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파스칼의 원리

유체의 성질 중에서 가장 먼저 부력에 대해 알아 보았습니다. 이렇게 힘으로 생각하는 것이 상당히 문제를 일으킬 수 있습니다. 파스칼의 원리에 대해서는 여러군데서 설명하는데도 불구하고 이렇게 글을 남긴 것은  파스칼의 원리 자체보다는 유체에서는 압력이란 개념을 쓰게 되는지 보이는게 목표입니다.

파스칼의 원리에 대해서 설명해 볼까 합니다.

그림은 바닥 면적이 다른 두 개의 물통을 준비하여 중간에 관으로 연결한 그림입니다. 중간에 빨간색은 밸브를 표시하고 있습니다. 밸브를 잠근 상태로 물을 부어 둡니다. 왼쪽이 많든 오른쪽이 많든 상관이 없습니다. 그리고, 밸브를 열게 되면 양쪽의 물의 높이는 같아집니다. 왼쪽이 많든 오른쪽이 많든 상관없이 결국 양쪽의 물의 높이는 같게 됩니다.

이 현상을 설명하기 위한 그림입니다. 쉽게 생각할 수 있는게 양쪽에서 누르는 힘이 같을 것이라고 생각하는 것입니다. 물의 높이가 높은쪽에서 힘이 더 크게 작용하여 결국 양쪽에서 누르는 힘이 같아질 때까지 흘러서 결국 양쪽의 높이가 같아질 때 평형이 될것이라는 생각입니다.

하지만, 이 생각에는 문제가 있습니다.  왜 그런가 살펴봅시다.
만약 물의 높이가 같은 상태에서 h 만큼 물을 더 부었다고 하면 아래 그림과 같이 될 것입니다. h는 물을 더 붓기 전 보다 높아진 물의 높이를 말합니다.

이 상태에서 양쪽의 힘을 생각해 봅시다.  아래 왼쪽 그림과 같이 더 추가된 물 때문에 중력을 더 받게 됩니다. 처음상태보다 왼쪽 통에는 F = m g = \rho A h g (A 는 바닥 면적, g 는 중력 가속도, m 은 추가 된 물의 양입니다.) 오른쪽 통에는 F_1 = m_1 g = \rho A_1 h g 의 힘을 더 받게 됩니다. 힘이 같아서 평형이 된다면 오른쪽이 훨씬 넓으니까 왼쪽의 물의 높이가 올라가야 할 것인데, 현실을 그렇지 않습니다. 아래 오른쪽 그림과 같이 오른쪽 통의 바닥 면적이 다른 것을 준비하여도 같은 현상이 나타납니다. 오른쪽 통에는 F_2 = m_2 g = \rho A_2 h g 의 힘을 받게 됩니다. 세 경우를 모두 비교해 보면 결국, 같은 것은 힘이 아니라 힘을 면적으로 나눈 값이 같은 경우라는 것입니다. 결국 같은 것은 F/A = F_1 / A_1 = F_2 / A_2 입니다.

이 같은 양을 우리는 압력이라고 부릅니다. 물의 높이가 같은 곳에서 압력이 같다는 사실을 알 수 있습니다. 밸브를 열고 난뒤 물의 높이가 같아지기 위해서는 수면에서의 압력이 같아질 때까지 물이 흘러 간다는 것입니다. 물위에 아무것도 없는데 압력이 왜 있냐구요? 공기가 있고, 공기의 압력이 물위에서 같기 때문입니다. 이 공기의 압력이 있다는 것 (진공에는 압력이 없다는 것)을 열심히 연구한 유명한 사람이 토리첼리입니다.

자 그럼 우리는 파스칼 원리를 이해할 준비가 다 되었습니다.

그림과 같이 물을 채운 두 통위에 물이 새지 않도록 하고 두껑을 덮어 둡니다. 왼쪽 통에 힘 F_1을 아래로 가하면 오른쪽 통은 F_2 의 위쪽 방향으로 힘을 받을 것입니다. 양쪽 수면에서 압력은 같을 것이므로, F_1 / A_1 = F_2 / A_2 가 될 것이므로 F_2 = F_1 ( A_2 / A_1 ) 의 관계를 가질 것입니다. A_2 \textgreater A_1 이면 F_2 \textgreater F_1 입니다. 작은 힘으로 큰 힘을 낼 수 있습니다. 이런 원리를 이용하면 우리가 들지 못하는 자동차도 들 수 있습니다. 이런 원리를 이용한 장치를 유압기라고 합니다. 물 대신 기름을 넣어서 만든 장치라서 이름이 유압기네요.

지렛대의 원리와 비슷한 느낌을 받지 않습니까?

네, 위의 그림과 같이 왼쪽 통을 눌렀을 때 한 일을 계산해보면 오른쪽 통에서 한 일과 같게 됩니다. 그런데, 수면의 높이 변화는 통의 면적에 반비례합니다. 결국, 지렛대의 원리에서 힘을 작게 쓰고 길게 일을 한 것과 힘을 크게 쓰고 짧게 일한 것의 차이 일뿐 한 일의 양이 같듯이 파스칼 원리에 의한 일의 양도 같게 됩니다.

파스칼 원리가 나오게 된 중요한 배경을 보면 물의 수면이 같게 되는 것은 힘의 평형이 아니라 압력이 같게이 되어야 하는 유체의 특성에서 나오게 되었다는 것입니다. 그래서, 유체 문제에서는 압력이 변수로 자꾸 튀어나옵니다.

다음은 유체안의 각 위치에 따른 압력에 대해서 알아봅니다. 일단 유체가 움직이지 않는 경우를 먼저 살펴봅니다. (정지된 유체에서 압력구하기)


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