(정지된) 유체에서 압력구하기

부력 L3 에서는 유체에서 힘에 대한 개념을 적용하는 간단한 문제였지만, 파스칼의 원리 L3 를 설명할 때 잠깐 말씀드린것처럼 유체에서 나타나는 현상은 단순히 힘으로는 설명이 안되고, 압력으로 설명해야합니다. 그러니, 압력을 잘 아는게 중요한 문제입니다.

이번에는 유체안의 각 위치별 압력을 알아내는 방법을 이야기합니다. 여기서는 유체는 반드시 정지되어 = 움직이지 않고 = 속력 =0 인 상태입니다.

압력

그림과 같이 물이 담긴 통에 물을 추가로 더 부어넣게 되었을 때 추가된 물에 의한 힘은 면적에 따라 늘어나지만, 결국 높이가 같은 지점의 압력이 같다고 알아보았습니다. 그래서, 힘을 면적으로 나눈값인 압력을 구하게 되는데, 압력에 대해 좀 더 알아야 할 것이 있습니다.

물과 같은 유체(액체,기체)는 고체와 달리 흐르는 성질이 있습니다. 그래서, 고체는 왼쪽 그림과 같이 쌓아 올릴 수 있지만, 물은 오른쪽 그림과 같이 쌓아 올릴 수 없습니다. 컵보다 물을 더 높이 붓게 되면 결국 넘쳐 흐릅니다. 이렇게 넘쳐 흐르는 현상을 가만히 생각해보면, 단순히 압력이 아래 방향으로만 작용하는 것이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 만약 컵보다 높은 곳에 물이 있다고 한다면, 옆으로 미는 힘이 있다는 것을 보여줍니다. 그러니까, 플라스틱통에 물을 담은 다음, 구멍을 뚫게 되면 그 구멍을 통해 물이 나오는 것을 보아도 압력에 의한 힘의 방향은 고체에서 생각하듯 중력에 의한 아래 방향이 아니라 옆 방향으로도 작용합니다.

압력(壓力)은 한자만 보면 ‘누르는 힘’이지만, 물리에서 말하는 힘과는 다른 속성을 가지고 있습니다. 힘이란 물리량은 작용하는 특정한 방향이 있지만, 압력은 방향이 없는 물리량입니다. 특히 유체에서는 모든 방향에 대해서 힘을 발휘할 수 있는 양입니다. 그러니까, ‘압력’은 힘과 같은 역할을 하는 양이지만 ‘힘 나누기 면적’과는 다른 고유한 양입니다.

유체에서 압력 구하기

그럼, 이제 유체 안의 어떤 지점에서 압력을 구해봅시다.

그림과 같이 수면에서 압력이 $p_0$ 깊이가 $h$ 인 곳에서 압력이 $p$ 라고 한다면 중력에 의한 용액의 질량에 받는 힘에 의한 효과만큼 압력은 올라갑니다. 그래서, 결국 $p = p_0 + \rho g h$ 라고 할 수 있습니다.

액체내에서 다른 두 지점에서는 똑같은 원리로 압력을 구할 수 있고,

$p_1 + \rho g h_1 = p_2 + \rho g h_2$ 의 관계를 얻을 수 있습니다. 그런데, 여러분은 이 관계식을 얻게 되면 이것만 외어서 문제를 풀려고 합니다. 이 관계식은 단순히 주어진 조건에 따라 바뀌는 것입니다. h 대신 y 를 쓰면 부호가 바뀌는 것을 위에서 보여 드렸습니다. 그러니까, 자꾸 결과만 외우려고 하면 문제를 못 풀게 됩니다. 왜 이런 관계식이 나왔는지를 알고 있어야 하고, 시험문제 풀 때, 이 관계식을 바로 찾을 수 있으면 외울 필요도 없습니다. 여러분들이 자꾸 물리문제를 관계식만 외어 풀려고 하니까, 출제자들은 이유를 모르고 식만 외어 풀면 틀리는 문제를 만듭니다.

그림과 같은 용기에 점선을 그린 두 지점의 압력의 차이는 얼마인가? ( 용액의 밀도는 $\rho$ )

틀리지 않길 바랍니다.

부력과 유체의 압력

유체에 어떤 물체가 있을 때 받는 힘인 부력을 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

앞서 살펴본 것과 같이 수면에서 깊어질수록 압력이 커진다는 것, 압력에 의한 힘은 아래 위 뿐만 아니라 좌우방향으로도 같다는 것을 생각해보면, 압력 때문에 물 안에 있는 물체가 받는 힘은 물체의 표면마다 다른 힘을 받게 됩니다. 그래서, 위의 그림과 같이 표현할 수 있습니다.
아래쪽에 위로 미는 힘은 위에서 아래로 미는 힘보다 더 큽니다. 아래쪽의 압력이 더 높기 때문입니다. 옆면을 보면 수면쪽으로 올라갈수록 옆으로 미는 힘의 크기는 줄어듭니다. 물체의 모양이 왼쪽과 오른쪽이 같으므로 방향만 다를 뿐 크기는 같습니다. 결국 합쳐진 힘(합력)이 부력이 됩니다. 이렇게 복잡하게 압력을 따져서 생각하기 보다는 처음 배운것 처럼 단순히 중력과 부력의 평형상태를 생각하는 것이 훨씬 쉽습니다.

아래 그림과 같이 물체의 모양이 복잡하면 받는 힘의 방향도 복잡해집니다.

주의할 것은 부력 설명할 때 그린 화살표는 힘을 표시한 것이지 압력을 표시한 것은 아닙니다. 압력에 비례해서 그린 것으로 압력에 의한 힘의 방향을 말하자면 모든 방향입니다. 그림의 화살표는 압력에 의해 물체가 받게 되는 힘을 표시한 것입니다.

대기의 압력

대기의 압력(대기압)은 우리의 주변의 공기가 있고, 공기의 압력을 말합니다. 그 값이 얼마나 될까요?

그림 처럼 용기하나를 더 준비하여 물을 담은 다음 용기를 뒤집어 엎으면 물이 내려가지 않고 그대로 있을 수 있습니다. 못 믿겠다면 직접 한 번 실험해 보셔도 됩니다. 이렇게 되는 것을 앞에서 배운 것으로 설명해 봅시다.

이 그림에서 표시한 점에서의 압력은 $p = p_0 - \rho g h$ 가 될 것입니다. 앞에서 배운 것에서 부호를 조심히 따져보셔야 합니다. 결과적으로 $p_0$ 보다는 작은 값이 됩니다. 기준이 되는 $p_0$ 는 대기의 압력이 있기 때문에 물이 내려오지 않고 용기속에 그대로 있을 수 있는 것입니다. 압력에 의한 힘의 방향이 모든 방향이라고 했던것 기억하시지요. 용기 아래쪽에 있는 물이 위쪽으로 힘을 가하고 있는 것입니다.

그럼, 이 물기둥은 얼마만큼의 긴 용기를 사용해도 내려오지 않고 버틸 수 있을까요? $\rho g h$ 가 $p_0$ 가 될 때까지, 그러니까 $p =0$ 이 될 때까지 버틸 수 있습니다.

물기둥 위에는 공기 조차도 없는 상태 즉 진공이 되고 압력은 0 이 된다는 것입니다. 이 때의 높이가 약 10m 에 해당한다는 것입니다. 보통 1기압은 $1013 h Pa = 1.013 \times 10^5 Pa \approx 10^5 Pa$ 이라고 알려져 있습니다.
그리고 물의 밀도를 $1 g / cm^3 = 1000 kg / m^3$ , 중력가속도를 대략 $10m/s^2$ 이라고 하면,
$p_0 = \rho g h$ 가 되는 $h = p_0 / ( \rho g ) = 10^5 Pa / ( 1000 kg / m^3 \cdot 10m/s^2 ) = 10 m$ 가 됩니다. 실제로 실험하기에는 너무 긴 용기가 필요하니까, 이 높이가 낮게 나올 수 있는 액체로 실험하면 높이를 낮출 수 있습니다. 식에서 보듯 $\rho$ 가 큰 물질일 수록 $h$ 는 낮아질 것입니다. 토리첼리는 수은을 이용하였고, 그 때는 수은기둥의 높이가 대략 760mm 가 나오게 됩니다.

> 1기압을 다른 단위로는 760mmHg 라고 하는 것의 기원은 여기에 있습니다. 현실에서는 압력 단위로 아주 다양한 것들이 있습니다. 궁금하신 분은 압력의 단위 L7 참조하시면 됩니다.

정리

지금까지 유체에서 압력을 구하는 법에 대해서 설명해드렸습니다. 그전에 배웠던 부력과 파스칼의 원리를 좀 더 자세히 생각할 기회를 가졌습니다. 압력을 구하는 식은 힘 나누기 면적이지만, 그 성질은 힘과는 달리 방향을 정할 수 있는 양이 아닙니다. 유체에서 압력의 기준이 될 만한 곳은 압력이 얼마인지 확실히 아는 곳, 즉, 일정한 대기압을 가진 곳입니다. 물이라면 수면이 됩니다. 관계식을 만들면 수면을 기준으로 할 때 (-) 부호가 나오게 됩니다. 편의상 바닥에서 부터 높이를 이용하여 (+) 로 식을 만들었지만, 식을 잘못 쓰면 문제를 틀릴 수 있으니 주의하셔야 합니다.

지금까지 정지된 유체에 대해 일어날 수 있는 물리를 배웠습니다. 그 다음은 유체가 움직일 때 일어나는 일에 대해서 배우게 됩니다. 베르누이 법칙 L3 베르누이의 법칙부분을 보고 나면 지금 이 내용은 베르누이 법칙의 아주 특수한 경우(v=0) 일 때와 같습니다.

압력

유체에서 압력 구하기

부력과 유체의 압력

대기의 압력

정리

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