파동의 속력 - 수험생 물리

파동에서 움직여 보이는 것은 무엇일까요?
파동을 진동이 퍼져나가는 것이라고 설명합니다. 지난번에 알게된 파동을 sin 함수로 표현하는 것을 보면 파동의 움직임은 자신의 위치에서 움직이고 있을 뿐 그 위치 자체는 바뀌지 않습니다. ( 지난번 자료 바로 가기)

하지만 우리 눈에는 파동을 보면 뭔가 위치가 바뀌는 현상이 분명히 보입니다.

위 그림에서 보면 파동의 마루가 시간이 지남에 따라 오른쪽으로 움직이고 있습니다.

파동

파동은 진동이 공간에서 퍼져나가는 현상입니다. 이 진동이 어떤 물질의 움직이라면 이 물질을 매질이라고 부릅니다. 진동을 매개하는 물질입니다. 소리라면 공기가 매질이 될것입니다. 줄의 흔들림은 줄 자체가 매질이 될 것입니다. 줄이 위 아래로 움직이는 예제에서 이 매질의 움직임은 처음의 그림과 같이 아래,위로 움직이기만 할 뿐 좌,우로는 움직이지 않습니다. 그런데, 두번째 그림과 같이 무엇인가가 오른쪽으로 움직이고 있습니다. ‘진동’이라는 현상이 오른쪽으로 퍼져나가고 있는 것입니다. 이런 진동이 있으려면 운동에너지가 필요하므로, 파동은 매질이 직접 움직이지 않으면서도 에너지는 퍼져나가게 하는 방법이라는 것입니다.

위상과 파동의 속력

위의 그림에서 하트와 번개그림이 표시하고 있는 지점을 마루라고 했습니다. 마루는 sin 함수에서 $\pi /2$ 가 되는 지점들입니다. sin 함수안의 각에 해당하는 부분을 위상이라고 하고, 그림으로 표시하는 점은 위상이 같은 지점입니다.
결국, 진동이 퍼져나갈때 우리 눈이 쫓아가면서 보고 있는 점은 위상이 같은 점입니다. 위상이 얼마나 빨리 움직여나가는가를 표현하는 것을 파동의 속력이라고 합니다. 줄의 진동이 얼마나 빨리 퍼져나가는지를 표현하는 방법이 될 것이며, 이것은 곧 줄의 진동과 관련된 에너지가 퍼져나는 속력이 될 것입니다. 위 그래프에서 파동의 속력은 얼마인가요? 하트모양은 t=0 일 때 x= 1, t=0.5 일 때 x=2, t=1.0 일 때 x= 3, t=1.5 일 때 x=3 에 있습니다. 결국, t가 0.5[초] 변할 때, x 는 1[m]씩 증가합니다. 그러니까 2[m/s] 가 파동의 속력이 됩니다. 이것을 파동의 함수만 보고 구할 수 있을까요?
위 그래프는 $y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( x/4 - t/2)$ 을 그린 것입니다. 파장은 4[m], 주기는 2[초] 였습니다. 결국, 지금 구한 것을 보면 파동의 속력은 파장을 주기로 나눈것과 같은 값이 되었습니다.
$y (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$
$y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( x / \lambda - t / T))$
$y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( k \cdot x - f \cdot t))$
에서 보았을 때,
파동의 속력 $v = \lambda / T$ 입니다. 속력은 거리 / 시간이니까, 당연히 파장 / 주기가 될것입니다. 이게 우연이고, 공식이라서 그렇게 구한 것이 아니라, 2번째 그림에서 나타난 현상을 보니 그 결과가 나온 것이었습니다.
그렇게 나올 수 밖에 없습니다. 하트를 보면 위상이 $\pi /2$ 되는 점입니다. 함수를 보면 $2 \pi ( x / \lambda - t / T) = \pi /2$ 인 점을 살펴본 것입니다. $x / \lambda - t / T = 1 /4$ 이 되는 점을 살펴 본것입니다. $x = \lambda t / T + 1 /4$ 되는 점을 살펴본 것입니다. 그러니 파동의 속력이 $v = \lambda / T$ 됩니다.
그럼, 또 다른 값들로 표현하면
$v = \lambda / T = \omega / \kappa = f / k$ 가 될 것입니다.
(물론, $v = \lambda \cdot f$ 도 됩니다.)
모두 파동의 위상이 같은 점이 어떤 속력으로 움직이는가를 보는 것입니다.

파동의 에너지가 퍼져나가는 현상

파동의 함수에서 한 점의 움직임은 마치 단진동하는 물체의 움직임을 표현하는 것과 같은 모양을 가지고 있습니다. 이 움직임 즉 진동의 에너지는 $E \propto A ^2 \omega ^2$ 에 비례할 것입니다.(단진동의 운동에너지 참조) 다시 말해 진폭의 제곱에, 진동수의 제곱에 비례합니다. 이런 에너지가 파동의 속력 v 로 퍼져나갑니다.

파동이 움직이는게 아직도 이해 되지 않는다면 눈으로 직접 봅시다.

sin 함수와 같이 표현되면 아무래도 움직이는게 뭔지 약간은 혼동스러울 수 있습니다. 그래서 준비했습니다.

이 동영상을 보면 딱 한 번만 용수철을 흔듭니다. 그러면 오른쪽으로 마루가 움직이다가 다시 왼쪽으로 오는 것이 보이지요. 자세히 보면 용수철은 아래,위로 움직입니다. 매질은 아래,위로 움직입니다. 좌우로 움직이는 것은 결국 에너지가 움직이는 것입니다.

이렇게 매질이 움직이는 방향이 파동이 움직이는 방향에 수직인것 (횡적인것) 을 횡파라고 합니다.
매질이 움직이는 방향이 파동이 움직이는 방향에 나란한 것(종적인것)을 종파라고 합니다.
한번 보는것이 최고죠

파동의 속력이 동영상에서 파동의 속력이 어떤 움직임에 대한 것인지 알 수 있다면 이글의 목표는 다한 것입니다. 그냥 열린 질문 하나 하고 마치겠습니다. 그럼 이 줄에서 파동의 속력은 어떻게 결정될까요? 우리가 흔드는 진동수?, 매질의 성질? 소리의 속력은? 빛의 속력은? …