열린 면에서의 flux (1) - 수험생 물리

flux란 용어

flux 는 영어에서 흐름(flow)의 의미를 나타내는데, 이를 번역하는 선속(線束) 이란 단어에서 그런 의미가 없습니다. 선속은 오히려 선들의 묶음의 의미로 번역하고 있습니다. (속(束)은 묶다라는 의미) flux 를 다 이해하고 나면 그런 번역이 어느 정도는 받아들일만 하지만, 처음 접근하는 사람한테는 너무 이해하기 어려운 용어임에는 틀림 없습니다. electric flux 는 전속, 전기 선속, 전기 다발, magnetic flux 는 자속, 자기 선속, 자기 다발 이라고 번역합니다.

저는 흐름의 의미를 강조하기 위해서 flux 란 용어를 그대로 사용하겠습니다. 필요하신 분은 스스로 선속이라고 번역해서 읽으셔도 상관없습니다. 어차피 그 단어가 @# 라고 하더라도 상관없습니다. 우리에게 중요한 것은 그것이 ‘어떤 의미인가’이니까요.

flux 가 쓰이는 곳

이 용어가 드러나게 쓰이는 곳은 전기장과 자기장을 배울 때입니다. 전기장과 electric flux(전기선속), 자기장과 magnetic flux(자기선속)입니다만, 또, 전류밀도와 전류에도 숨겨져 쓰이고 있습니다. 그 뿐만 아니라, flux 개념을 쓸 곳이 많이 있는데, 하필이면 물리에서 명시적으로 처음 flux를 배우는게 가우스 법칙을 배울 때입니다. 가우스 법칙이 잘 이해가 안되는 분은 사실 flux를 제대로 이해하지 못했을 가능성이 큽니다. 가우스 법칙은 flux 개념이 가장 복잡하게 적용되고 있는 경우입니다.

flux를 좀 쉽게 이해해 보자.

이 글은 사실 거의 넉달째 고민하다가 시작하고 있습니다. 입체적 표현을 해야지 이해하기 좋은데, 제가 그림 솜씨가 나쁘고, 동영상을 만들기에는 아직 실력이 부족합니다. 그래도, 조금 나은 환경을 찾아서 이제는 설명을 시작해 볼까합니다.

먼저, 크게 두 부분으로 쪼개겠습니다. 닫힌 면에서의 flux 와 열린 면에서의 flux 입니다. 닫힌 면에서 flux는 열린 면 보다 더 생각할 것이 많기 때문에 어려울 수 밖에 없는데, 하필 가우스 법칙에서 electric flux (전속, 전기 선속, 전기 다발)는 닫힌 면에서의 flux 입니다. 교과서 흐름상 이게 먼저 나옵니다. 열린면의 flux 는 magnetic flux (자속, 자기 선속, 자기 다발)나 전류를 설명할 때 쓰입니다.

각 쓰임새은 그 때 이해하면 되고, 우리는 여기서 오로지 flux란 개념만을 먼저 알아 보려고 합니다. 그래서, 아주 쉬운 초등학교 때의 이야기부터 시작하겠습니다.

청사진 만들기

저는 초등학교때 감광지 위에 나뭇잎을 올려 놓고 빛을 빛추면 한참 뒤에 파란 사진을 얻는 실험을 배우고 직접해봤습니다. 지금도 이런 것을 하는지 모르겠는데, 저는 배운지 너무 오래 되어서 빛을 가린 부분이 파란색이었는지, 빛을 맞은 부분이 파란색이었는지도 기억이 안 나는 군요.ㅠㅠ

청사진 만들때 햇볕을 몇 분이나 쪼여 주었나요? 잘 기억은 안 나는데요. 아마 설명서에 5분쯤 쬐여 주면 청사진을 얻을 수 있을 것이다라고 했더라도, 그대로 잘 되지는 않았을 겁니다. 그 시간이 그리 중요하지는 않았습니다. 훨씬 더 긴 시간을 쬐여 주고 확실히 나뭇잎 모양을 얻을때까지 기다리면 되는 것이니까요.

그래도 빨리 끝내고 싶다면 정확한 최소 시간을 알고 있으면 좋은데, 설명서에 적힌 시간대로 빨리 끝내기가 쉽지 않았을 것니다. 아마도 설명서는 햇살이 쨍쨍한 날을 기준으로 최소시간을 적었을 가능성이 큰데요. 우리가 밖에 나가보면 구름낀 날도 있으니 쉽지 않지요. 하지만, flux에서는 구름 한 점 없는 날의 햇살을 기준으로 이야기를 하려고 합니다.

안타깝게 햇살이 쨍쨍한 날이라도 청사진 만들기는 그 시간이 일정하지 않습니다. 왜냐면 해는 시간에 따라 높이가 다르고, 계절에 따라 높이가 다릅니다. 여기서 높이가 다르다는 말은 정확히는 우리가 청사진을 땅바닥에 두었을 때 햇살이 빛추는 각도가 다르다는 것을 일상생활에서 표현하는 말입니다. 이 말을 바로 이해할 수 있는지 없는지에 따라 flux 란 개념을 알고 있는지 모르는지가 판명됩니다.

아~~ 시간이 다르겠구나 하시는 분은 가볍게 빨리 넘기시면 돼고, 왜~? 하시는 분은 이제부터 천천히 잘 따라오시면 됩니다. 저는 왜? 라고 생각하는 분을 위해 이 글을 준비했습니다.

빛의 세기

해가 정확하기 머리 위 수직에 있는 경우를 생각해 봅시다. 우리나라에서는 절대 있을 수 없는 현상이겠지만, flux를 생각하기에는 그런 경우가 가장 편합니다. 그림과 같이 감광지를 놓고 청사진을 땅바닥에 둔 경우입니다. 딱 5분 걸린다고 합시다.

만약, 두 배로 넓은 청사진은 몇 분이 걸릴까요? 5분? 10분? 아마도 초등학생도 5분이라고 할 것입니다. (이게 10분 걸린다고 생각하시는 분은 별도로 연락을 주십시오.) 그러니까, 청사진을 만들때 걸리는 시간은 햇살이 총 얼마 만큼 비추었는가가 아니라, 면적당 얼마만큼 비추는가가 중요합니다. 햇살의 양을 어떻게 잴까가 문제가 되는데, 우리는 햇살이 주는 에너지 양으로 대신하겠습니다.

햇살이 알갱이라고 생각하는 분은 한개당 에너지를 알면 알갱이의 갯수도 셀 수 있을 것입니다. 물론 햇살이 파동이라고 생각하시는 분은 이게 뭔말임니? 하시겠지만…

햇살이 청사진에 닿는 총에너지 양을 Q 라고 하고 특별히 머리 꼭대기에서 비출 때는 E 라고 합시다. 청사진의 넓이(면적)을 A 라고 하면 청사진을 만드는 데 걸린 시간은 E/A 가 얼마인가에 따라 결정될것입니다. E가 아니라 E/A 가 그 시간을 결정합니다. 그러니까, 우리가 청사진을 만드는데 걸린 시간을 알기 위해서는 햇살이 주는 에너지 양을 아는 것보다 단위 면적당 에너지양을 알아야 합니다. 빛의 세기는 E 가 아니라 E/A 가 크고 작은가를 말하는 것입니다.

예를 들면 햇살이 주는 에너지 E는 2J (엄청난 양인가요?), 청사진의 넓이 A는 0.01m^2
단위 면적당 에너지양, 이런 것도 어렵게 만들면 새로운 용어를 만들 수 있습니다. 햇살 밀도!!
장난 같지만 실제로 이런 유사한 개념을 지구과학시간에 태양상수라고 배웁니다.

좀 더 정확히는 E/A 는 빛의 노출량(dose) 라고 하고, 빛의 세기는 여기서 다시 시간을 나누게 됩니다. 그래서 태양상수의 단위는 J/m^2 이 아니라 W/m^2 가 됩니다. 편의상 빛의 노출량을 세기라고 표현하겠습니다.

각도의 영향을 받는다. (흐르는 양이 일정, 면은 평면일 때 flux)

이제는 감광지의 면적은 A로 고정시켜놓고 생각을 해봅시다. 시간도 5분이라고 정해놓고 봅시다. 계절과 시간에 따라 해의 높이가 달라지면 그것 때문에 청사진에 닿는 에너지 양이 E (= E/A * A )가 아니라는 점이 flux를 배우는데 있어 첫 장애물입니다. 청사진에 닿는 에너지 양을 Q 라고 합시다. 일단, 햇살이 머리 꼭대기에서 비출 때는 Q = E 가 맞습니다.

햇살의 각도가 바뀌더라도 청사진 만드는 데 걸리는 시간이 달라지지 않을 거란 생각을 하는 분은 아래의 경우의 그림자를 생각하기 때문입니다. 아래 동영상에서 햇살의 각도가 바뀌더라도 그림자의 크기에는 전혀 변화가 없습니다. 아무리 각도가 바뀌더라도 청사진 면적과 그림자의 면적은 같고, 그림자 면적은 A 이고, 햇살의 세기는 E/A 로 바뀔 일이 없으므로, 햇살이 감광지에 주는 에너지 양 Q 는 E(=E/A * A) 와 같을 거라고 생각하고 있을 것입니다.

하지만, 이것을 제대로 생각하려면 다음과 같은 동영상을 생각해야합니다. 청사진을 만드는 데 같은 조건이라면 햇살의 각도가 바뀔 때 청사진의 각도도 항상 햇살의 방향에 따라서 바꿔주는 경우입니다. 감광지가 받는 에너지 Q = E 가 되는 경우입니다. 이런 경우라면 그림자의 크기가 처음보다 훨씬 커지는 것을 볼 수 있습니다. E 만큼의 에너지가 훨씬 넓은 그림자 넓이(B) 만큼을 비추고 있습니다.(B>A) 햇살의 세기는 E/A 로 변화는 없지만 땅바닥에 도착한 빛은 햇살이 기울어지면서 점점 약하게 비추게 된다고 생각할 수 있습니다. (E/B < E/A ) 각도를 바꿔주는 감광지는 E/A 의 세기의 빛을 받지만, 땅바닥에 놓인 청사진은 E/B 의 세기로 빛을 받게 됩니다.

처음 동영상에서 그림자만 보기 때문에 놓친 것이 하나 있는데, 감광지를 비추는 햇살의 폭이 점점 바뀌고 있다는 사실입니다. 그림자는 똑같은 넓이이지만, 햇살의 폭은 점점 줄어 들고 있다는 것입니다.각도가 기울면서 햇살의 세기는 여전히 E/A 이지만, 햇살의 폭이 줄어서 감광지가 받는 에너지 Q 양이 점점 줄어들고 있습니다. ( 다시 한번 보신 다면 햇살이 어떻게 되는지를 꼭 확인하십시오.) 결국 아래와 같은 경우라면 감광지에는 햇살이 전혀 닿지 않게 됩니다.

결론적으로 햇살 비추는 각도가 기울게 되면 땅에 놓인 감광지에 도달 한 에너지 양 Q 도 바뀌게 되고 청사진 면적 A 에는 머리 꼭대기에서 비출때 받던 E 만큼의 양이 도달 하지 않습니다. 아래와 같은 관계를 가지게 됩니다.

$Q = (E/A) \times A \times \cos \theta ( = E \cos \theta )$

이 양을 생각하는 방법은 두 가지 다른 길이 있습니다. 사람 마다 생각하는 방식이 다르기 때문에 편한 쪽으로 생각하시면 됩니다. 예를 들면 아래 와 같습니다.

* 햇살의 세기는 땅에 도착할 때 효과는 달라진다. 땅에 수직으로 도착한 경우 그대로 E/A 유지 할 수 있지만, 각도가 기울어지면 땅에 도착할 때 $(E/A) (\cos \theta)$ 로 약하게 되므로, 면적 A 인 감광지가 받게 되는 빛의 양 Q 는 $(E/A) (\cos \theta) \times A$ 가 된다.

* 햇살은 머리꼭대기에 있을 때나 기울어 질 때나 항상 E/A 의 세기로 비추고 있는데, 감광지가 기울어졌기 때문에 A 만큼 빛을 받지 못하고 $A \cos \theta$ 만큼 받게 된다. 그러므로, 감광지에 받게 되는 빛의 양 Q 는 $(E/A) \times (A \cos \theta)$ 가 된다. (저는 이쪽이 쉬워서 위쪽의 표현이 잘 안나오네요.)

그림에서 E/A 를 J라고 하기로 하고 그린 것입니다.

갑자기 $\cos \theta$ 의 등장해서 놀라셨지요. $\cos \theta$ 는 방향을 어떻게 정의하는가에 따라 사실 $\sin \theta$ 가 될 수도 있고, $- \cos \theta$ 도 될 수 있는 것입니다. 그러니까 방향을 정할 때 교과서대로 하지 않는다면 전혀 다른 식을 얻게 되니 주의를 요합니다. 결론부터 이야기 하는 이유는 교과서와 같은 결론을 얻는데 필요한 방향 정하는 법도 할 얘기가 많기 때문입니다.

방향을 정하는 법

햇살의 세기 (E/A) 의 방향을 정하는 것은 쉽습니다. 해가 그림자를 만드는 방향대로 비추고 있고 그 방향이 햇살의 세기 방향입니다. 문제는 감광지의 방향입니다.

넓이가 방향이 있다니!! 일단 이게 문제입니다. 이게 생전 처음 들어 보는 이야기입니다. 그냥 숫자인데 방향이 있다고 하는 것이 이해가 안될 것입니다. 이렇게 넓이에 방향의 개념을 도입하는 이유를 알아 봅시다.

우리가 궁금해 하는 감광지에 도달한 빛의 양 Q 는 분명 방향이 없는 양입니다. 그런데, 햇살의 세기 E/A 를 다시 J 라고 할 때 이 J가 방향이 있는 양입니다. 이제는 J 를 이제 벡터 $\vec{J}$ 라고 합시다. 감광지의 넓이 A 뿐만 아니라, 감광지의 방향에 따라 빛이 도달한 양 Q 이 달라지므로, 단순히 이제는 그냥 크기가 A 가 아니라 감광지도 벡터 $\vec{A}$ 로 생각해 보자는 것입니다.

$\vec{A}$ 의 방향은 빛을 받으면 색깔이 바뀌는 면(앞면)과 반대면(뒷면) 이 있을 수 있습니다. 이 둘 중의 하나를 쓰자는 게 교과서 생각입니다. (만약에 이 벡터를 감광지위에 있는 화살표로 생각하면 이제 식은 교과서와 달라집니다.)
그러면, 위에서 표현한 감광지에 도달한 빛의 양 $Q = \vec{J} \cdot \vec{A}$ 로 벡터의 내적으로 표현할 수 있습니다. 특히나 Q 가 (+) 가 되려면 감광지 뒷면에서 그림자로 가는 방향을 잡아야 합니다.

그러면, $\vec{J}$ 와 $\vec{A}$ 가 이루는 각도 $\theta$ 가 위에서 햇살이 감광지 위에 놓인 각도입니다. 수학적으로도 벡터에서 배운 내적과도 결과가 같아집니다.

머리위에서 빛을 비출 때는 $\vec{J}$ 와 $\vec{A}$ 는 나란하고, 그러면 Q = J * A = E/A * A = E 로 앞에서 말한 것과 같습니다.
감광지 옆에서 빛을 비출 때는 $\vec{J}$ 와 $\vec{A}$ 는 서로 수직이고, Q = 0 이 됩니다.
중간 쯤에 있을 때는 $Q = \vec{J} \cdot \vec{A}= (E/A) A \cos \theta = E \cos \theta$ 가 됩니다.

제가 교과서에서는 설명하는 것과 반대의 순서로 설명했지만 결론은 같게 됩니다. 그러니까, 넓이도 방향이 있는 벡터로 쓰면 Q 를 손쉽게 수학으로 표현할 수 있기 때문에 flux 개념을 다룰 때는 특별히 넓이를 방향을 가진 벡터량으로 취급합니다.

$\vec{J}$ 는 빛이 흘러가는 방향과 빛의 세기를 표현하고 있고, 감광지의 방향에 따라 도착하는 빛의 양이 달라지는 특성을 반영하기 위해 ‘방향을 가진 넓이’ $\vec{A}$ 를 생각하면 도착하는 빛의 양 Q 는 두 벡터의 내적으로 구할 수 있고, 빛이 표면 위로 흘러가는 것을 나타내는 양이 됩니다. 이 Q 가 바로 flux 입니다.

뭔가 흘러가는 양이 있는데, 흘러가는 양보다는 어떤 면에 도착하는 양에 더 관심을 가지고 있을 때, 면에 도착하는 양을 flux 라고 합니다. 흘러간다는 표현이 더 적합한 것은 물의 흐름입니다.

물의 흐름에서 flux

조금 감이 잡히나요? 흘러가는 물에서 설명하겠습니다. 물이 개울을 흘러갑니다. 개울의 흘러가는 물은 속도가 $\vec{v}$ 라고 합시다. 여기에 뜰채를 넣습니다. 뜰채의 테두리 안에 들어가는 물의 양은 얼마인가를 알고 싶다면 바로 flux에 대해서 궁금해 하는 것입니다. 뜰채도 마찬가지고 방향을 가진 양을 임의로 도입하면 쉽게 그양을 구할 수 있습니다. 뜰채의 넓이는 A 이고, 방향은 앞뒤가 있겠지만, flux 양이 (+) 이 될 수 있는 면을 뜰채의 방향이라고 합시다. 그리고, $\vec{A}$ 라고 방향이 있는 넓이를 새로운 양으로 도입하는 것입니다.

0도, 30도, 90도를 기울였을 때

flux 양 $Q = \vec{v} \cdot \vec{A}$ 여기서 점은 그냥 곱하라는 뜻이 아니라, 벡터의 내적을 구해라는 것입니다. 속도는 시간당 물의 이동 거리이므로, 이 flux 양은 시간당 물의 이동거리 * 뜰채 넓이 = 시간당 물이 뜰채를 지나간 부피 가 됩니다.

궁금해 하는 것이 ‘물이 뜰채를 지나간 시간당 질량이다.’ 그러면, 위의 값에다가 밀도( $\rho$ )를 곱하면 되니까, 흘러가는 양을 속도 $\vec{v}$ 를 쓰는 대신 $\vec{J} = \rho \vec{v}$ 를 쓰면 되겠네요. 만약 교과서에서 쓴다면 처음에 $\vec{J} = \rho \vec{v}$ 란게 있는데, 여기서 flux 를 구하면 시간당 뜰채를 지나간 물의 질량을 알 수 있다고 하겠지만, 사실은 다 앞뒤를 맞춰둔 것입니다. 여기서 왜 여기서 이렇게 정의하지 하고 어리둥절하겠지만, 그냥 편하게 살자는 단순한 생각입니다.

flux (선속)

이렇듯, 어떤 흘러가는 양이 어떤 면적을 지나간 것이 얼마인가를 궁금해 할 때 쓰는 것이 flux 입니다. 딱히 어디 정해 놓고 쓰는게 아니라 그 때 그 때 비슷한 개념이 필요하면 쓰게 됩니다. 전류와 전류밀도라든지, 전기장과 전기다발(electric flux), 자기장과 자기다발(magnetic flux) ……

앞에서 예를 든 청사진 만들기 같은 경우는 태양광 발전을 할 때 햇빛과 태양광 패널에서도 써먹으면 됩니다. 그러니까, flux 는 딱 이것이고 저것은 아니다라고 말하는 개념이 아니라 여기~저기~ 써먹을 수 있으면 적용되는 개념입니다.

넓이에다가 방향 개념을 집어넣어서 벡터로 만들어 버리면 궁금해 하는 양(flux)을 수학적으로 쉽게 표현할 수 있겠다라는 생각이 들어있는데 처음에는 좀 억지스럽게 느껴지지요.

그 다음은 이제 흘러가는 양이 일정하지 않거나, 궁금해 하는 면적이 평면이 아니라 곡면을 이루는 경우입니다. 좀 쉬었다 가야겠습니다. 열린 면에서의 flux (2) 를 쓰면 링크를 달아 두겠습니다. (읽는 데 몇 분 안 걸렸겠지만, 자료 준비하느라 며칠이 지났습니다 . ㅠㅠ )

열린 면에서의 flux (2)