 이런 상태이기 때문에 평소에는 전자가 튀어나오지 않습니다. 컵안의 물이 밖으로 튀어나오게 하려면, 컵을 마구 흔들어서 물을 심하게 출렁이게 하거나 밖에서 물체를 던져서 물방울이 튀게끔 하는 방법이 있습니다. 이렇게 하는 것은 결국 밖에서 물방울에 에너지를 공급하는 것입니다. 그림의 c 경우에서 물방울이 옆으로 움직이는 것은 무시하고 위로 올라오는 것만 고려한다면, 위로 튀어올라온 물방울은 mgh 만큼의 에너지를 받았습니다.(m : 물한방울의 질량, g 중력 가속도) 한 방울의 물이 컵밖으로 넘쳐 나왔다면 최소한 (=적어도) 컵을 뛰어넘을 수 있는 만큼의 에너지인 mgH 보다는 많은 에너지를 받았다는 정도는 추측할 수 있습니다.

수면에서 컵까지 적당한 높이가 있기 때문에 평소에는 물방울이 튀어나오지 않는 것처럼, 금속안의 전자도 평소에는 쉽게 튀어나오지 못합니다. 열을 많이 받았을 때 (즉 온도가 높을 때) 또는 빛을 쬐어 주었을 때 평소에 나오지 못하게 하던 그 에너지 차이를 뛰어 넘는 일이 생기는 것입니다. 그러니까, 어느 정도 이상의 온도가 되어야 금속에서 전자가 튀어나오고, 빛을 쬐어 주더라도 어느 정도 이상의 에너지가 공급되어야 전자가 튀어 나올 수 있습니다.

> 이 비유로 전계 방출은 설명이 안됩니다. 금속의 전압을 올려주는 것은 컵을 더 높이 올려주는 것과 같은 효과입니다. 컵을 아무리 높이 올려도 그 안에 물방을이 튀어나오지는 않습니다. 그러나 현실은 전자가 튀어나오며, 이를 양자역학의 터널링 현상으로 설명합니다.

그러므로 광전효과는 금속에 어떤 에너지값 이상으로 빛을 쬐여 주면 전자가 튀어나오는 현상입니다.

빛이 파동이니

금속에 빛을 쬐이게 되면 그 안의 전자는 전자기장의 변화(전자기파)를 받게 됩니다. 전기장과 자기장에 의해 전자는 움직이게 된다는 것도 잘 배웠을 것입니다. 그러니, 전자기파란 파동은 전자에 에너지를 공급하는 한 방법이 됩니다. 금속에 빛을 세게 쬐이면 파동의 진폭이 커지는 것이니까 같은 시간에 더 많은 에너지를 공급하는게 됩니다. 또, 빛의 진동수를 높이면 (=빛의 파장을 줄이면 ) 파동의 진동수가 커지니까 같은 시간에 더 자주 에너지를 공급하는게 됩니다. 그리고, 동일한 진폭, 진동수라도 시간을 오래할수록 에너지를 더 많이 공급하는 것입니다.

금속에서 전자가 밖으로 빠져나오기 위해서는 최소한의 에너지값이 필요하므로 빛의 세기나 빛의 진동수가 어떤 값을 넘어가야만 전자가 나오는 것은 어쩌면 아주 당연한 일입니다. 그러므로 광전효과에서는 빛을 쬐여주면 전자가 나온다는 사실보다는, 금속에 **특정 진동수 이상**의 빛을 쬐여 주면 전자가 튀어나오다는게 중요한 것입니다.

하지만, 열전자가 나오는 것과 광전효과를 같이 배우면 되는 것인데, 왜 광전효과를 유독 중요하게 취급하는 것일까요?
광전효과는 특정 진동수 이상의 빛을 쬐여주면 전자가 나온다는 것은 열전자가 나오는 것과 별 다를 바 없기 때문에 그 다지 중요한 것이 아니지만, 특정 진동수 **이하**의 빛을 쬐여주면 전자가 **나오지 않기** 때문에 중요한 것입니다. 열을 가하는 것도 에너지가 작으면 전자는 튀어나오지 않습니다. 그러나, 빛은 파동이라고 생각하니까, 진동수가 작다면 대신 진폭을 키워서도 같은 양의 에너지를 전달 할 수 있습니다. 그러므로, 특정 진동수보다 좀 낮아도 대신 빛을 세게 쬐여주면 전자가 금속 밖으로 나와야 한다고 생각되는데, 이상하게도 진동수가 낮은 경우에는 아무리 강한 빛을 쬐여주어도 전자가 튀어나오지 않는다는 것입니다.

반대로 특정 진동수 **이상**일 때 전자가 튀어 나오는 것도 이상한 일이 있습니다. 빛의 세기가 약한 빛은 에너지가 작기 때문에 아주 오래 동안 빛을 빛추어야 필요한 에너지를 공급하는 것을 것입니다. 이상하게도 **아주 약한 빛이라도** 그렇게 오래 기다릴 필요없이 전자는 튀어나오더라는 것입니다.

> \(10^{-6} W/m^2\) 의 세기의 자외선을 나트륨(=소듐)에 비추어 주면 전자가 튀어나온다고 합니다. 그 정도 세기의 자외선이라면 나트륨(소듐) 원자하나당 얼마의 에너지를 공급하는 것일까요? \(1 m^2\) 의 나트륨(소듐) 표면는 \(10^{19}\)의 원자가 있고, 자외선이 10개 층 정도 들어갈 수 있다고 한다면, (빛이 무한정 깊이 들어 갈 수 없는 것은 잘 알려져 있습니다.) \(10^{20}\)개의 원자가 \(10^{-6} W\)의 에너지를 나누어 가져야 합니다. 그래서 원자 하나당 \(10^{-26} W\) 의 에너지를 받을 수 있습니다. 이것을 단위를 바꾸어 쓰면 대략 \(10^{-7} eV/s\) 입니다. 1eV 를 얻기 위해서는 1000만 초가 걸립니다. 이런 밝기라면 나트륨(=소듐)에서 전자가 튀어나오는데는 1년의 시간이 필요한 것으로 생각됩니다. 그러나 실제 실험에서는 적어도 빛을 쪼여준지 3ns안에는 튀어나온다고 합니다. (Beiser, Perspectives of Modern physics 에서 인용)

자 이제 문제가 생겼습니다. 전자가 에너지를 얻는 방법으로 빛의 세기와 진동수 두 가지 변수가 있는데도 유독 빛의 진동수만이 중요하고, 약한 파동이라면 오래 걸릴 것 같은 일이 순식간에 벌어집니다. 우리가 배운 파동이론으로는 더 이상 설명이 불가하다는 것입니다. 좋은 아이디어가 있나요? 무려 100여년도 전 일이기는 하지만, 이 현상을 쉽게 설명하는 방법을 제시한 사람은 그 공로로 노벨상을 받았습니다. 그 설명이 올바르다고 인정할 수 있는 실험을 한 사람도 노벨상을 받았다고 합니다. (이를 동영상으로 소개한 [YouTube 영상](https://www.youtube.com/watch?v=0b0axfyJ4oo) )

그 설명법을 이해하기 전에 좀 더 실험에 대한 사실을 더 잘 이해해 봅시다.

금속에서 전자가 나오는지 어떻게 알지?

우리가 맨눈으로는 전자가 튀어나오는 것을 볼 수 없습니다. 그런데, 금속에서 전자가 나오는 것을 어떻게 알 수 있을까요?

여러 자료 중에 검전기로 광전효과를 설명한 것을 본 분도 있을 것입니다. [검전기]를 음전하로 대전시킨 다음에 금전기의 금속판 부분에 특정 진동수 이상의 빛의 비추어 주면 금속박이 오므라든다는 내용을 본적이 있을 것입니다. 벌어진 금속박은 음전하 즉 전자로 대전되어 있는데, 금속박에서 전자가 빠져 나가니 금속박을 벌어지게 하는 전자의 수가 줄어들어서 힘이 약해지니 오므라드는 것입니다.

> 그림의 왼쪽은 빛을 비추기 전, 오른쪽은 빛을 비춘 뒤의 상황입니다. 빛을 비추기 전의 상태를 어떻게 만드는 것인지 정도는 알고 계셔야 합니다.

물론 그런 설명만 듣고 그렇구나 하는 분도 있겠지만, 양전하가 들어오는 것으로도 설명가능하다고 반박하는 분도 있을 것입니다. 저도 그 반박에 동의합니다. 빛을 받은 공기안에 빛과의 반응으로 생긴 양전하가 금속으로 들어오는 것이라고 우길 수도 있으므로 금속판의 주변에 아무런 물체가 없었으면 합니다. 즉, 진공상태면 좋겠습니다.

다른 실험은 바로 이런 것을 고려해서 진공의 관속에서 실험을 합니다. 또한 전자가 튀어나왔는데 공기가 있다면 공기랑 부딪치거나, 흡수당하는 등의 일이 있어날 수 있으니 전자가 마음대로 돌아 다닐 수 있게 공기를 없어야합니다. 진공의 관안에 금속판 두개를 놓고 양쪽에 전류를 측정할 수 있도록 전선을 연결해두는 것입니다. 빛을 받아서 전자가 튀어나오고 그 전자가 반대쪽 금속에 도착한다면 전류가 측정될 것입니다. 그 전류가 어느 방향인지를 보면 빛을 받은 금속판에서 양전하가 나오는지 음전하가 나오는지 알 수 있을 것입니다. 우리가 알기로는 음전하는 전자라고 알고 있습니다.

> 혹시 화살표방향이 이상하나요? 전류의 방향을 나타내는 파란색 화살표는 전자가 움직이는 방향과 반대가 됩니다.

그래서, 진공안의 두 금속판에 전선을 연결하고 전류를 측정해 보면 (가시 광선이라면 색깔과 관계있는) 빛의 진동수가 특정값보다 클 때는 전류가 흐르지만, 빛의 진동수가 작다면 전혀 전류가 흐르지 않는다는게 광전효과입니다. 그 특정 진동수를 한계진동수 (cutoff frequency)라고 합니다.
참고로 빛의 속력을 잘 알고 있으므로 진동수를 알면 파장도 알 수 있습니다. 한계진동수를 \(f_0\) 라고 하면 한계 파장(cutoff wavelength) \( \lambda_0\) 는 \( c / f_0\) 일 것입니다. ( \(c\)는 빛의 속력)

> 한계진동수 (cutoff frequency) 대신 문턱 진동수(threshold frequency)라고도 합니다.

(가시광선이라면 더 밝은 것과 관계있는 ) 빛의 세기를 키우면 어떤 일이 일어 날까요?

빛의 진동수가 \(f_0\) 보다 낮다면 아무리 센 빛이라도 전자가 나오지 않기 때문에 전류는 0 이며, 빛의 진동수가 \(f_0\) 보다 높다면 빛이 세어질 수록 더 많은 전자가 튀어 나오므로 전류도 커집니다.

금속에서 나온 전자의 특성을 알아 보기 위해서

보통의 자료에서 보는 것처럼 전자가 아주 예쁘게 반대쪽 금속판 방향으로 나란히 달려간다고 믿으시면 너무 순진한 것입니다. 물이 담긴 컵을 흔들면 여기저기 물이 튀어 넘치지 한방울씩 아주 예쁘게 수직으로 올라갈 거라고 믿는 것과 같은 것입니다. 금속에서 튀어나온 전자는 방향도 아주 제각각이고, 튀어나온 전자의 속력도 아주 제각각일 것입니다. 튀어나온 전자의 방향까지 고려하면 너무 문제가 복잡해지니까, 모두 그림처럼 나란하게 반대편 방향으로만 가는 전자들만 생각해 봅시다.

>다른 방향으로 튀어나온 것들을 고려하려면 다른 쪽 금속판을 아주 크고 둥그렇게 만드는 것도 한 방법이 될 것입니다. 찾아 보면 이렇게 그림을 그린 것도 있습니다. 그러나, 위의 그림과 같이 그리는 것은 단지 공부하기 편하기 위해서입니다.

한번 튀어나온 전자들의 속력은 변할 일이 없고, (중력장의 영향은 무시할 만큼 작습니다. 전기장이 가해지는 것이 아니기 때문에 전기력이 작용하는 것도 아닙니다.) 그냥 직선으로 속력의 변화 없이 나아가는 것이 정상입니다. 한번 튀어나온 전자가 다시 금속으로 돌아갈일은 없습니다. 어떤 힘도 가해지지 않았다면 전자도 관성의 법칙을 따릅니다.

튀어나온 전자들의 속력은 사실 제각각일 수 있습니다. 그래서, 아래 그림과 같이 금속판 양쪽에 값을 마음대로 바꿀 수 있는 전압을 가하는 장치를 달아두고 전류를 측정할 수 있다면 튀어나온 전자의 특성을 아는데 도움이 됩니다.

광전효과 설명의 그림 중 하나입니다. 이렇게 표현하면 헷갈리니까 좀 더 쉽게 각각의 경우를 떼어서 생각해 봅시다.

왼쪽 그림과 오른쪽 그림은 비슷해 보이지만, 전압을 가해주는 방향이 다릅니다.

먼저 왼쪽 그림입니다. 음전하를 생각해야하기 때문에 방향이 엄청 혼동스러울 수 있습니다. 잘 참고 천천히 따져서 방향을 헷갈리지 않도록 합시다. 이렇게 전압을 가하면 (= 전기장을 가하면) 전자의 속력은 빨라집니다. 그렇게다고 전류가 증가하는것은 아닙니다. 예전에 배울때는 전류가 증가하는 것으로 배웠는데라고 생각하신다면 공부를 제대로 한 분입니다. 그러나, 그것은 금속막대기 양끝에 전압을 가할 때 이야기입니다. 지금은 전압을 가하는 곳 사이에는 아무것도 없습니다. 전류를 결정하는 것은 빛에 의해서 튀어나온 전자들입니다. 전류의 정의가 시간당 흘러간 전하의 양이므로 지금은 전자의 갯수만이 전류를 결정합니다. 지금은 전자의 갯수는 오로지 빛만이 결정합니다. (양자역학 효과가 나타나는 아주 엄청나게 큰 전압을 가하지 않는다면 전압은 전자가 튀어나오게하는 데는 무관합니다.)

전압을 증가 시켜도 전류값은 변하지 않습니다.

오른쪽 그림과 같이 전압을 가하면 (= 전기장을 가하면) 전기장 때문에 전자의 속력이 줄어 듭니다. 어떤 것은 다시 돌아 갑니다. 이게 잘 상상이 안가는 분들은 다음 그림을 생각하면 도움이 될 것입니다. 왼쪽으로 90도 돌린 그림은 중력이 있을 때 땅 바닥에서 공을 위로 던진 것과 상황이 똑같습니다.

속력이 빠른 것은 반대쪽 금속판에 도달하지만 (= 오른쪽 그림에서는 천정에 도달하지만) 속력이 느린 것은 출발했던 곳으로 되돌아 갑니다. (= 오른쪽 그림에서 천정에는 닫지 않고 되돌아 옵니다.)

여러분은 운동에너지와 포텐셜에너지(위치에너지)에 대해서 잘 알고 있다고 가정하므로, 에너지 관점으로 설명하겠습니다. 전기장에 의한 포텐셜에너지 보다 운동에너지가 작은 것은 다시 금속으로 돌아 들어가고 운동에너지가 큰 것만이 맞은편 금속판으로 들어갈 수 있게 됩니다.

> 물론 방향이 제멋대로이기 때문에 맞은 편 금속판의 나란한 방향의 운동도 고려해야하는 문제들도 있습니다. 그래서, 이렇게 복잡한 상황을 단순화하기 위해서 보통의 자료와 같이 튀어나온 전자들은 맞은편 전자에 수직방향으로 예쁘게 달려간다고 그립니다.

이제 전압을 더 키워 봅시다. 즉, 전기장을 더 세게 만들어 봅시다. 빛을 받은 금속판에서보다 반대쪽 금속판의 전기적 포텐셜 에너지는 더 큽니다. 공던지기 그림에서는 중력장을 키우는 것인데 그것은 상상하기 힘드니까 대신 포텐셜에너지를 키운 것은 천정의 높이를 올린 것과 같습니다. 전기장에 의한 포텐셜에너지가 어떤 값보다 더 커지면 그 어떤 전자도 반대편 금속에 도달하는 일은 일어나지 않을 것입니다. 그렇다면 결국 전류값도 0 이 됩니다. 이 값보다 전압을 더 크게 가한다면 어떤 전자도 반대편 금속판에는 도달 못할 것입니다. 결국, 튀어나온 전자중 가장 운동에너지가 큰 것도 도착하지 못하게 하는 포텐셜에너지값을 찾을 수 있습니다.

따라서, 전압을 조정하여 결국 전류값이 0이 되게 하면 그 때의 전압을 정지전압, 저지 전압 stopping voltage (retard voltage) 이라고 합니다. 이 떄의 전기적 포텐셜에너지는 튀어나온 전자들 중 가장 운동에너지가 큰 것의 값을 알아내는 방법이 됩니다. (처음에 말했다시피 모든 전자의 운동에너지가 똑같을 수는 없을 것입니다.)

> 이 방향으로 전압을 바꾸면 튀어나오는 전자의 수를 조정하는 게 아니라, 튀어나온 다음의 금속판에 도달하는 전자의 수를 조정하는 것입니다. 전압은 전자가 튀어나오게하는 데는 무관합니다.

이렇게 금속판의 전압을 바꾸어 보면서 전류가 어떻게 되는지 살펴보는 것은 튀어나온 전자들의 운동에너지가 어떻게 되는지 살펴보는 좋은 방법이 됩니다.

전류의 변화

전압을 바꾸는 것을 위의 그림처럼 기호로 표시할 수도 있지만 현실적으로 구현가능하도록 전압을 그려두기도 합니다. 그런데, 시중 자료의 설명 그림은 두가지 버전이 있습니다.

> 저항의 위쪽에 화살표를 그린 것은 가변저항이라고 합니다. 저항 값을 조정할 있도록 만든 것입니다. 이렇게 생긴 가변저항을 보면 아주 쉽게 이해가 될 것인데….

이 그림은 가변저항의 화살표가 저항의 왼쪽에 있으면 오른쪽 금속판과 전위가 같게 되고, 오른쪽 끝으로 가면 단순히 건전지만 붙인 것과 같습니다. 위에서 설명하는 것으로 보면 오른쪽으로 움직일 수록 전류의 양이 줄어들게 될 것입니다.

전압을 바꿀 때 전류가 어떻게 되는지 표현하는 것은 파란색 선입니다. 오른쪽으로 갈 수록 전류가 떨어진다는 앞에서 말한 것을 그린 것입니다. 이 모양은 자료마다 조금씩 다를 수 있습니다. 실제로는 튀어나온 전자들의 속력 분포가 어떻냐에 따라 의존할 텐데 실제 데이터를 알 수 없어 그냥 적당히 경향만 나타나도록 그린 것이니 세부적인 모양을 신경쓸 필요는 없습니다. 언제 0 이 되는가가 중요합니다.

왼쪽 그림은 빛의 세기에 따른 영향을 그린 것입니다. L 은 빛의 세기를 나타내는 것으로 빛의 세기가 높아질 수록 전류의 크기도 큽니다. 하지만, 빛의 진동수는 f1으로 일정하기 때문에 정지전압 Vs 는 모두 같습니다.

오른쪽 그림은 빛의 진동수에 따른 영향을 그린 것입니다. 빛의 세기 L1은 일정하도록 조정해 둔 것입니다. 진동수가 올라 갈수록 정지전압 Vs 도 커집니다.

이 경우는 좀 이해하기가 쉽지만 다음 경우는 정말 어렵습니다.

먼저 전압을 어떻게 가하는지부터 이해하기 쉽지 않습니다. 가변저항 화살표가 가장 왼쪽에 있을 때 전자의 속력을 늦추는 방향으로 전기장을 가하는 것이고, 화살표가 가장 오른쪽에 있을 때가 전자의 속력을 키우는 방향으로 전기장을 가하는 것이고, 한 가운데 있을 때 양쪽에 전압을 가하지 않는 회로의 모양입니다. 어느쪽의 전위가 높은지도 헷갈리고, 전하가 전자라서 어느쪽으로 힘을 받는지도 헷갈립니다. 저도 한참 들여다 보면서 따져주어야 하더군요.

그래서, 이런 구조는 전압을 양방향으로 가할 수 있습니다. +,- 는 어디를 0 으로 삼는가에 따라 달라지는 것이므로 앞의 그림과 혼동하면 안 될 것입니다. 이 그림에서는 빛을 받는 금속판을 0 으로 삼아서 전압 표시를 하더군요. 그러면 가변 저항의 위치가 오른쪽으로 움직일 수록 그래프 V 축도 오른쪽으로 움직입니다. 하지만, 바로 위의 그래프와는 좌우가 반대인 그래프가 되기 때문에 헷갈립니다.

좌우를 바꾸어 그린 부분은 같은 색으로 표시하였습니다. 갈색으로 표시한 것은 앞에서 말한 것처럼 전압을 더 가해 주더라도 전자의 속력이 빨라질 뿐 전류가 커지는 것이 아니라는 것을 그린 것입니다.

정지 전압과 진동수

위의 그래프에서 보았듯이 빛의 진동수를 키우면 정지전압이 커지는 것을 볼 수 있습니다. 그것을 따로 그림으로 표시하면

진동수 f1 보다 f2 가 더 크니 정지전압이 더 크다고 했습니다. 정지전압이 더 크다는 말은 전자의 최대 운동에너지가 더 크다는 말입니다. 최대 운동에너지가 아예 0 이란 말은 무엇일까요? 그말은 전자가 튀어나오지 않는다는 말입니다.
그러니까, f 축과 만나는 점의 진동수를 무엇이라고 할까요? 한계진동수 (cutoff frequency) 라고 합니다.

> 저 앞에서 설명했는데 이제는 까먹을 때가 되었나요?

이 한계 진동수는 빛을 받는 금속에 따라 다릅니다. 금속마다 이 그래프를 같이 그려 보면 다음과 같습니다.

즉, 한계진동수는 금속마다 다르더란 것입니다. 뿐만 아니라 놀라운 사실 하나를 더 알 수 있는데, 어떤 금속으로 실험하든지 간에 이 그래프의 기울기는 같더라는 것입니다.

이쯤 되면 너무 정신이 없으니 수식을 하나 소개하여서 쉽게 정리하도록 합시다. 우리가 가해준 진동수를 \( f \) 라고 하고 정지전압을 \( V_s \) 라고 합시다. 수식의 차원은 에너지가 되도록 하겠습니다. (그러니까, 전자의 전하량을 \( e \)라고 하면 \( e V_s \) 는 전자의 최대 운동에너지가 됩니다. )

\( e V_s = h f – \Phi \)

가 되며 \( h \)는 금속에 관계없이 같은 값을 같더라는 것입니다. 놀랍게도 \( h \) 값은 플랑크 상수와 같습니다.

그리고, \( \Phi = h f_0\) ( \(f_0\)는 한계 진동수 ) 가 됩니다. \( \Phi \) 의 값이 바로 제일 처음 금속마다 전자가 튀어나오기 위해 필요한 고유한 에너지값입니다. 이를 일함수라고 하는데, 왜 일함수 인지 모르겠습니다. 영어로도 work function 입니다.
> 전자가 튀어나오기 위해 해주어야하는 최소한의 일이 이 값이 될텐데 왜 이렇게 일함수라고 이름을 지었는지 모르겠네요.

그러면 이 관계식을 이항하여 다시 써봅시다.
\( h f = e V_s + \Phi \)
진동수 f를 가진 빛이 가해준 에너지 \( h f \) 는 최소한 금속마다 필요한 고유에너지인 일함수 \( \Phi\) 만큼 쓰이고, 나머지가 운동에너지가 되는데, 그 최대값은 \( e V_s \) 가 됩니다.

> 최소값, 최대값이 헷갈린다면 가장 금속에서 빠져 나오기 쉬운 전자들만 생각합시다. 그러면 그 전자는 \( h f \) 의 에너지를 빛으로부터 받아서 금속 밖으로 나오기 위해서 필요한 일함수 \( \Phi\) 만큼의 에너지가 사용되고, 나머지 에너지는 운동에너지 \( e V_s \)가 됩니다.

> 최대값보다 운동에너지가 적은 전자들은 그만큼 일함수보다 더 많은 에너지가 필요했다는 뜻입니다. 이는 처음에 설명한 물분자의 비유를 들자면 꼭 수면위에 있는 물분자만 나오는게 아니므로 수면 더 밑에 물분자는 더 많은 수면에서 컵의 높이보다 더 높은 높이를 뛰어넘을 수 있는 에너지가 필요할 것이기 때문입니다.

이 실험에서 구한 h가 플랑크 상수값이 될것이라는 것을 이런 실험도 하지 않고 미리 예측하였다는 설명법은 빛이 입자의 성질을 가지고 있다는 견해 였습니다.

빛의 입자적 성질로 해석하기

빛이 마치 입자와 같아서 갯수를 셀 수 있고 한 개의 에너지는 \(h f\) ( \(h\) 는 플랑크 상수, \( f\)는 빛의 진동수)를 가지고 있다고 생각한다면 한계 진동수(cutoff frequency)보다 작은 진동수를 가진 빛을 금속에 비추면 일함수 \( \Phi \) 보다 에너지가 작어서 전자가 튀어나오지는 못하지만, 한계 진동수(cutoff frequency)보다 큰 진동수의 빛을 쬐어 주면 일함수 \( \Phi \) 를 극복하여 튀어 나온다는 것입니다.

아주 약한 빛이란 것은 빛의 갯수가 적은 것일 뿐 한 개의 에너지만 충분하다면 전자를 바로 튀어나오게 할 수 있다는 설명이므로 광전효과를 파동으로만 설명하려다 실패한 것을 극복할 수 있다는 것입니다.

이렇게 설명하고 나면 이제 많은 분들이 착각을 하게 됩니다. ‘그러니까 빛이 파동이 아니라고?’ ‘그래서 빛이 물질이라고?’ 이 두 가지 착각에 대해서만 이야기 하겠습니다.
빛이 파동이 아니란 말을 한 적은 없습니다. 광전효과를 설명할 때는 입자의 성질을 보인다는 것입니다. 이전에 배웠던 다른 실험들은 모두 파동으로 잘 설명하면 됩니다.

그럼, 광전효과실험일 때는 입자이다가 다른때는 파동으로 변신하는 것이라고 생각하는 분도 있는데 왜 그리 이분법적 생각을 좋아하시나요? 어떤 물체로 도장을 찍으면 어떨때는 삼각형이고 어떨때는 사각형입니다. 이 물체는 삼각형일까요? 사각형일까요? 제 머리속 정답은 피라미드입니다. 빛이 어떨 때는 파동이고 어떨때는 입자입니다. 빛은 파동일까요? 입자일까요? 제 머리속 정답은 두가지 성질을 다 가진 존재라는 것입니다. 이를 빛의 이중성이라고 합니다.

빛의 파동적 성질은 아주 넉넉하게 많이 배웠습니다. 입자의 성질을 나타내는 대표적인 것은 광전효과와 나머지 하나는 컴프턴 효과(Compton effect)란 것입니다.

> 물리학 전공 교과서에도 2개 이상 더 특별히 소개하지 않습니다. 나머지 빛의 입자적 성질은 그쪽을 전공으로 하는 사람들만 공부합니다.

빛의 입자적 성질이 있다고 해서 그것이 전자, 양성자와 같은 물질이란 뜻은 아닙니다. 빛의 (정지)질량은 0 입니다. 그러니까 빛의 운동에너지는 1/2mv^2으로 구하면 0 이란 결론, 빛의 운동량은 mv 는 0 이란 결론은 빛이 물질이라고 착각해서 그런 것입니다.

빛의 (운동?)에너지의 크기를 묻는다면 \( h f \) 처럼 하나의 에너지를 물을 수도 있지만, 빛의 전체 에너지량을 물을 수도 있습니다. 그렇다면 \( h f \) 에다가 빛의 갯수를 곱해주어야 합니다. 그렇게 구한 값은 파동적 성질로 설명하던 그 에너지와 같은 값이 나와야 정상적 설명입니다.
> 파동으로 설명하는 것과 입자로 설명하는 것이 값이 다르다면 잘못된 이론입니다. 양자역학에서 잘못된 이론이란 판단을 하는 가장 기본적 원리입니다. 이중적 성질로 설명할 때는 이전에 설명 잘 되던 것을 뒤집는 일이 생겨서는 안됩니다.

이렇게 빛을 입자처럼 하나씩 셀수 있는 것으로 설명하는 것을 light quanta 빛의 양자 즉 광양자라고 하기도 하고, 전자와 같이 입자에는 –on 이라는 것을 좋아해서 photon 즉 광자라고도 합니다.

> 빛을 부를 때 입자성질을 강조할 때는 광자라고 부르고, 파동성질을 강조할 때는 전자기파라고 부릅니다.

이렇게 빛을 입자 취급한다면 운동량을 가지고 있는 것처럼 행동하냐구요? (물론 그 운동량은 mv 로 구하는 게 아닙니다. ) 그렇다는 것을 실험적으로 보인 것이 컴프턴 효과(Compton effect) 입니다.

> 빛의 파동의 성질을 모두 배웠으니, 빛의 이중성을 배우는 것은 빛의 입자적 성질을 배우는 것이며 대표적 실험이 광전효과와 컴프턴 효과입니다. 지금까지 살펴본 것처럼 광전효과는 문제를 만들 수 있는 요소들이 (=여러분이 틀리기 쉽게 할 것들이 ) 아주 많기 때문에 빛의 이중성에 대한 시험 문제는 대부분 광전효과에 집중됩니다.

참고자료

[phET](https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/photoelectric) 에 가면 광전효과를 시뮬레이션으로 보여 주는 예제가 있습니다. 직접 조작하면서 공부한 것을 정리할 수 있는 기회를 가질 수 있는데, 광전효과에 대해 이해가 다 된 다음 정리하는 차원에서 하는게 나을 것 같다는 생각이 듭니다. 웹페이지에서 직접해 볼 수 있는 것이라면 직접 연결하려고 했는데, jar 라는 실행프로그램 형태입니다. java 라는 언어로 만들어진 것이라 os 에는 상관없이 돌아가는 것이기는 한데, 다운로드 받을 때 브라우저에서 바이러스 감염이 의심된다는 말이 나오므로 찜찜한 분은 실행하지 않는 것이 좋을 듯합니다.

>광전효과 시뮬레이션을 동영상으로 보여 드리면 더 좋을텐데라고 생각만 하고 있습니다.

jar 란 파일을 실행하기 위해서는 java runtime environment (jre)란게 기본적으로 필요합니다. 구글에서 ‘jar 실행’을 검색하시면 어떻게 하는 것인지 알 수 있을 것입니다. 윈도우에서는 jre 만 설치되면 더블 클릭만으로도 되는 것 같습니다.

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물리문제는 수학과 달리 항상 단위를 달고 다닙니다.

기본 단위

거리는 미터 [m] , 시간은 초 [s], 질량은 킬로그램 [kg] , 전류는 암페어 [A] 와 같은 것들을 말합니다. 지금 쓴 것은 표준적인 교과서에서 쓰는 기본 단위들입니다. 물리량들을 표현하기 위해 이런 기본 단위 쓰는 것을 각각 염문의 앞글자를 따서 MKS (미터, 초, 킬로그램) 단위계라고 합니다. 암페어를 포함할 때는 MKSA 단위라고 합니다. 보통의 교과서들은 MKSA를 바탕으로 단위를 표현합니다.

기본 단위만으로 표현하기에는 더 번거로울 수 있습니다. 숫자가 너무 크거나 작으면 10의 몇 승이나 되는지를 알아보기 쉽게 만들 필요도 있습니다. 그래서, 이런 표준적 단위이외에도 보조적으로 접두사를 붙이기도 합니다. 킬로미터[km], 밀리 그램[mg]과 같이 k, m 은 각각 1000배, 1/1000배를 나타내는 접두사를 붙여 쓰기도 합니다. 질량의 기본 단위는 오히려 k 란 접두사가 붙어있는것을 기본 단위로 삼습니다.

표준이라고 만든다고 모두 잘 지키는 것은 아닙니다. 뿐만 아니라, 너무나 익숙한 나머지 표준의 기본 단위가 아닌 것들을 자연스럽게 사용하기도 합니다. 시간의 분[min] 과 같은 것들입니다.

시험문제 풀 때 단위의 중요성

시험 문제에서 거리는 km, 무게는 g , 시간은 min…. 이렇게 기본 단위가 아닌 단위로 값을 주면서 답은 얼마인가를 물어 볼때는 조심해야합니다.
답이 원하는 단위가 아닐 수 있거나 아예 관계식이 안 맞을 때도 있습니다.

> 저는 여러분이 공식이라고 말하는 것을 관계식이라고 표현하고 있습니다. 공식이라는 것의 본래의 뜻과 물리에서 나오는 관계식들과는 전혀 어울리지 않기 때문입니다.

답이 원하는 단위가 아닌 경우의 예를 들면 다음과 같습니다.

5[km/min] 의 평균 속력으로 3[s] 동안 진행 한 물체는 몇 미터[m] 가는가?

거리 = 속력 * 시간 = 5 * 3 = 15 이렇게 쓰면 반드시 틀립니다.

거리 = 속력 * 시간 = 5 [km/min] * 3[s] 라고 쓰고 이것을 답이 원하는 단위인 [m] 로 바꾸는 방법을 생각보아야 합니다. 그냥 감각적으로 고치는 경우도 있는데, 제도 그렇게 하다가 복잡한 경우에 틀리는 경험을 많이 했기 때문에 교과서에서 소개 받은 방법을 씁니다.

1 km = 1000m , 1min = 60s 이니까

1[km] / 1000[m] = 1 , 1000[m]/ 1[km] = 1

60[s] / 1[min] = 1, 1[min]/60[s] = 1

1을 곱하거나 나누어도 값이 바뀌는 것이 아니니까 여기의 1을 잘 이용해서 [m] 가 남도록 고칩니다.

(수학이랑은 다른, 1 = 1 이 안되는 ….물리에서만 나오는 계산법이죠. )

즉 5[km/min] * (1 = 1000[m]/1[km] ) * (1=1[min]/60[s] ) * 3[s] 라고 쓰고 나면
> 처음은 [km] 을 없에기 위해서, 다음은 [min] 을 없애기 위해서 1을 곱해줍니다.
결국 5 * 1000 / 60 * 3 [m] 가 되고, 숫자는 250만 남습니다.

답은 250 m 가 되네요.

단위가 잘못되면 관계식 자체가 모양이 바뀌는 경우도 생깁니다.

PV=nRT 에서 T는 반드시 절대온도여야만 맞습니다. 만약에 섭씨온도 C 를 쓰고 싶다면 PV=nR(C+273) 이란 식을 적용해야합니다.

물리문제에 대한 답은 반드시 단위를 붙여야 합니다. 거리가 5 란 것은 존재하지 않습니다. 5m 인지, 5cm 인지, 5인치 인지 5피트 인지, 5척인지 알 수 없습니다.

답으로 요구하는 물리량과 단위가 같아야 합니다. 거리가 5kg 이라고 썼다면 분명히 뭔가 틀린 생각을 하고 있다는 것입니다.

> 하지만 저도 게으른 사람이기 때문에 이 블로그 문제 풀이에는 계산 과정에는 편의상 MKSA 의 기본단위가 아닐 때만 단위를 붙여쓰고 있습니다.

유도 단위와 차원

물리량들은 이런 기본단위의 곱하기/나누기로 모두 표현할 수 있습니다만 너무 복잡하니까 쉽게 표현하기 위해서 다른 유도된 단위를 쓰기도 합니다.

뉴턴의 두번째 운동 법칙 F = m a 의 경우,

F [N] = m [kg] * a[m/s] 가 됩니다.

단위만 보면 [N] = [ kg * m / s ] 가 됩니다.

뉴턴[N] 이란 단위는 MKS 로 [ kg * m / s ] 를 쓰면 복잡해지는 것을 대신해서 쓰는 단위입니다. 유도 단위라고 합니다. 이런 단위들은 새로운 개념을 배울 때마다 거의 매번 나타납니다. 일 [J] , 전하량 [C], 소비 전력[W] ….. 그렇지만, 모든 단위들은 MKS + A (암페어) 의 기본 단위의 곱으로 바꿔쓸 수 있습니다.

> C(쿨롱) 이 기본 단위가 아니고 A가 기본단위로 쓰는 것은 약간 못마땅합니다. 사실 [A]는 [C/s] 이고, 쿨롱의 법칙으로 전기력 구할때 당연 [C]를 쓰는게 편합니다. 그런데, 왜 A 를 기본단위로 했을까요? 여기에는 아픈 사연이 있습니다. [A] 가 [C] 보다 정확히 측정하는데 편하다는 사실입니다. 한국표준과학연구원의 블로그에 [A]란 기본 단위에 대한 이야기가 있습니다.

M,K,S,A 는 서로 절대 바꿔쓸 수 없는 기본적인 단위입니다. 물리에서는 바꿔쓸수 없는 기본적 개념들이란 거죠.

물리에서 바꿔 쓸 수 없는 기본적인 물리량들의 몇개의 곱하기(또는 나누기)인가를 나타내는 것을 차원(dimension)이라고 합니다. 면적은 길이 * 길이 의 개념으로 길이의 2제곱입니다. 이렇게 길이,질량,시간,전류의 몇 승이란 표현을 하는 것으로 소개하지만 오히려 번거롭습니다. 차라리 저는 단위의 몇 승으로 받아 들이는 것이 더 편하더군요.

사칙 연산과 차원

> 새로 물리를 배우는 시즌이라 그런지 평소에는 잘 읽어보지 않는 글인데 조회수가 늘어났습니다. 질문을 하나 받으면서 추가해야겠다고 생각하여 쓴 부분입니다.

물리에서 단위와 차원은 수학과 구별되는 중요한 지점입니다.
예를 들어 어떤 물체의 위치를 x로 표시하고 시간을 t라고 했을 때
t=0 일 때 x=3, t=1 일 때, x=5, t=2 일 때 x=7 … 에 있다고 합시다.
수학시간에는 문제가 없는 표현이지만 물리시간에는 이렇게 표현하면 잘못된 것입니다.
단위가 빠졌습니다. 그래서 더 정확히는 시간과 물체의 위치에 대한 단위가 있어야 합니다. SI 단위를 써서 시간은 [s(초)] 위치, 거리는 [m(미터)]란 단위를 쓰기로 합시다.
그러면 이 물체의 위치는 시간에 따라
x = 3 + 2 t 로 표현하는 것 보다 정확히는
x [m] = 3 [?] + 2 [?] t[s] 가 될 것입니다.
? (물음표)를 가지고 있는 부분도 사실은 단위가 있어야 합니다.
t=0 일때 x=3 이란 것은 0[s]에 3[m] 에 있다는 말이므로
x [m] = 3[m] + 2[?] t[s] 가 됩니다.
여기서 2 도 단위를 가지고 있어야 합니다.
t = 1일때 t=0 일때 보다 2[m]가 더 커졌으므로 시간과의 곱을 생각해보면
2[m/s] 란 단위를 가진 것으로 짐작할 수 있습니다.
그래서,
x [m] =3[m] + 2[m/s] t[s] 가 훨씬 정확한 표현입니다.
> 하지만 보통은 [ ] 의 단위부분은 생략해서 표현하는게 관습입니다.

이렇게 단위와 차원을 따지는 것을 잘 알면 여러 의미를 파악하는데 도움이 되는데, 위의 경우 등속 직선 운동을 하고 있는 물체이며 2[m/s] 란 바로 이물체의 속력을 말하는 것입니다. 속력의 단위인 [m/s] 가 자연스럽게 나와있는 것을 알 수 있습니다.

이 문제를 좀 더 추상적으로 표현하면
\( x = C_1 + C_2 \cdot t \) 의 관계에 있을 텐데요.
\(C_1\), \(C_2 \) 의 차원은 어떻게 되는가 묻는다면 (게시판에 올라온 질문 내용입니다.) 알아 두어야 할 게 있습니다.
이 관계식에서 각 항들은 모두 동일한 차원이어야 합니다.
x가 길이의 차원을 가진 양이므로 \(C_1\), \(C_2 \cdot t\) 도 길이의 차원을 가지고 있습니다.
물리식에서 더하고, 빼는 양들은 모두 동일한 차원을 가진 양들입니다.

또 다른 예로
\( x= \frac{1}{2} g t^2 \) 란 식을 봅시다. ( 자유낙하시 물체의 이동거리를 나타내는 식입니다.
x 는 길이의 차원을 가진 양이고 SI 단위로 [m] 라고 하고
t 는 시간의 차원을 가진 양이며 SI 단위로 [s] 라고 합시다.
그렇다면 g 부분은 길이/(시간.시간) 의 차원을 가진 양이고 SI 단위로는 [m/s^2] 이 될 것입니다.
g의 단위를 볼 때 이는 가속도와 동일한 단위를 쓰고 있습니다. 즉 가속도 양이란 것을 알 수 있습니다. 물론 이 상수의 이름을 중력가속도라고 합니다. 가속도란 이름이 붙은 것이 이상할게 하나도 없단 말입니다.

이 예제에서 숫자 2로 나누어 주는 것 때문에 소개를 하는 것인데요.
이 2는 그냥 수학에서 말하는 2를 나누어주어란 의미로 차원을 가지고 있지 않습니다.
이런 숫자로 나누어 주거나 곱해주는 것은 차원에 영향을 주는것이 아닙니다.
예를 들어 3[m] 나무 막대기를 2 로 나누면 1.5[m] 가 되지만 여전히 나무 막대기의 길이는 길이의 차원을 가진 ([m]의 단위)를 가진 양입니다.
이 2는 그냥 수학시간에 말하던 숫자의 의미를 가지고 있을 뿐입니다. 이런 숫자로 곱하고 나누는 것은 차원에 영향을 주지는 않습니다.

그러니까 물리식에서 어떤 숫자가 나왔을 때 이 숫자가 수학에서 말하는 곱하고, 나누는 의미가 있을 수도 있지만, 어떤 숫자들은 특별한 차원을 가진 값일 수 있습니다.
특별한 차원을 가진 양들은 모두 **상수, **계수란 이름을 가진 양이며 이것은 그냥 숫자가 아니라 물리량들입니다. 중력가속도(이건 ** 상수란 이름을 가지고 있지는 않군요)뿐만 아니라 만유인력 상수, 쿨롱 상수, 용수철(스프링) 상수.. 등이 있습니다. 이런 물리량의 숫자값은 단위를 바꾸게 되면 값자체는 바뀝니다. 물론 각자 나름 대로의 차원을 가지고 있는 양들이며 단위를 바꾼다고 차원이 바뀌는 것은 아닙니다.

> 나무 막대기의 길이가 1m 라면 길이의 차원을 가진 양이지만, 100cm 라고 단위를 바꿔쓴다고 할지라도 여전히 길이의 차원을 가진양입니다.

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 1

저 같이 기억력이 나쁜 사람은 물리 관계식이 잘 기억나지 않을 때가 많이 있을 것입니다. 관계식이 헷갈릴때 커닝하는 방법을 알려드리겠습니다. 예를 들어 설명하겠습니다.

가속도= 속도/시간의 공식을 안다면 가속도의 단위는 [m/s]/[s] = [m/s^2] 임을 알 수있습니다. 그럼 구심가속도 (구심력/질량) 의 단위도 가속도이므로 [m/s^2] 임을 알 수 있을 거구요…

이게 \( r v \) 인지,\( r v^2 \) ​ ​인지 \( \frac{v^2}{r} \) 인지 \( r \omega \) 인지 \( r^2 \omega \) 인지 ( \( r \)은 반지름, \(v \)는 속도, \( \omega \)는 각속도) 무려 5가지가 떠오르지만, 도저히 기억이 나지 않을 때는 단위를 확인하면 틀린 것은 찾을 수 있습니다.

> 그냥 아무 생각없이 적어 본 5개의 관계식입니다.

\( r v \)
[m]x[m/s] = [m^2/s] : 가속도가 아니군.

\( r v^2 \) ​
[m]x[m/s]^2 = [m^3/s^2] : 가속도가 아니군.

\( \frac{v^2}{r} \)
[m/s]^2/[m] = [m/s^2] : 이건 가능성이 있군.

\( r \omega \)
[m] x [1/s] = [m/s] : 가속도가 아니군

( 각속도는 각/시간 인데 각은 rad 을 씁니다. rad = 호의 길이 / 반지름 = [ ] 단위가 없습니다. [호도법을 쓰는 이유]에서 잘 설명해두었습니다. 따라서 각속도는 [1/s] 가 됩니다. )

\( r^2 \omega \)
[m]^2 X [1/s] = [m^2/s] : 가속도가 아니군..

\( \frac{v^2}{r} \) 만이 유일하게 가능한 경우입니다.

뿐만아니라, \( r \) 과 \( \omega \) 로 [m/s^2] 되려면 \( r \omega ^2 \) 이 되면 가능성이 있는 경우란 것을 추정할 수 있습니다.

이렇게 하면 관계식이 헷갈릴때 검증이 가능합니다.

> 물론 단위에 대한 훈련이 필요합니다. 저는 기억력이 나빠, 연습 많이 해 두었습니다. 거의 대부분의 관계식을 몇 초 안에 검증하고 지나갑니다. )

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 2

PV = nRT 에서 n 의 단위가 생각이 나지 않더라도 찾을 수 있습니다. 재빨리 문제에서 주어진 단위를 보세요. R = (얼마더라?) [ J / (mol K) ] 라고 적혀 있을겁니다.

> 전 정말로 얼마인지 모릅니다. 그런 값을 외우는 것은 물리 공부가 아니라서… 다만 찾아 낼 수는 있습니다. 1atm 일 때, 22.4L, 1mol 은 외고 있어서요.)

P 는 압력 = 힘/면적

V 는 부피 = 면적 * 길이

PV 는 힘* 길이 ==> 에너지 ==> [J] 입니다.

> 이 정도는 저에게는 아주 쉬운 일입니다. 여러분도 연습하면 금방 된다고 믿고 이 글을 쓰고 있습니다.

PV = nRT 에서 왼쪽은 [J], 오른쪽은 [모르는 단위] [J / (mol K)] [K],

n 은 [mol] 이란 단위인 것을 알 수 있습니다.

그런데 만약 R 자리에 단위가 [J / (kg K) ] 라고 적혀 있으면 n 은 kg 이란 뜻이죠..

뿐만 아니라 ( atm L) / (mol K) 이란 단위를 쓰고 있었다면, P 압력의 단위는 atm, V 부피의 단위는 L 라는 뜻입니다.

> 화학에서는 이런 더 단위를 좋아할 겁니다. 화학책을 꺼내서 보면 물리책에서의 이상기체상수 값과 다르게 나와 있을 수도 있습니다. 값이 다른 이유는 물리법칙과 화학 법칙이 다른게 아니라 사용하는 단위가 다르기 때문입니다. 아주 많은 사람들이 ‘이상기체 상태방정식의 단위’를 궁금해하면서 검색합니다.

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 3

아예 처음 보는 물리 문제를 풀어내는 커닝이 가능합니다.

자기쌍극자 [A m^2] 가 어쩌구 저쩌구 ……. 전류가 어쩌구 저쩌구, 자기장이 어쩌구 저쩌구…..

난 자기 쌍극자가 뭔지도 모르는데…

그럼 이럴 때는 찍어야지요, 그냥 찍지 마시고,

단위를 보시지요. [A m^2] 전류와 면적이잖아요… 전류값과 면적에 해당한 거 찾아서 곱한 값으로 찍으세요..

> [기출문제](https://blog.naver.com/happie/221268764550) 풀때 실제 경험했던 것입니다. 자기쌍극자 문제는 잘 안나오니 다 까먹었는데 답은 맞췄습니다.)

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 4

물리를 이해하는데 도움이 됩니다.

여러분에게 관심이 없을 수도 있으니 링크만 남겨둡니다.
플랑크 상수의 차원

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물리량의 단위와 차원에 대해서 관심을 가지면 물리 이해에도 도움이 됩니다.
이번에는 플랑크 상수(plank constant)에 대해서 살펴봅니다.

차원과 단위

플랑크 상수의 단위는 [ J.s] 를 씁니다. 에너지 X 시간 차원입니다.
잘 알고 있는것 처럼 [J] 는 [N.m] 를 대신 쓴 것으로 힘 X 거리 차원입니다.
즉, 플랑크 상수는 [N.m.s]로도 쓸 수 있는 힘 X 거리 X 시간 차원입니다.

운동량 과 충격량은 같은 차원의 량으로 힘 X 시간 차원입니다. 그러므로,
운동량 X 거리 = 힘 X 시간 X 거리 가 되고 이는 또한 플랑크 상수와 같은 차원이 됩니다.

정리하자면

에너지 X 시간 차원 = 플랑크 상수 차원

운동량 X 거리 차원 = 플랑크 상수 차원

광자의 에너지와 운동량

주기 T, 파장 \( \lambda \)의 파동의 성질만 있다고 생각했던 빛이 입자의 성질을 보일 때 마치 에너지 E, 운동량 p 를 가진 입자처럼 행동하는 광자라고 합니다.

에너지 X 시간 차원 = 플랑크 상수 차원 이므로,
E X T = h 이 될 것을 예상할 수 있습니다.

운동량 X 거리 차원 = 플랑크 상수 차원
p X \( \lambda \) = h 이 될 것을 예상할 수 있습니다.

광자의 에너지 E, 운동량 p 를 구하라고 하면
E = h/T = h f ( f는 진동수로 1/T )

p = h/\( \lambda \) = h k ( k 는 파수로 1/\( \lambda \))

란 관계식을 갖는다는 사실이 전혀 이상하지 않습니다.

물질파의 파장과 주기

에너지 E 와 운동량이 p 인 어떤 물질이 입자의 성질만 있다고 생각했지만, 주기 T, 파장 \( \lambda \)인 파동의 성질을 보일 수도 있습니다. (예를 들어 전자의 이중 슬릿 통과 )

에너지 X 시간 차원 = 플랑크 상수 차원 이므로,
E X T = h 이 될 것을 예상할 수 있습니다.

운동량 X 거리 차원 = 플랑크 상수 차원
p X \( \lambda \) = h 이 될 것을 예상할 수 있습니다.

이 물질파의 주기 T, 파장 \( \lambda \) 을 구하라고 하면

T = h/E
( E = 1/2mv^2 과 같은 운동에너지일 수 있습니다. 물론 아주 빠르다면 상대성 이론도 생각해야합니다.)

\( \lambda \) = h/p
(p=mv 와 같은 운동량이겠지만, 아주 빠르다면 상대성 이론도 생각해야합니다.)

그래서, 저는 이 관계식을 외지 않습니다. 플랑크 상수의 차원은 [J.s] 힘과 거리와 시간의 곱이란 사실을 먼저 떠 올립니다. 그리고, 일 과 충격량을 어떻게 구했는지 한 번생각합니다. ( 힘 x 거리, 힘 X 시간 ) 주기가 시간, 파장이 거리인 것으 한 번 더 생각합니다. 그렇게 순서대로 생각해서 관계식을 찾으면 내가 잘못 외웠나하고 의심할 필요가 없습니다.

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열과 관련된 많은 물리 현상을 열현상이란 이름으로 정리해 두었습니다. 좀 쉬운 내용으로 Level 1 : https://www.physicstutor.kr/816 에서 열팽창
Level 5 :  https://www.physicstutor.kr/1357 에서 열팽창
을 보시면 됩니다.

물리현상의 거의 대부분이 열, 온도와 관련되어 있는데 비해 교과서에 나오는 주제는 몇 가지에 한정되어 있습니다.
그럼 왜 많은 현상 중에서 열팽창을 소개했을까라는 생각이 들어 가만히 생각해보았습니다. 아무래도 열역학의 중요한 주제인 이상기체에서 기체의 부피가 온도에 따라 변한다는 사실이 아주 중요하기 때문인 것으로 보입니다. 그러니, 기체의 부피가 온도에 따라 변하듯, 액체나 고체의 부피도 온도에 따라 변한다는 것은 언급해두어야 할 것 같기 때문아닐까 싶습니다.

온도에 따라 부피가 변하면 고체의 경우 길이도 달라지겠지만, 유체(액체나 기체)인 경우에는 담고 있는 용기의 모양에 의존하기 때문에 길이를 이야기 하는 것은 아주 부적절합니다. 그래서, 밑에서 말하는 내용은 고체에 한정된 이야기라고 생각하면 됩니다. 물론 액체도 유사한 일이 일어나겠지만 길이와 같은 개념은 쓰기 어렵겠지요.

선팽창 계수 ( coefficient of linear expansion)

대부분의 고체는 온도( \( T \) )가 변하면 길이( \( L \) )가 변합니다. ( \( L = f(T) \) )

일반적으로 온도가 올라가면 길이가 늘어납니다. ( \( \frac{dL}{dT} = \frac{df(T)}{dT} > 0 \) )

기호를 만들어서 표현해 봅시다.

온도가 \( T_1 \)에서 \( T_2 \)로 변할 때, 길이가 \( L_1 \)가 \( L_2 \)로 변했다고 합시다.
그러면 온도의 변화량 \( \Delta T = T_2 – T_1 \) 과 길이의 변화량 \( \Delta L = L_2 – L_1 \)는
서로 연관관계를 가지고 있을 것입니다. 아주 복잡한 모양을 가질 수도 있지만 근사값으로는
\( \frac {\Delta L }{\Delta T} > 0 \) 이 될 것입니다. ( \( \frac {\Delta L }{\Delta T} \approx \frac{dL}{dT} = \frac{df(T)}{dT} > 0 \) )

\( \frac {\Delta L }{\Delta T} = k (> 0) \) )즉 \( \Delta L = k \cdot \Delta T (k>0)\) 라는 식의 관계가 있으면 그냥 쉽게 넘어 갈텐데, 선팽창계수는 이것과는 모양이 다릅니다. 그래서, 무슨 일이 일어나길래 교과서에서 선팽창계수를 표현하는 식이 나왔는지를 살펴보려고 합니다.

금속자가 온도가 올라갔을 때, 늘어나는 양을 잘 살펴봅시다.
그림 1.에서 위 그림과 같이 금속자의 일부분이 늘어 나는 것이 아니라, 아래 부분처럼 모든 부분에서 일정하게 늘어나는 게 정상이라고 생각되지요?

그러면 그림 2-1의 네모난 자가 늘어나는 현상도 좌우 뿐만 아니라 위아래로도 늘어 나야 할 것입니다. 그림 2-2처럼 가운데가 뚫린 자가 늘어 나는 모양도 이해가 될 것입니다.

그렇다면 그림 3-1,3-2 처럼, 온도 변화에 따른 모양 변화도 이해가 되므로, 3-3 처럼 동그랗게 구멍을 뚫은 쇠모양이 있을 때, 둥근판 a 는 그대로 두고, 도너츠 모양 판 b 만 가열하면 a 가 b를 통과할 수 있는지 없는지에 대한 답은 명확히 할 수 있을 것입니다. (3-4 가 맞을지 3-5가 맞을지)

이렇게 그림을 그리지 않고 상상을 하면, 3-5처럼, 가열하면 a가 통과 못할 것 같은 느낌이 드는 건 여러분만 그런게 아닙니다. 저도 그런 느낌을 받습니다. 위에서 3-2 와 3-4 그림처럼 그림을 그리고, 생각을 해보면 당연히 a가 통과 할 수 있다고 ‘생각’은 되지만, ‘느낌’은 a가 통과못할 것만 같습니다. 분명 이런 착각을 하게 되는
심리학적 이유가 있을 것 같은데 … 이유는 잘 모르겠습니다.

이렇게 온도에 따라 물체가 늘어나는 것은 어느 일부분이 아니라 모든 부분에서 일정하게 늘어난다는 것을 숫자로 써봅시시다. 예를 들어 물체의 온도가 올라가면 1m 짜리가 1cm 늘어 난다고 하면, 2m 물체는 2cm 늘어난다는 것이 바른 생각일 것입니다. ( \( L_a\) 는 \(\Delta L_a\ \)늘어 나고 \( L_b\) 는 \(\Delta L_b\ \)늘어 났다.)

즉, 온도가 올라가면 늘어난 길이와 원래 길이의 비율이 1% (=1cm/1m =2cm/2m) 로 일정하다는 생각입니다. ( \( \frac{\Delta L_a\ }{L_a } = \frac{\Delta L_b\ }{ L_b } \) 이 일정)

교과서에서 선팽창계수를 소개할 때 나오는 열팽창 현상(온도가 올라갈 때 길이가 늘어나는 현상)은 온도가 증가함에 따라 단순히 길이가 증가 (증가된 길이와 원래의 길이 비는 일정)할 뿐만 아니라, 온도가 올라갈수록 증가된 길이와 원래의 길이 비율도 늘어난다는 것을 이야기 하고 있습니다. ( \( \frac{\Delta L\ }{ L } = \alpha \cdot \Delta T (\alpha>0)\) )

온도가 100도 증가할 때, 1% 증가한다면, 200도 증가할 때 2% 증가한다는 뜻입니다. 온도 100도 증가할 때 1m가 1cm, 2m 가 2cm 늘어 났다면, 온도가 200도 증가할 때 1m 짜리는 2cm, 2m 짜리는 4cm 늘어난다는 것입니다.

그래서, 선팽창계수를 \(\alpha\) 라고 하면, \( \frac{\Delta L}{L} = \alpha \cdot \Delta T \) , 즉, \( \Delta L\ = \alpha \cdot L \cdot \Delta T \) 라고 교과서에 나온 것 처럼 쓸 수 있습니다.
일반적으로 \( \alpha \)는 0 보다 큽니다. 즉 온도에 올라가면 길이가 늘어 납니다. 그리고, 이것은 근사값이기 때문에 그 값도 온도에 따라 조금씩 다릅니다. ( 근사값을 쓰는 것은 대략의 현상을 말할 때 쓰는 것입니다. )

선팽창계수 \(\alpha\) 의 단위를 살펴보면 [ 1/K ]가 될 것입니다. \( \frac{\Delta L}{L} \) 이 이미 차원이 없는(dimensionless)량 이므로, 온도만이 단위에 영향을 주네요. 그리고, 1°C 나 1K 나 같은 간격이므로 [ 1/°C ] 라고 단위를 바꿔 써도 같은 값을 얻을 것입니다.

부피팽창계수 ( coefficient of volume expansion)

선팽창계수를 정의할 때 사용한 논리와 같은 논리를 적용하면 부피팽창계수를 얻을 수 있을 것입니다. 그 결과는
부피팽창계수를 \(\beta\) 라고 하면, \( \frac{\Delta V}{V} = \beta \cdot \Delta T \) , 즉, \( \Delta V\ = \beta \cdot V \cdot \Delta T \) 가 됩니다.

부피가 늘어나는 것이 고체의 길이가 늘어나는 것과 무관한 것이 아니므로 조금 자세히 따져 봅시다.
x,y,z 축으로 길이가 \( L_x, L_y, L_z \) 인 육면체의 고체의 부피 \( V = L_x \cdot L_y \cdot L_z\) 이 될 것입니다.
온도가 \( \Delta T \) 만큼 증가하여 각각의 길이가 \( \Delta L_x, \Delta L_y, \Delta L_z \)만큼 늘어 났다면,
부피는 \( V + \Delta V = ( L_x + \Delta L_x)(L_y + \Delta L_y)(L_z + \Delta L_z) \) \(= L_x \cdot L_y \cdot L_z (1+ \frac{\Delta L_x}{ L_x})(1+ \frac{\Delta L_y}{ L_y})(1+ \frac{\Delta L_z}{ L_z}) \) 이므로, 양변을 \( V = L_x \cdot L_y \cdot L_z\) 로 나누어 주면

\( 1+ \frac{\Delta V}{ V} = (1+ \frac{\Delta L_x}{ L_x})(1+ \frac{\Delta L_y}{ L_y})(1+ \frac{\Delta L_z}{ L_z}) \approx 1+\frac{\Delta L_x}{ L_x} + \frac{\Delta L_y}{ L_y} + \frac{\Delta L_x}{ L_y}\) 가 됩니다.

위의 네모 자를 볼 때 별로 의심하지 않은 것처럼 일반적으로 온도에 따라 길이가 늘어나는 현상은 모든 방향으로 똑같이 늘어날 것입니다. 앞에서 정의한 선팽창계수 \( \alpha \) 와 부피팽창계수 \( \beta \) 정의를 사용하고, 선팽창계수 \( \alpha \)가 모든 방향으로 똑같다는 생각을 도입하면, 위의 식은 아래와 같이 됩니다.
\( 1 + \beta \cdot \Delta T = 1 + \alpha \cdot \Delta T + \alpha \cdot \Delta T + \alpha \cdot \Delta T = 1 + 3 \alpha \cdot \Delta T\)

\( \beta = 3 \alpha \) 란 관계를 얻는 것이 이상한 것이 아닙니다.

널리 알려진 예외적 물질

온도가 증가하면 부피가 늘어난다고 알려져 있지만, 예외적 물질도 있을 것입니다. 그런 예외적인 물질이 워낙 유명한 물질이라 잠깐 다루고 넘어갑니다. 물은 4°C 가 부피가 가장 작다고 합니다. 그 말은 4°C 보다 온도가 높다면 부피가 더 크다는 것이니까 앞에서 배운 것과 같지만,
4°C 보다 작더라도 ( 에를 들어 2°C 라도 ) 부피가 더 크다는 말이므로, 이때는 온도가 올라가면 부피가 줄어드는 현상을 보게 된다는 것입니다. 그러니, 예외적 현상인데, 그 이유는 아마 널리 연구가 되어있을텐데 … 저는 잘 모릅니다. 그 이유에 대해 잘 정리된 자료있다면
제보를 부탁합니다.

그래서, 4°C 물보다는 0°C 물이 밀도가 더 작아서 표면으로 가게 될것이고, 얼음이 수면에서 먼저 어는 것에 크게 도움이 될 것입니다.

대략적인 값

생각하기 쉬워라고 큰 숫자를 불렀지만, 실제로는 선팽창계수 \( \alpha \) 와 부피팽창계수 \( \beta \)는 아주 작은 값입니다.
철의 \( \alpha \) 값이 대략 \( 11 \times 10^{-6} \)[1/K] 라고 합니다. 겨울 -10°C 에서 여름 40°C 가 되더라도 50°C(K) 차이 밖에 나지 않으므로, \( \frac{\Delta L}{L} = 50 \times 11 \times 10^{-6} \)이므로,
높이 10cm 짜리 철도 궤도의 철은 55 µm 밖에는 변하지 않습니다.
그러나, 길이 100m 에는 55mm 이므로 철도 궤도 간격에는 큰 영향을 줄것입니다.

선팽창계수가 의미가 있는 것은 철도 궤도나 건물 건축, 다리를 만드는 일등 아주 긴 물체를 다룰 일이 많이 있기 때문입니다. 짧은 쪽의 영향은 거의 무시해도 되지만 길이가 긴쪽에는 영향이 아주 크게 나타날 수 있기 때문입니다.

고체든 액체든 부피는 정말 얼마 차이 나지 않을 것입니다. 철의 경우, \( \beta = 3 \alpha \) 를 이용한다면 \( 33 \times 10^(-6) \) 정도 늘어납니다. 그러나, 기체에서는 샤를의 법칙에 따라 온도 250K 가 300K 로 50K 올라간다면 부피비도 250:300 으로 0.2 가 됩니다. 기체는 고체와 액체와 달리 온도에 따른 부피 변화를 무시할 수 없는 수준입니다.

정리

이렇게 이야기 주제를 따로 잡은 이유는 수식이 나오면 그냥 외우는데 주력하지 말고 그 뜻을 파악하는게 중요합니다. 그 뜻을 파악하고 그 뜻을 표현하는 식을 만들어 내는 능력을 키우는게 물리 공부하는 것인데… 아무래도 시험 공부하는 분에게 그런 걸 요구하는 것은 너무 큰 무리인가요? 아무런 근거도 없이 외는게 얼마나 오래갈까 싶어서 걱정스러워서 하는 소리입니다. 어쨋든 그 의미를 제대로 알면 기출 문제는 별로 어렵지 않습니다.

기출 문제 보기

공무원 7급 국가직 2007_물리학개론_공형 문제 15번
공무원 7급 국가직 2014_물리학개론_A형 문제 14번

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Level1 의 내용( 중학교 내용)

열현상기초

을 다시 정리만 합니다.

[출처] EBS Youtube

[01:07]온도
[03:58]열-비열과 열량
[12:38]열용량
[18:12]열평형 상태(열역학 0법칙)
[28:53]열의 이동 방법
[32:01]보온병
[35:52]물질의 상태 변화와 잠열  [~ 38:27]

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