베르누이 법칙에 관계식을 찾아내는 과정은 [유체 역학 기초 (외부강의)]에 있습니다. 제가 설명한다고 다를 바가 없으니 참조하십시오. 여기서는 이 식의 의미를 살펴보는데 집중하려고 합니다.
결과적으로 유체(이상적인 유체라는 가정이 있습니다.)에서 어느 한점의 압력을 \(p\), 유체의 밀도 \(\rho\), 유체의 속력을 \(v\), 어느 점을 기준으로 유체가 있는 높이 \(h\), 중력가속도 \(g\)라고 하면
\(p+\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h \)는 어느 점이든 일정하게 된다는 결과를 얻게 됩니다.
어느 한 점에는 1, 다른 한점에는 2 로 표시해 봅시다. 그러면
\(p_1+\frac{1}{2}\rho {v_1}^2 + \rho g h_1 = p_2+\frac{1}{2}\rho {v_2}^2 + \rho g h_2 \)
가 됩니다. 여기서 밀도 \( \rho \) 와 중력가속도 \(g\)는 유체의 위치랑은 상관없는 값이므로 1,2번 점에 상관없이 같은 값을 가질 것입니다.
물리 공부할 때 주의해야할 것은 절대 이 식 자체를 잘 외는 것으로는 문제를 푸는데 아무런 도움이 되지 않는다는 점입니다. 이 식의 뜻이 무엇이고 이 식을 어떻게 적용하는 지를 아는게 중요합니다.
에너지 보존 법칙
베르누이 법칙을 에너지 보존 법칙이라고 하는 이유를 살펴 봅시다.
\(p+\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h \) = 일정
이고 이식은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
\(p_1+\frac{1}{2}\rho {v_1}^2 + \rho g h_1 = p_2+\frac{1}{2}\rho {v_2}^2 + \rho g h_2 \)
위의 식에서 유체의 부피 V 를 곱해봅시다. 복잡해지니 위의 것에만 적용해 봅시다.
\(pV+\frac{1}{2}\rho V v^2 + \rho V g h \) = 일정
이 됩니다 .
밀도 곱하기 \( \rho \) 부피 \( V \) 는 질량이 되므로 질량 m 이 라고 합시다.
\(pV + \frac{1}{2} m v^2 + m g h \) = 일정 이 됩니다.
\(\frac{1}{2} m v^2 + m g h = E\) 라고 하면
\( p_1 V + E_1 = p_2 V + E_2\)
가 됩니다.
압력 x 부피 (pV) 는 힘 / 면적 x 부피 = 힘 x 거리 가 되므로 일 (또는 에너지) 와 같은 차원의 양입니다.
또, E 는 역학적 에너지라고 배웠습니다.
앞에 식은 결국 \( ( p_2 – p_1 ) V \) 의 일을 하면 \( E_1 – E_2 \)의 역학적 에너지가 늘어 난다는 것입니다.
유체의 압력에 의해서 한 일은 유체의 역학적 에너지를 바꾼다는 역학시간에 배운 당연한 법칙을 유체에 맞게 적용한 것입니다. 역학시간에 배운 에너지 보존 법칙을 V 로 나누어 주면 결국 베르누이법칙의 식이 나오게 됩니다.
정지된 유체의 압력
[정지된 유체에서 압력 구하기] 에서
\(p + \rho g h \) = 일정
이란 관계식을 배웠습니다. 이 때의 압력에 대한 의미를 정확히 알고 있어야 베르누이 법칙을 적용하기 쉽습니다.
이 때 배운 식은
\(p+\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h \) = 일정
란 베르누이 법칙에서 \(v=0\) 이란 특수한 경우일 뿐입니다.
베르누이 법칙은 유체가 움직일때도 설명할 수 있는 식이 됩니다.
베르누이 법칙을 적용하기
정지된 유체의 압력을 잘 예상할 수 있으면 베르누이 법칙을 쉽게 이해할 수 있습니다.
베르누이 법칙에서는 정지된 유체의 식에서 속력까지 포함해서 일정해야한다고 했으므로 정지(v=0)될 때보다 움직이는 경우(v>0)에는 압력이 떨어진다는 것입니다.
\(p+\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h \) = 일정
인데 v가 0 이 아니라면 p 는 v=0 일 때 보다 작아져야 합니다. (위치가 정해졌기 때문에 h는 바뀔 수 없습니다.)
[유체 역학 기초 (외부강의)]에서 벤투리관(Venturi tube), 마그누스 힘, 양력 에서 본 것 처럼, 유체의 속력이 있다면 정지된 것 보다 압력이 작다는 것을 쉽게 이해할 수 있으모 속력이 커질수록 압력이 더 떨어진다는 것을 쉽게 이해할 수 있을 것입니다.
반대로 정지된 유체보다 압력이 작다면 그 위치에서는 속력을 가져야 (v>0)이어야 한다는 것입니다.
물을 담아둔 통에 구멍을 뚫게 되면 물이 빠져나오는 것을 이렇게 설명할 수 있습니다. 정지된 상태의 물이 담겨진 통의 아래 부분은 수면보다 압력이 높습니다. 그런데 이 자리에 구멍을 뚫게 되면 (코크를 열게 되면) 수면과 같은 대기압이 되어 원래 정지된 상태보다 압력이 낮아집니다. 그러니, 베르누이 법칙에 따라 그 곳에는 속력을 가져야만 됩니다. 그속력은 역학적 에너지가 보존되어야 합니다. 즉 베르누이 법칙에서 구한 식을 만족해야합니다.
> 언젠가는 동영상으로 그림을 그려가면서 설명해 드리겠습니다.
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