** 이글이 어느새 구글 검색 상위에 올라가 버려 찾는 사람이 많이 늘었습니다. 이 내용은 학문적 근거가 있는게 아니라 여러분의 이해를 위해 개인적 해석입니다. 학문적 이유에 대해서는 호도법의 의의에 대한 고찰 및 학습지도방안 탐색 가 참고할 만합니다. 각을 반지름과 호의 길이의 비로 표현할 수 있다는 게 유클리드 기하학에서만 적용가능하다는 말이 있더군요. 제가 비유클리드 기하학을 잘 몰라서 그곳에서는 각을 어떻게 다루고 있는지를 잘 모릅니다. 죄송~
이과(자연계) 전공의 학생들에게는 radian이 익숙할 것이지만 잠깐 radian이란 단위를 사용하는 이유를 살펴봅시다.
각도를 표시하는 법
각도를 표시하는 방법이 여러가지가 있을 수 있겠지만, 대략 3가지 정도가 생각납니다.
첫째로는 ‘물체가 한바퀴를 돌았다.’ ‘1/2바퀴 돌았다.” ‘1/4바퀴 돌았다’라고 해서, 몇 바퀴 돌았다로 표시하는 방법입니다. 바퀴대신 회전수라고도 합니다. 우리 말에 바퀴(회전수)에 해당하는 말을 영어로는 revolution 이라고 합니다.
revolution 을 혁명이라고만 알고 있다면 문과생일 가능성이 크지요.
두번째는 °(도)란 단위인데, 한 바퀴를 360° 라고 정해두어 표시하는 방법입니다. 60분법, 각도법 등의 이름으로 불리우는 방법입니다. 도에 해당하는 값은 1/4바퀴는 360°/4 로 90° 가 됩니다. 우리말의 도는 영어로 degree 라고 합니다.
세번째는 rad(라디안)이란 단위인데, 한 바퀴가 2π rad (라디안) 이라고도 표시하는 방법입니다. 라디안(radian)은 각을 이루는 호의 길이와 반지름의 길이의 비로 표시하기로 한 방법입니다. 각이 커지면 정비례하여 호의 길이가 길어집니다 완전히 한바퀴를 도는 원의 경우 호의 길이가 원주(둘레)가되므로 원주/반지름은 2π 가 됩니다. 호도법이란 이름으로 불리우는 방법입니다. 영어철자는 radian 입니다.
π 는 둘레와 지름의 비입니다. 모든 원은 둘레와 지름의 비가 일정한 값을 가지고 있는데, 딱떨어지는 숫자(분수로 표시할 수 있는 숫자)가 아니라서 정확히 말하고 싶을 때 π라고 하지만, 그냥 숫자입니다.
결국, 한바퀴는 1 rev = 360 ° = 2π rad .
한 바퀴보다 작은 각도는 원에 비례해서 나누어 주면 됩니다.
어떤 분야에서는 좀 다른 양을 쓰는 경우가 있습니다. 경사로의 기울어짐을 표시할 때 경사도(%)를 쓰기도 합니다. 이 때는 부채꼴을 생각하지 않고 직각삼각형을 생각하여 밑변과 높이의 비를 사용합니다.
각을 radian으로 쓰는 이유
라디안은 결국 길이의 비 이기 때문에 결국 이 값은 그냥 숫자입니다. 길이와 길이의 비 즉, 길이 차원과 길이 차원의 비가 되기 때문에 차원이 없는 양 (dimensless) 이 됩니다. 이렇게 차원 없는 양으로 만들면, 그냥 숫자와 같은 것이 되어 각종 계산에서 차원, 단위 문제를 신경쓸 필요가 없게 됩니다. 차원이 없는 양 즉, 단위가 붙지 않는 숫자로 취급하지 않으면 얼마나 불편한지는 다음의 예를 보면 됩니다.
x가 0 (0°)근방일 때 값은 \(\sin \)값은 우리가 평소 사용하던 호도법,라디안을 이용하면
\[ \frac{d \sin x}{d x } \approx 1 \]
이지만 60분법(각도법)을 이용하면
\[ \frac{d \sin x^°}{d x °} \approx \frac {\pi}{180°} \]
상세한 설명은 https://wikidocs.net/4094 참조.
이 되어 복잡해집니다.
또한 \( \sin x \)은 아래 값과 비슷하다는 게 알려져 있습니다. (Taylor 전개)
\[ \sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \cdots \]
하지만, 각도 단위를 쓰게 되면 아래와 같이 아주 복잡한 모양이 됩니다.
\[ \sin x^∘ = \frac{\pi}{180}x^{∘} – \frac{\pi^3}{5832000} \frac{x^{∘3}}{3!}+ \frac{\pi^5}{188956800000}\frac{x^{∘5}}{5!} – \cdots \]
이 예제는 https://www.quora.com/Why-is-the-radian-measure-used-more-than-the-degree-What-is-wrong-with-degrees에서 가져왔습니다.
각도를 표시하는 방법으로 호도법/라디안(radian)을 쓰는 것 즉, 각의 단위로 rad을 쓰는 것은 너무나 당연시 하기 때문에 다른 말이 없으면 radian 이구나 하고 생각하면 됩니다. dimensionless 이므로 혹시나 단위 표현에서 radian이란 단위를 표시하지 않더라도 당연히 radian 방식으로 각을 표현하고 있구나 생각하면 됩니다. [rad]란 단위를 표시하더라도 ‘이것은 [°]가 아니라 숫자야’란 뜻이 강합니다. 심지어 단위를 붙이지 않았다고 해서 틀렸다고 이야기하기 어렵습니다. 오히려 다음과 같은 식에서는 안 쓰는게 더 당연한 결과를 만들어 줍니다. \( v = r \omega \) 란 관계식에서 반지름 \(r = 5[m] \) , 각속도 \( \omega = 1 [rad/s] \) 라면, 속력의 단위는 [m/s] 이니 속력 \(v = 5 [m/s] \)라고 쓰면 되지 \( 5 [m \cdot rad/s] \)라고 하는 것이 더 이상합니다.
참고 – 차원이 없는 양 (dimensionless)
차원이 없는 양에 관심있는 분을 위해
60분법(각도법) 쓴다는 것(°란 단위를 쓰는 것)은 각을 별도의 차원이 가진 양으로 다루는 겠다는 뜻이고, 호도법을 쓴다는 것( rad란 단위를 쓰는 것)은 각을 별도의 고유한 차원으로 다루지 않는다 뜻을 가지고 있습니다. 이렇게 차원없는(dimensionless) 양 (즉, 그냥 숫자 취급하는 것)은 아주 자연 스럽게 얻어지기도 합니다. 온도에 따른 변화 현상에는 \( e^{-E/kT} \) 관계식이 많이 들어 있습니다. (E 는 에너지, k 볼츠만 상수, T 는 온도, e 는 자연 상수) \( E/ kT \) 부분도 이미 차원이 없는 양입니다. \( E \) 도, \( kT \) 도 에너지의 차원을 가진 양으로 두개를 나눈 값은 당연히 차원이 없는 숫자입니다. e의 지수 부분이 그냥 숫자라는 것이 놀라운 사실은 아니지요. 오히려 어떤 단위를 가지고 있다면 더 놀라운 일이 되겠지요. ( \( e^{5m} \) 것은 너무나 이상한 뜻이 됩니다.) 그렇다면, 오히려 sin 함수 안에 숫자가 있는게 더 당연한 것이 아닐까요? 즉, sin 함수 안에 °라는 차원을 가진 양을 쓰는 거 보다, 그냥 숫자인 radian을 쓰는게 더 당연하지 않을까요?
각을 차원이 가진 량 대신 숫자로 만든것 처럼, 이미 차원을 가진 양도 이렇게 차원없는 양으로 기술할 수 있는 방법을 찾는다면 계산이 아주 편리한 경우가 많이 있습니다. 예를 들어 만유인력 상수를 1 로 쓴다든지 프랑크 상수를 1로 쓴다든지 하는 것입니다. 만유인력 상수, 프랑크 상수들이 어떤 복잡한 값을 가지고 있는 것은 1m, 1kg, 1s 란 단위들을 기본 단위로 삼았기 때문입니다. 평소와 배운것과 반대로 만유인력 상수가 1이 되도록, 혹은 프랑크 상수를 1 이 되도록 길이,질량, 시간의 기존의 모든 단위를 새롭게 정의하는 것이 불가능한 것은 아닙니다. 부작용은 다른 사람들이 알아 보지 못할 가능성이 크다는 것입니다. 따라서, 이런 일을 하려면 기본적으로 다른 사람들이 알아 들을 수 있는 표준적인 단위로 바꿔줄 수 있는 능력이 있어야지요. 현실속에서 계산 식이 복잡한 것을 많이 다루는 이론 물리 연구자들은 이렇게 차원없는 양을 많이 사용하여 1로 만드는 것을 좋아합니다.
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