파동의 함수표현 - 수험생 물리

파동(wave)를 함수로 표현해 봅시다. 고등학교때까지 대략 어떻게 표현하는지는 배웠고, 문제도 풀어보았을 것이라고 생각합니다. (물론 다 까먹었겠지만..) 이제는 조금 더 전문가적으로 표현해 볼까합니다. 파동현상이 많은 예가 존재하겠지만, 여기서는 아~~주 기다란 줄정도로 생각해 봅시다. 한 쪽 끝을 잡고 규칙적으로 흔들어 줍니다. 반대쪽 끝은 너무 멀리 있어 생각하지 않겠습니다. 줄이 흔들거리는게 상상이 되나요? 이걸 수학적으로 표현하려고 합니다.

변수는 2개다

먼저 시간에 따라 계속 변하니까 사진을 한 장 찰칵 찍습니다. 물리적으로는 시간을 고정했을 때 모양을 보자는 것입니다.

대략 이런 모양일 겁니다. 그러면 우리는 수학적으로 $y = f(x)$ 의 함수라고 할 수 있습니다. 이것은 사진 한장만 표현한 것입니다. 시간이 흘러갈 때를 표현하지 못하고 있습니다. 이 모양이 시간이 흘러갈 때 어떻게 변하는지도 표현할 수 있어야 합니다. 그래서 $y = f(x,t)$ (t는 시간, x,y는 위치) 와 같이 x, t 가 변할 때, y 도 변한다고 표현해야합니다. 변수가 2개짜리인 함수로 표현하는 것이 고등학교때는 잘 다루지 않았던 모양입니다. 대학교 수학시간에 배우는 편미분이란 개념도 이렇게 변수가 2개 이상이 될 때라는 새로운 세계가 열리는 거죠.

새로운거 나오면 왜 기가 죽는지. 뭔가 자신이 없어집니다. 우리가 어릴때는 그렇지 않았어요. 새로운 것들을 보면 재미있어 했는데…. 학교 다니다 보니 뭔가 새로운 것을 하나씩 배울 때마다 점점 어려운 것들이었습니다. 이제는 새로운 것은 어려운 것이란 것을 말을 안해줘도 알고 있지요. 어려우니까 나중에 가르쳐 주는 거고, 나중에 배우는 새로운 것은 당연히 어려울 것이란 것입니다. 하지만, 초등학교때 그 어렵던 구구단이 아직도 어렵게 느껴지시나요? 익숙해지고 나면 어렵다고 생각하지 않습니다. 새로운 것이 나오면 익숙해질 때까지 하는게 쉽게 느끼는 방법입니다. 이제는 새로운게 나오면 그게 익숙해지려고 시간을 들이지 않고 다른 익숙한 것을 즐기고 싶은게 문제죠… 여기서는 파동을 표현하는 함수와 익숙해지는 시간을 가지려고 합니다.

먼저 sin 함수랑 친해집시다.

파동함수가 2개의 변수를 가진 함수란 거에는 동의하는지요? 그럼, 어떤 함수일까요? 제목을 보아하니 sin 함수겠다고 생각하시겠지만, 사실을 전혀 그렇지 않습니다. 우리 주변에서 보는 파동 현상을 표현하는 함수는 딱 정해진 함수가 아닙니다. 그때 그때마다 그 상황마다 다 다릅니다. 피아노 건반을 두드렸을 때 나오는 소리의 파동모양과 바이올린에서 나오는 소리의 파동모양도 다르고, 피아노 건반을 어떤 것을 누르냐에 따라 다르고, 얼마나 오래 눌렀나, 얼마나 세게 눌렀나에 따라서도 다릅니다. 사람마다 목소리가 다른 것도 그렇구요. 우리가 파동이라고 부르는 것을 함수로 표현하면 $y = f(x,t)$ 가 끝입니다. 상황마다 함수 f 가 다 다릅니다. 그런데, 교과서에서는 sin 함수를 가지고 이야기를 합니다. 왜 그럴까요? 상황마다 다른 함수 f를 설명하기 쉽게 하기 위해서입니다. 이야기는 마지막에 다시하도록 하겠습니다. 일단 sin 함수랑 친해집시다. (중학교때 삼각함수를 배울때 이렇게 인연이 질길지 몰랐었죠? )

파동을 함수로 표현하는 가장 간단한 형태는
$y (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$
입니다. 이 함수와 친해집시다.

시간을 고정시키고 살펴 봅시다.

이런 이상한 모양이 나타나면 일단 겁을 먹으면 안됩니다. 우리가 순서대로 배우는 것은 이 쯤 되면 이런것은 알 수 있을 거야 하고 가르치는 순서가 있는 겁니다. 이런 것은 알 수 있으니까 소개하는 거니 겁먹으면 안됩니다.
처음에 줄을 흔들 때 모양을 사진을 찍었습니다. 사진 찍는 시간을 일정한 간격으로 몇 장 더 찍어 봅니다.

시간에 따라 모양이 바뀝니다. (t 의 단위는 생략했는데, 기본 단위인 [초] 라고 생각합시다.) 위의 수식에서 t에 0,0.5,1.0,1.5 를 넣으면 됩니다.
그래프는 위에서 부터 순서대로 $y (x, 0) = A \sin ( \kappa x )$ , $y (x, 0.5) = A \sin ( \kappa x - 0.5 \omega )$ , $y (x, 1) = A \sin ( \kappa x - \omega )$ , $y (x, 1.5) = A \sin ( \kappa x - 1.5 \omega )$ 를 그린 것입니다.

이중에서 가장 익숙한 것은 $y (x, 0) = A \sin ( \kappa x )$ 함수이네요. 이것만 다시 그려보겠습니다.

x=0,1,2,3 인 곳에는 눈에 띄게 색깔을 입힌 큰 점을 그려두었습니다.
그리고, 여러개의 화살표로 간격을 표시하고 있는 것이 있습니다. 이 화살표가 표시하는 것이 무엇인가요? 이 파동이 일정한 거리마다 반복해서 나타난다는 점을 강조하고 있는 것입니다. 어디를 기준으로 보는가는 여러분 마음입니다. 제 눈에는 사실 가장 높은 부분이 눈에 잘 뜨입니다. 가장 높은 곳, 가장 낮은 곳들은 마치 산마루와 골짜기처럼 보이지 않습니까? 그래서, 이름을 파동의 ‘마루’, ‘골’ 이라고 합니다. 중고등학교 때 배운 기억이 돌아오고 있나요?
그럼, 화살표로 표시한 길이를 뭐라고 하는지는 기억나시는지요? ‘파장’? ‘주기’? 영어로는 쉬운데.. wavelength 라고 합니다. ‘파의 길이’ 정도의 느낌인데 우리말로는 한자말이라서 조금 어렵네요. ‘파장(波長)’ 입니다. 한자를 보면 ‘파의 길이’란 뜻이네요. 지금은 사진을 찍어둔것이니까 이게 파의 길이입니다. 파가 최소로 반복되는 길이입니다.
그다음 남은 용어는 ‘진폭’입니다. 마루에서 골까지의 높낮이를 진폭이라고 하면 편할 듯한데, 그 길이의 절반입니다.
위 그래프에서는 x축(y=0)부터 마루까지 거리 또는 x축(y=0)부터 골까지의 거리를 진폭이라고 합니다. 이렇게 절반으로 정의를 해야 A 는 진폭이다라고 말하기 쉽거든요. $y (x, 0) = A \sin ( k x )$ 함수에서의 A 입니다.
이제는 정말 마지막입니다. 위 그래프로 볼 때 $\kappa$ 는 얼마일까요?
sin 함수는 $2 \pi$ 마다 반복됩니다. 위 그래프는 x가 4 가 커지면 반복됩니다. 좀 어려우면 숫자를 직접 넣어 봅시다. x=0 이면 y = sin 0 = 0 이 됩니다. x= 4 가 되면 y = sin (4 $\kappa$ ) = 0 이 됩니다. $4 \kappa = 2 \pi$ 그러니까, $\kappa = \pi /2$ 가 정답이겠네요.
그래프에서 4란 길이는 파장 이란 이름을 가졌습니다. 파장이 4가 아니라 $\lambda$ 라고 하면 $\kappa$ 는 얼마일까요? $k \cdot \lambda = 2 \pi$ 가 됩니다.
머리 아프니까 일단 여기까지만 해 둡시다.

눈에 띄게 색깔을 입힌 큰 점은 왜 그렸을까요?

이렇게 다시 그릴려고 표시한 것입니다. 보이시나요, 빨간 점은 아래위로만 움직일 뿐 좌우로 움직이지 않습니다. 이게 흔들고 있는 줄을 사진을 찍은 것을 생각하자는 것이었습니다. 줄이 옆으로 움직이는게 아니라 단순히 아래위로만 움직이는 것입니다. 그런데, 우리 눈에는 시간에 따라 좌 또는 우로 움직이는 것처럼도 보인다는 것이죠.
바닷가 파도를 생각해 봅시다. 파도가 막 밀려오지 않습니까? 사실은 물이 아래 위로만 움직이고 우리쪽으로 진행하지 않는다는 것입니다. ( 이건 개소리입니다. 파도는 파동은 맞지만 sin 함수가 아니기 때문에 좌우로도 움직입니다. 그러니까, 발밑에 물이 왔다가 갔다가 하는 것입니다.)
파동에서 좌우로 움직이는 것처럼 보이는 것은 다음에 설명하기로 하고, 지금은 색깔을 입힌 점들만 열심히 보자는 것입니다. sin 함수에서는 아래 위로만 움직이는 것은 분명합니다.

TV로 축구 중계를 보다가 파도타기 응원을 하는 것 보고 추가합니다. 파도타기 응원을 보면 축구장 관중들이 한번 일어났다 앉는 것을 볼 수 있습니다. 우리가 그 관중이라면 바로 옆사람이 일어나자 마자 나도 일어났다가 앉습니다. 내가 하는 것은 단지 일어났다가 앉는 움직이지만 전체적으로 보면 파도가 운동장을 한바퀴 도는 모습을 볼 수 있습니다. 사람이 직접 달려가는 것은 아니지만, 뭔가 달려가는 것을 볼 수 있습니다. 파동에서 움직임과 똑같은 현상입니다.

위치를 고정시키고 살펴 봅시다.

각 점의 색깔에 맞추어서 그래프의 색깔을 입혔습니다. 그냥 대충보고 ‘구불구불한 것들이 있네.’ 그러지 마시고 자세히 한 번 봐주세요. 색깔별로 함수가 다 다른게 보이나요? 시간 t = 0 일 때 빨간점, …., 보라색점 의 위치가 위의 그림과 같은 위치에 있나요? t= 0.5 일 때 각 색깔의 점들은 다 제자리에 있나요? 자꾸 들여다 보아야 익숙해집니다.

처음의 수식에서 x 에 0,1,2,3 를 넣어서 그린 그래프입니다.
그래프는 위에서 부터 순서대로 $y (0, t) = A \sin ( - \omega t)$ , $y (1, t) = A \sin ( \kappa - \omega t)$ , $y (2, t) = A \sin ( 2 \kappa - \omega t)$ , $y (3, t) = A \sin ( 3 \kappa - \omega t)$ 를 그린 것입니다.
$\kappa = \pi /2$ 인 것을 알고 있으니까, 다시 쓰면, $y (0, t) = A \sin ( - \omega t)$ , $y (1, t) = A \sin ( \pi /2 - \omega t)$ , $y (2, t) = A \sin ( \pi - \omega t)$ , $y (3, t) = A \sin ( (3/2) \pi - \omega t)$ 와 같습니다. 제대로 그려진 것인지 다시 한 번 확인해 보세요.
이것도 함수가 복잡한 것은 싫으니까, $y (0, t) = A \sin ( - \omega t)$ 만 봅시다. x=0 이니까, 빨간점을 보겠다는 것이고, 시간에 따라 위치가 어떻게 되는가를 보겠다는 것입니다. t= 0 일 때, 원점, t=0.5 일 때 골, t=1.0 일 때 원점, t=1.5일 때 마루에 있었던 것입니다.

이 그래프가 그대로 표현하고 있나요? 여기서는 시간에 따라 표현하는 것이라 여기서 가장 높은 곳을 마루, 가장 낮은 곳을 골이라고 하는지 아닌지는 불확실합니다. 마루와 골은 위치에 따라 설명할 때만 사용해서, 시간에 따라 설명할 때도 그렇게 표현하는지는 잘 모르겠습니다. 이런 이름은 약속인데 시간에 따라 변하는 것을 이렇게 약속했는지는 확실치 않네요. 하지만, 저는 여기서 편의를 위해서 마루와 골이라고 하겠습니다. 시간이 0,0.5,1.0,1.5 일 때, 원점, 마루, 원점, 골을 지나가네요. 이게 정확히 2[초]가 되면 다시 반복하고 있는 모양입니다. 이렇게 시간에 따라 반복될 때 이 시간을 뭐라고 부르나~~~요. 이건 많이 해보았던 겁니다. 스프링에 묶여 있던 물체, 단진자, 원운동…. .
네, ‘주기(period)’ 입니다. 앞에서 본 그래프도 sin 함수 모양이고 지금도 sin 함수 모양이지만, 언제는 주기라고 그러구 언제는 파장이라고 합니다. 그 차이는 바로 수평축이 무엇이냐에 달려있습니다. 지금처럼 수평축이 시간(t) 인 경우가 주기이고, 거리(x) 인 경우가 파장입니다. (중고등학교때 틀렸던 분들은 다시 한 번 잘 살펴보세요.) 지금은 빨간점이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 살펴보는 것입니다.
그 다음 질문은 ‘ $\omega$ 는 얼마일까요?’ 입니다. 앞에서 했던 것 처럼 t=0 일 때, $y (0, 0) = A \sin ( 0 ) = 0$ , t=2 일 때, $y (0, 0) = A \sin ( - 2 \omega ) = 0$ 은 $2 \omega = 2 \pi$ 이란 뜻이겠네요. ( $\pi$ 가 아니라 $2 \pi$ 마다 같은 모양이 반복됩니다. ) 정답은 $\omega = \pi$ 입니다. 주기가 2 대신 T 라고 하면 $T \cdot \omega = 2 \pi$ 입니다.
여기서 $y (0, t) = A \sin ( - \omega t)$ 에서 귀찮게 sin 안에 (-) 가 들어 있습니다. 애시당초 $y (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$ 라고 시작하는 바람에 이런 문제가 생겼는데, 생각하기 쉬우려면 t=0 일 때 보다는 t=1 부터 시작하면 그대로 sin 함수가 나오니까 잘 할 수 있겠죠?

sin 함수나 cos 함수나

금방 t=1 부터 시작하면 다시 sin 함수 모양이 나온다고 했는데, t=1.5부터 시작하면 cos 함수모양이 나올겁니다. 잘 알고 있다시피 sin 함수는 평행이동하면 cos 함수가 되고, cos함수는 평행이동하면 sin 함수가 됩니다. 그러니까, 제일 처음 sin 함수와 친해지자고 했는데, 그러고 나면 cos 함수로 써놓았다고 하더라도 무서울게 없습니다. 시작점만 달라질뿐 나머지는 같습니다. 시작점이란게 언제를 0초로 하고, 어디서 부터 거리를 측정하는가의 문제이므로, 물리적으로 파동이 sin 함수인지 cos 함수인지는 시작점을 어떻게 잡는가의 차이밖에는 없습니다. 파동함수는 sin 함수도 되지만, cos함수도 됩니다. t=0,x=0 일때 y=0 이라는 조건을 만족하는게 모양이 예뻐보여서 sin 함수를 쓰는 것 뿐입니다.

처음 함수를 다르게 표현해 볼까

$y (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$ 에 우리가 구한 값을 쓰면 $y (x, t) = A \sin ( (\pi /2) x - \pi t)$ 가 됩니다. 파장과 주기를 쉽게 알아 보려면 $y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( x/4 - t/2)$ 로 쓰면 어떨까요? x 를 4 로 나누고, t 를 1로 나눈 모양으로 표현하는 것입니다. x 가 4 만큼 더 커지면 sin 안의 값이 $2 \pi$ 가 더 커집니다. 또는 t가 2 만큼 더 커지면 sin 안의 값이 $2 \pi$ 더 커집니다. sin 안의 값이 $2 \pi$ 커질 때 마다 모양은 반복됩니다. 길이가 반복되는 값을 파장이라고 하고, 시간이 반복되는 값을 주기라고 합니다. 4 는 파장, 단위는 길이니까 [m], 2 는 주기, 단위는 [초] 가 될 겁니다.
앞에서 $k \cdot \lambda = 2 \pi$ , $T \cdot \omega = 2 \pi$ 라고 했습니다.
그러니까, $y (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$ 대신
$y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( x / \lambda - t / T))$ 라고 쓸 수 있습니다. 이 표현은 파장과 주기를 쉽게 찾을 수 있기 때문에 사용합니다.

이게 끝이 아니니 어렵네.

주기( $T$ )의 역수를 진동수 (frequency, $f$ ) 라고 합니다. 마찬가지로 파장( $\lambda$ )의 역수에도 이름을 붙였습니다. 파수(wavenumber)라고 합니다. 기호로는 $k$ 를 많이 씁니다. 진동수가 1초에 몇번이나 진동하는가에 대한 답이라면, 파수는 1m 에 몇번이나 진동하는가에 대한 답을 하려는 것입니다.
$2\pi / T$ 를 각진동수(angular frequency, $\omega$ ) 라고 하듯이 $2\pi / \lambda$ 를 각파수(angular wavenumber)라고 합니다. 기호로는 $\kappa$ 를 많이 씁니다. (앞에서 보았죠.)
$\omega = 2\pi f$ 가 되듯, $\kappa = 2\pi k$ 가 됩니다.
앞의 기호가 k 로 보였다면 다시 한번 확인하세요. 어떤 책에서는 $\kappa$ 대신 k 를 쓰기도 하는데, 헷갈리지 않으려면 각진동수 $\omega$ 가 그리스문자로 쓰고, 각파수도 그리스문자 $\kappa$ 로 쓰는게 좋습니다만, 그렇지 않은 책들이 많아요..ㅠ ㅠ

$y (x, t) = A \sin ( \kappa x - \omega t)$
$y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( x / \lambda - t / T))$
$y (x, t) = A \sin ( 2 \pi ( k \cdot x - f \cdot t))$
가 모두 같은 뜻입니다.

이제 그만 좀 합시다

뻥을 좀 섞으면 세상의 모든 함수는 sin과 cos 함수꼴로 나타낼 수 있다는 수학이 있습니다. (푸리에 변환) 그래서, 파동함수를 sin (또는 cos) 의 함수로 나타내는 법을 먼저 배워 두면, 모든 파동을 나타낼 수 있는 함수를 sin (또는 cos) 의 함수로 해석하겠다는 숨겨진 생각이 있습니다. 그래서, 먼저 sin 함수로 표현하는 법을 배우는데, 2개 변수함수라서 익숙하지 않습니다. 그리고는 다시 여러 정의들이 우르르 나옵니다. 그런데, 이게 어려운 내용이 아닙니다. 익숙하지 않아서 그런것입니다. 자꾸 보고, 자꾸 바꿔 써보고, 자꾸 값을 구해보면 구구단 같이 될 겁니다. 눈에 들어오기 쉬워라고 대칭적으로 비교하면서 써두었으니 다시 한 번 읽어 보십시오.

이것 만으로도 충분히 머리가 아프니 속력이야기는 다음에 하겠습니다. 파동의 중요한 성질과 (-)을 쓰게 된 이유를 알게 됩니다. 파동의 속력 바로가기