열팽창 (thermal expansion)

열과 관련된 많은 물리 현상을 열현상이란 이름으로 정리해 두었습니다. 좀 쉬운 내용으로 Level 1 : https://www.physicstutor.kr/816 에서 열팽창
Level 5 : https://www.physicstutor.kr/1357 에서 열팽창
을 보시면 됩니다.

물리현상의 거의 대부분이 열, 온도와 관련되어 있는데 비해 교과서에 나오는 주제는 몇 가지에 한정되어 있습니다.
그럼 왜 많은 현상 중에서 열팽창을 소개했을까라는 생각이 들어 가만히 생각해보았습니다. 아무래도 열역학의 중요한 주제인 이상기체에서 기체의 부피가 온도에 따라 변한다는 사실이 아주 중요하기 때문인 것으로 보입니다. 그러니, 기체의 부피가 온도에 따라 변하듯, 액체나 고체의 부피도 온도에 따라 변한다는 것은 언급해두어야 할 것 같기 때문아닐까 싶습니다.

온도에 따라 부피가 변하면 고체의 경우 길이도 달라지겠지만, 유체(액체나 기체)인 경우에는 담고 있는 용기의 모양에 의존하기 때문에 길이를 이야기 하는 것은 아주 부적절합니다. 그래서, 밑에서 말하는 내용은 고체에 한정된 이야기라고 생각하면 됩니다. 물론 액체도 유사한 일이 일어나겠지만 길이와 같은 개념은 쓰기 어렵겠지요.

선팽창 계수 ( coefficient of linear expansion)

대부분의 고체는 온도( \( T \) )가 변하면 길이( \( L \) )가 변합니다. ( \( L = f(T) \) )

일반적으로 온도가 올라가면 길이가 늘어납니다. ( \( \frac{dL}{dT} = \frac{df(T)}{dT} > 0 \) )

기호를 만들어서 표현해 봅시다.

온도가 \( T_1 \)에서 \( T_2 \)로 변할 때, 길이가 \( L_1 \)가 \( L_2 \)로 변했다고 합시다.
그러면 온도의 변화량 \( \Delta T = T_2 – T_1 \) 과 길이의 변화량 \( \Delta L = L_2 – L_1 \)는
서로 연관관계를 가지고 있을 것입니다. 아주 복잡한 모양을 가질 수도 있지만 근사값으로는
\( \frac {\Delta L }{\Delta T} > 0 \) 이 될 것입니다. ( \( \frac {\Delta L }{\Delta T} \approx \frac{dL}{dT} = \frac{df(T)}{dT} > 0 \) )

\( \frac {\Delta L }{\Delta T} = k (> 0) \) )즉 \( \Delta L = k \cdot \Delta T (k>0)\) 라는 식의 관계가 있으면 그냥 쉽게 넘어 갈텐데, 선팽창계수는 이것과는 모양이 다릅니다. 그래서, 무슨 일이 일어나길래 교과서에서 선팽창계수를 표현하는 식이 나왔는지를 살펴보려고 합니다.

금속자가 온도가 올라갔을 때, 늘어나는 양을 잘 살펴봅시다.
그림 1.에서 위 그림과 같이 금속자의 일부분이 늘어 나는 것이 아니라, 아래 부분처럼 모든 부분에서 일정하게 늘어나는 게 정상이라고 생각되지요?

그러면 그림 2-1의 네모난 자가 늘어나는 현상도 좌우 뿐만 아니라 위아래로도 늘어 나야 할 것입니다. 그림 2-2처럼 가운데가 뚫린 자가 늘어 나는 모양도 이해가 될 것입니다.

그렇다면 그림 3-1,3-2 처럼, 온도 변화에 따른 모양 변화도 이해가 되므로, 3-3 처럼 동그랗게 구멍을 뚫은 쇠모양이 있을 때, 둥근판 a 는 그대로 두고, 도너츠 모양 판 b 만 가열하면 a 가 b를 통과할 수 있는지 없는지에 대한 답은 명확히 할 수 있을 것입니다. (3-4 가 맞을지 3-5가 맞을지)

이렇게 그림을 그리지 않고 상상을 하면, 3-5처럼, 가열하면 a가 통과 못할 것 같은 느낌이 드는 건 여러분만 그런게 아닙니다. 저도 그런 느낌을 받습니다. 위에서 3-2 와 3-4 그림처럼 그림을 그리고, 생각을 해보면 당연히 a가 통과 할 수 있다고 ‘생각’은 되지만, ‘느낌’은 a가 통과못할 것만 같습니다. 분명 이런 착각을 하게 되는
심리학적 이유가 있을 것 같은데 … 이유는 잘 모르겠습니다.

이렇게 온도에 따라 물체가 늘어나는 것은 어느 일부분이 아니라 모든 부분에서 일정하게 늘어난다는 것을 숫자로 써봅시시다. 예를 들어 물체의 온도가 올라가면 1m 짜리가 1cm 늘어 난다고 하면, 2m 물체는 2cm 늘어난다는 것이 바른 생각일 것입니다. ( \( L_a\) 는 \(\Delta L_a\ \)늘어 나고 \( L_b\) 는 \(\Delta L_b\ \)늘어 났다.)

즉, 온도가 올라가면 늘어난 길이와 원래 길이의 비율이 1% (=1cm/1m =2cm/2m) 로 일정하다는 생각입니다. ( \( \frac{\Delta L_a\ }{L_a } = \frac{\Delta L_b\ }{ L_b } \) 이 일정)

교과서에서 선팽창계수를 소개할 때 나오는 열팽창 현상(온도가 올라갈 때 길이가 늘어나는 현상)은 온도가 증가함에 따라 단순히 길이가 증가 (증가된 길이와 원래의 길이 비는 일정)할 뿐만 아니라, 온도가 올라갈수록 증가된 길이와 원래의 길이 비율도 늘어난다는 것을 이야기 하고 있습니다. ( \( \frac{\Delta L\ }{ L } = \alpha \cdot \Delta T (\alpha>0)\) )

온도가 100도 증가할 때, 1% 증가한다면, 200도 증가할 때 2% 증가한다는 뜻입니다. 온도 100도 증가할 때 1m가 1cm, 2m 가 2cm 늘어 났다면, 온도가 200도 증가할 때 1m 짜리는 2cm, 2m 짜리는 4cm 늘어난다는 것입니다.

그래서, 선팽창계수를 \(\alpha\) 라고 하면, \( \frac{\Delta L}{L} = \alpha \cdot \Delta T \) , 즉, \( \Delta L\ = \alpha \cdot L \cdot \Delta T \) 라고 교과서에 나온 것 처럼 쓸 수 있습니다.
일반적으로 \( \alpha \)는 0 보다 큽니다. 즉 온도에 올라가면 길이가 늘어 납니다. 그리고, 이것은 근사값이기 때문에 그 값도 온도에 따라 조금씩 다릅니다. ( 근사값을 쓰는 것은 대략의 현상을 말할 때 쓰는 것입니다. )

선팽창계수 \(\alpha\) 의 단위를 살펴보면 [ 1/K ]가 될 것입니다. \( \frac{\Delta L}{L} \) 이 이미 차원이 없는(dimensionless)량 이므로, 온도만이 단위에 영향을 주네요. 그리고, 1°C 나 1K 나 같은 간격이므로 [ 1/°C ] 라고 단위를 바꿔 써도 같은 값을 얻을 것입니다.

부피팽창계수 ( coefficient of volume expansion)

선팽창계수를 정의할 때 사용한 논리와 같은 논리를 적용하면 부피팽창계수를 얻을 수 있을 것입니다. 그 결과는
부피팽창계수를 \(\beta\) 라고 하면, \( \frac{\Delta V}{V} = \beta \cdot \Delta T \) , 즉, \( \Delta V\ = \beta \cdot V \cdot \Delta T \) 가 됩니다.

부피가 늘어나는 것이 고체의 길이가 늘어나는 것과 무관한 것이 아니므로 조금 자세히 따져 봅시다.
x,y,z 축으로 길이가 \( L_x, L_y, L_z \) 인 육면체의 고체의 부피 \( V = L_x \cdot L_y \cdot L_z\) 이 될 것입니다.
온도가 \( \Delta T \) 만큼 증가하여 각각의 길이가 \( \Delta L_x, \Delta L_y, \Delta L_z \)만큼 늘어 났다면,
부피는 \( V + \Delta V = ( L_x + \Delta L_x)(L_y + \Delta L_y)(L_z + \Delta L_z) \) \(= L_x \cdot L_y \cdot L_z (1+ \frac{\Delta L_x}{ L_x})(1+ \frac{\Delta L_y}{ L_y})(1+ \frac{\Delta L_z}{ L_z}) \) 이므로, 양변을 \( V = L_x \cdot L_y \cdot L_z\) 로 나누어 주면

\( 1+ \frac{\Delta V}{ V} = (1+ \frac{\Delta L_x}{ L_x})(1+ \frac{\Delta L_y}{ L_y})(1+ \frac{\Delta L_z}{ L_z}) \approx 1+\frac{\Delta L_x}{ L_x} + \frac{\Delta L_y}{ L_y} + \frac{\Delta L_x}{ L_y}\) 가 됩니다.

위의 네모 자를 볼 때 별로 의심하지 않은 것처럼 일반적으로 온도에 따라 길이가 늘어나는 현상은 모든 방향으로 똑같이 늘어날 것입니다. 앞에서 정의한 선팽창계수 \( \alpha \) 와 부피팽창계수 \( \beta \) 정의를 사용하고, 선팽창계수 \( \alpha \)가 모든 방향으로 똑같다는 생각을 도입하면, 위의 식은 아래와 같이 됩니다.
\( 1 + \beta \cdot \Delta T = 1 + \alpha \cdot \Delta T + \alpha \cdot \Delta T + \alpha \cdot \Delta T = 1 + 3 \alpha \cdot \Delta T\)

\( \beta = 3 \alpha \) 란 관계를 얻는 것이 이상한 것이 아닙니다.

널리 알려진 예외적 물질

온도가 증가하면 부피가 늘어난다고 알려져 있지만, 예외적 물질도 있을 것입니다. 그런 예외적인 물질이 워낙 유명한 물질이라 잠깐 다루고 넘어갑니다. 물은 4°C 가 부피가 가장 작다고 합니다. 그 말은 4°C 보다 온도가 높다면 부피가 더 크다는 것이니까 앞에서 배운 것과 같지만,
4°C 보다 작더라도 ( 에를 들어 2°C 라도 ) 부피가 더 크다는 말이므로, 이때는 온도가 올라가면 부피가 줄어드는 현상을 보게 된다는 것입니다. 그러니, 예외적 현상인데, 그 이유는 아마 널리 연구가 되어있을텐데 … 저는 잘 모릅니다. 그 이유에 대해 잘 정리된 자료있다면
제보를 부탁합니다.

그래서, 4°C 물보다는 0°C 물이 밀도가 더 작아서 표면으로 가게 될것이고, 얼음이 수면에서 먼저 어는 것에 크게 도움이 될 것입니다.

대략적인 값

생각하기 쉬워라고 큰 숫자를 불렀지만, 실제로는 선팽창계수 \( \alpha \) 와 부피팽창계수 \( \beta \)는 아주 작은 값입니다.
철의 \( \alpha \) 값이 대략 \( 11 \times 10^{-6} \)[1/K] 라고 합니다. 겨울 -10°C 에서 여름 40°C 가 되더라도 50°C(K) 차이 밖에 나지 않으므로, \( \frac{\Delta L}{L} = 50 \times 11 \times 10^{-6} \)이므로,
높이 10cm 짜리 철도 궤도의 철은 55 µm 밖에는 변하지 않습니다.
그러나, 길이 100m 에는 55mm 이므로 철도 궤도 간격에는 큰 영향을 줄것입니다.

선팽창계수가 의미가 있는 것은 철도 궤도나 건물 건축, 다리를 만드는 일등 아주 긴 물체를 다룰 일이 많이 있기 때문입니다. 짧은 쪽의 영향은 거의 무시해도 되지만 길이가 긴쪽에는 영향이 아주 크게 나타날 수 있기 때문입니다.

고체든 액체든 부피는 정말 얼마 차이 나지 않을 것입니다. 철의 경우, \( \beta = 3 \alpha \) 를 이용한다면 \( 33 \times 10^(-6) \) 정도 늘어납니다. 그러나, 기체에서는 샤를의 법칙에 따라 온도 250K 가 300K 로 50K 올라간다면 부피비도 250:300 으로 0.2 가 됩니다. 기체는 고체와 액체와 달리 온도에 따른 부피 변화를 무시할 수 없는 수준입니다.

정리

이렇게 이야기 주제를 따로 잡은 이유는 수식이 나오면 그냥 외우는데 주력하지 말고 그 뜻을 파악하는게 중요합니다. 그 뜻을 파악하고 그 뜻을 표현하는 식을 만들어 내는 능력을 키우는게 물리 공부하는 것인데… 아무래도 시험 공부하는 분에게 그런 걸 요구하는 것은 너무 큰 무리인가요? 아무런 근거도 없이 외는게 얼마나 오래갈까 싶어서 걱정스러워서 하는 소리입니다. 어쨋든 그 의미를 제대로 알면 기출 문제는 별로 어렵지 않습니다.

기출 문제 보기

공무원 7급 국가직 2007_물리학개론_공형 문제 15번
공무원 7급 국가직 2014_물리학개론_A형 문제 14번