열린 면에서의 flux (1)에서 연속된 글입니다.
열린 면에서의 flux (1)에서는 흐름이 일정한 곳에서 어떤 평면에 들어가는 양에 관심을 가질 때 flux 란 개념을 쓸 수 있고, 어떻게 값을 구하는지를 살펴보았습니다. 이제는 흐름이 일정하지 않을 때, 평면이 아니라 곡면일 때 어떻게 다룰 것인지를 살펴보려합니다. 이제는 좀 더 수학적 도구를 잘 사용하려는 데 목적이 있습니다.
흐름이 일정하지 않은 곳의 평면
이제 개념을 좀 더 엄밀히 살펴볼 텐데요. 아래그림은 어떤 관을 지나는 물의 흐름이 있는 곳에서 뜰채를 그린 것입니다.
물이 흐르는 관이 갑자기 좁아지면 물의 흐름이 더 빨라지는 것은 잘 알고 계시죠? 굳이 유체역학을 동원하지 않더라 세수하다 수도꼭지에서 나오는 물을 손가락으로 반쯤만 막아도 물이 더 세게 나오는 것은 경험을 통해서 잘 알고 있을 것이라고 생각합니다. 관의 폭이 넓은 곳에서 보다 좁은 곳에서 훨씬 물의 속력이 더 빨라지는데요. 입체적 그림이 그리기 어려워서 이제는 평면으로 옮겨 그리고 설명하려고 합니다.
입체로 그린 관의 한 가운데를 기준으로 싹둑 잘라서 그리면 위의 그림처럼 될 것입니다. 세부분의 영역으로 쪼개어서 왼쪽 부분이나 오른쪽 부분에서 생각하는 법은 앞에서 설명을 잘 드렸습니다. 그런데, 그 때에 개념을 더 중시하다보니 대충 설명드린 것이 있습니다. 왼쪽, 오른쪽 부분에서는 그 부분 내에서는 어디든 물의 속도는 일정하여 화살표 즉, 벡터표시를 대충 그렸습니다. 물의 속도를 모든 부분에다가 표시하면 온통화살표만 보여서 아무것도 알아볼 수 없기 때문에 관심 있는 부분만을 그린 것인데요. 아래처럼 좀 더 화살표를 더 그리려면 왼쪽 부분 모두 같은 크기와 방향을 그리면 됩니다. (이것도 듬성듬성 그린 것입니다.) 일반적인 벡터표시에 쓰이는 화살표보다 점이 하나 더 붙어 있는데, 그 점이 화살표가 표시하고자 하는 곳이 어디인지를 나타내는 곳입니다.
초록색으로 표시한 것처럼, 평면에서 flux양을 구할 때, 내적해야하는 흐름에 해당하는 벡터는 평면에 해당하는 값을 구하면 되는데, 그림처럼 같은 영역에서 흐름이 일정할 때는 굳이 그 평면에 해당하지 않더라도 값이 같아서 대충그렸던 것입니다.
하지만, 가운데 영역에서는 위치마다 화살표의 방향과 크기가 다 다를 수 있습니다. 그러면 어떤 화살표를 사용해야하는가를 신경써야합니다. 결국, 관심을 가지는 평면에서의 흐름값을 써야합니다. 평면마다 흐름에 해당하는 값이 조금씩 다를 때는 어떻게 처리하면 될까요?
지금 그림은 벡터의 방향과 크기가 평면의 일정 부분에서는 같을 때, 같은 것끼리 쪼개어서 생각하면 됩니다. 이런 식으로 생각하면 벡터의 방향과 크기가 평면의 쪼갠 부분마다 다 제 각각이더라도 제 각각 마다 쪼개어서 생각하면 결과를 알 수 있습니다. 이게 우리가 적분을 처음 배울 때, x축을 잘게 쪼개어 값을 구한뒤 다시 합쳐서 생각하는 것과 똑같이 설명하고 있는 것입니다. 어떤 함수 
곡면에서 flux
이제는 관심을 가진 면을 잘게 쪼개어 생각하면 된다고 알았기 때문에 곡면이라도 계산을 어떻게 하면 되는지는 알게 되었습니다. 아래 그림은 흐름의 벡터가 제 각각일 뿐만 아니라 곡면의 방향도 제 각각인데요, 그렇더라도 각 면을 쪼개어 생각하면 됩니다. 그리고 여전히 흐름의 벡터는 면에서의 값을 써야한다는 것도 잊으면 안됩니다.
개념은 확실해졌지만, 이 값을 정말로 구해라 그러면 이건 쉬운 문제가 아닙니다. 대충 몇개의 평면과 대충은 비슷비슷한 흐름을 가진 경우에나 손으로 계산이 가능하지, 정말 구불구불한 곡면인 경우에 흐름도 제각각이면 이건 컴퓨터를 동원해서 일일이 각 값을 구하여 더하는 수 밖에는 없습니다. 그것 보다 조금 나은 경우가 곡면이 수학적으로 명확히 알려진 원통, 구, 뿔모양 이런 것들일 텐데요. 물리학 개론을 공부하는 대학 1학년의 경우, 이런 것을 처리하기 쉬운 어려운 수학들을 배운 바 없기 때문에 x,y,z 만을 사용해서 그 값을 구하려고 하면 그것은 정말 고통입니다. 저도 그런 방법으로 구하라고 하면 계산 열심히 하다가 펜을 집어던질지도 모릅니다.ㅋㅋ
이런 말도 곡면의 방향이 잘 상상이 되는 사람들에게 적용가능한 이야기입니다. 제 경험으로는 입체에서 방향을 따지는 문제에 대해서 상상 자체가 잘 안되는 것이 일반적이더군요. 물리하는 사람들이 그런 사람들을 위해 입체적인 모양을 알려주어야 하는데, 기존의 책에서는 한계가 있지요. 요즘은 기술들이 좋아져서 컴퓨터에서 입체적 그림을 그리는 것이 좀 쉬워졌습니다. (그래도, 이렇게 하려고 한시간 이상 시간을 들였어요. ㅠㅠ )
아래는 반구에서 각 위치 별 면의 방향입니다. 열린 면이라고 했기 때문에 앞뒤가 있고, (앞이냐 뒤냐는 여러분이 정하는 것입니다.) 그 중의 한면을 그린 것입니다.
잘 돌려가면서 살펴 보십시오. 까만 점 하나가 있을텐데, 그게 구였다면 중심이었을 위치입니다. 열린 면에서는 앞뒤가 있으니까 반대편 방향도 그렸습니다. 이 그림이 위의 그림과 비교해서, 크기는 같고 방향이 반대 방향인 벡터를 그린 것입니다. (모든 위치에서 그리면 아무것도 알아 볼 수 없어서 위치는 듬성 듬성하게 그린 것입니다. 그것도 잊지말기를)
대략 여기까지 하면 자기장에서 패러데이 법칙같은거 쓸데 사용하는 flux 에 대해서는 문제를 풀수가 있을 것입니다. 하지만, 전기장이나 자기장에서는 닫힌면에서의 flux에 대해서 알아야 가우스법칙을 적용할 수 있기 때문에 그 다음 내용도 알아야합니다. 다음은 닫힌면에서의 flux 에 대해서 올리겠습니다.
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