이 개념을 처음 접했을때 쉽지 않았다는 생각이 나서 따로 정리합니다. 진지하게 이 개념을 꼭 알고 있어야 할 때가 관성 모멘트/회전 관성 값을 구할 때와 전하분포에 따라 전기장을 구할 때입니다.
> 또 다른 경우들은 생각 날 때 마다 업데이트해두겠습니다.
> 전류 밀도에도 밀도란 용어가 사용되는데 여기에는 선밀도, 면밀도를 쓰는 경우를 보지 않았습니다만, 쓰고 싶은 일이 생기면 적용은 가능할 것 같습니다.
어차피 같은 개념들은 한 군데다가 정리해 두는게 나을 것 같아서 여기다 모아 봅니다.
밀도 개념/용어
먼저 밀도(密度)는 빽빽한 정도를 말합니다. (빽빽하다의 반대말로 듬성듬성하다. 성기다. 한자로는 소(疏)라고 합니다. ) 영어의 density에 해당합니다. 그냥 밀도라고만 할 때는 보통 질량 나누기 부피 값을 의미하는 경우가 많습니다. [부력]을 공부할때도 나오는 말입니다. 밀도의 기호는 \( \rho \)를 많이 씁니다. 같은 부피에 얼마나 질량이 큰가를 말하는 것이고, 일상용어로 말하자면 같은 부피라면 얼마나 더 무겁나를 표현할 수 있는 방법입니다. 여기까지는 초중생때도 해보았던 것이므로 별로 어렵지 않을 것입니다.
밀도는 꼭 물리에서만 쓰는 것은 아닙니다. 인구 밀도와 같이 같은 넓이의 땅에 사람이 얼마나 많이 사는지를 표시할 때라든지에도 쓰이는 용어입니다. 절대적인 전체 양이 궁금한게 아니라, 어떤 기준된 다른 양을 동일하게 하여 원하는 양이 얼마나 더 많은지를 비율을 비교하는 때 많이 쓰입니다. 물리 시간에서 밀도란 부피를 같게 하였을 때 질량이 얼마나 되는가를 비교할 때 쓰입니다. 그냥 밀도라고 했던 것을 아주 아주 엄밀하게 말하자면 질량의 부피 밀도가 됩니다. 인구 밀도라는 것은 아주 엄밀하게 말하자면 인구수의 면적 밀도라고 할 수 있습니다.
밀도라는게 꼭 질량에만 쓰는 게 아니라 인구도 쓸 수 있듯이 물리 시간에도 다양한 양에 쓸 수 있습니다. 그래서, 같은 부피에서 전하량이 얼마나 되는지를 궁금해 할 수도 있습니다. (전기장의 세기를 구할 때 ) 이럴때는 전하 밀도 (charge density)라고 해서 질량이 아니라 전하의 양이 더 긍금한 것임을 더 강조할 수 있습니다.
뿐만 아니라 기준된 양이 꼭 부피만을 사용하는게 아닐 수도 있습니다. 인구밀도에서는 땅의 넓이가 기준이듯, 질량도 부피를 기준으로 하는게 아니라 면적을 기준으로 한다면 면적 밀도, 길이를 기준으로 한다면 선 밀도라고 합니다. 질량이 아니라 전하량이 궁금한 경우라면 전하 면적 밀도, 전하 선 밀도 라고 할 수도 있습니다.
선밀도
그럼, 선밀도와 면밀도란것이 부피 밀도와는 다르지만 서로 연관관계가 없는 것은 아닙니다.
> 여기서는 질량을 기준으로 설명하지만, 궁금해하는게 전하량이 될 수도 있습니다. 글 속에서 질량 자리에 전하량을 넣어서 생각하면 됩니다.
이 세상에 존재하는 질량을 가진 물체는 부피를 가지고 있습니다. 그런데 선밀도라니요? 면밀도라니요? 이게 말이나 되는 것인가요? 네, 부피를 가지고 있지않고 선만, 면만 있다는 뜻이 아니라 선을 기준으로 면을 기준으로 **생각**하겠다는 뜻이니까요.
철사를 생각해 봅시다. 철사도 부피를 가지고 있습니다. 그렇지만 철사를 사고 팔 때 그냥 길이만 말을 해도 원하는 양을 얻을 수 있습니다. 물론 철사는 단면적과 굵기가 일정하게 만들어져 있다고 믿고 있기 때문입니다. 100m 의 철사라고만 표현해도 단면적이 \(1mm^2\) 인 철사는 부피가 \(1mm^2 \times 100m = 0.0001 m^3\)입니다. 철의 밀도가 (부피밀도를 말하는 것일 것입니다.) \(3g/cm^3\) 라고 한다면 100m 철사는 \(3g/cm^3 \times 0.0001m^3 = 300g\) 의 질량을 가지고 있습니다. 이렇게 부피밀도만 사용한다면 철사의 질량을 알아내는게 상당히 복잡합니다. 그러나, 이제 100m 당 300g 인 것을 알았으니 10m는 30g 이고 1km 면 3kg 이 되는 것은 쉽게 알 수 있습니다. 1m당 3g 이 나오는 것알고 앞으로는 철사의 길이만 알면 쉽게 질량을 구할 수 있습니다. 1m당 3g 이란 개념이 바로 선밀도 입니다. 이 철사의 선밀도는 3g/m 라고 하면 됩니다.
이렇게 길쭉한 것만 선밀도를 생각할 수 있는게 아닙니다. 두루마리화장지나 알루미늄 호일같은 것을 생각해 봅시다. 알루미늄 호일을 10m 만 잘라달라고 하면 상대방도 알아 듣습니다. 호일의 폭과 두께는 그대로 둔채로 둘둘말려 있는 부분을 풀어서 10m 만큼의 길이가 되도록 잘라줄 것입니다. 알루미늄 호일이 폭이나 두께가 없기 때문에 그런게 아니라, 폭이나 두께는 그대로 두고 길이만 **생각**하자고 암묵적으로 동의하고 있는 것입니다. 이 호일의 선밀도를 알고 싶다면 마찬가지 방법으로 부피밀도를 이용해서 구할 수 있을 것입니다.
선밀도는 길이만 생각해서 질량을 쉽게 찾기 위해 필요한 개념입니다. 단위는 질량 / 길이가 될 것이므로 가장 표준적으로는 [kg/m]의 단위를 쓸 수 있습니다. 기호로는 보통 \( \lambda \) 를 잘 씁니다. 부피밀도는 \(\rho\)를 쓰니까 그리스 문자를 쓰는 것까지는 이해되는데, 왜 그리스 문자를 쓰는지 왜 \( \lambda, \rho\) 를 쓰는지는 잘 모릅니다.
면밀도
면밀도도 마찬가지 개념으로 두께에 대해서는 신경쓰지 않고 단지 면적에 의존하는 것만 신경쓰겠다는 것입니다. 면적만 생각해도 질량을 쉽게 찾을 수 있도록 해주는 개념입니다. 단위는 질량 / 면적 (넓이)가 될 것이므로 가장 표준적으로는 [kg/m^2]의 단위를 쓸 수 있습니다. 보통 기호로는 \(\sigma\) 를 쓰는데 마찬가지로 그 이유까지는 모릅니다.
> 면밀도에서 추가적 설명이 필요한 경우를 발견하면 보충하도록 하겠습니다.
계산에 필요한 선밀도, 면밀도
이렇게 개념을 파악했더라도 실제로 써먹는 일은 질량으로 적분을 할 때 사용됩니다. 예를 들면 관성 모멘트 \( I = \int r^2 dm \)과 같이 dm 이 나타납니다. m 은 질량 , \(r\)은 회전축에서 dm 까지의 거리입니다. 하지만, 질량과 거리 r 과의 관계는 갸우뚱 상태입니다.
질량과 거리와 관계를 알 수 있는 것은 위에서 설명한 선밀도와 같은 경우가 있습니다. 앞에서 본 철사를 생각해봅시다. 선밀도를 알면 길이당 질량을 안다는 말이므로 길이만 알면 질량을 알 수 있습니다. 이를 수학기호로 써보면 선밀도 \( \lambda \)를 알면 길이가 \(\Delta x\)일 때 질량 \(\Delta m = \lambda \Delta x\)임을 알 수 있고, 미적분학에서는 \(d m = \lambda d x\)로도 표현할 수 있습니다. 이런 관계를 이용해서 관성 모멘트의 dm 을 dx와 같이 길이가 들어간 식으로 바꾸어 쓸 수 있는 근거가 됩니다.
그럼 \( \lambda \) 는 어떻게 알까요? 처음부터 값이 주어진 경우일 수도 있고, 전체 길이와 전체 질량을 가르쳐 준 것일 수도 있습니다. 또한 (부피) 밀도 \(rho\)를 가르쳐 주었다면 위에서 구한 것 처럼 전체 질량, 전체 길이를 이용해서 \( \lambda \)를 찾을 수도 있습니다.
물론 지금까지 이야기 한 것은 모두 **균일한** 선밀도를 가지고 있다는 것을 전제로 하고 있습니다. 선밀도란 개념을 이야기 하는 것은 단순히 질량을 길이만 생각하고 면적이나 부피에 따른 의존을 생각하지 않겠다는 것입니다. 질량 m 은 오로지 길이 x 에 따라 변하는 것만 신경 쓰겠다고 한다면 질량 m 은 길이 x의 함수 m(x)라고 할 수 있습니다. 여지껏은 균일한 선밀도의 경우 \( m(x) = \lambda x \) 인 함수라고 생각한 것이고, \(\lambda\)는 일정하다고 생각했습니다.
일반물리/대학물리에서는 거의 이런 경우 문제가 나오겠지만, 선밀도가 **균일하지 않을 수도 있습니다**. 실제 현상이나 어려운 문제에서는 균일하지 않은 선밀도인 경우도 고려할 수 있어야 합니다. 그렇다면 이 선밀도도 위치에 따라 값이 조금씩 다를 것이고, \( \lambda(x)\)라고 선밀도도 위치에 대한 함수라고 쓸 수 있을 것입ㄴ디ㅏ. \(d m = \lambda d x\) 를 생각할 때 \( \lambda(x) = \frac{d m }{d x} \) 라고 쓸 수 있습니다. 이런 생각이 처음에는 힘드니 균일한 경우에 조금 익숙해지고 난 뒤에 이해가 될 것입니다.
데카르트 좌표계(Cartesian Coordinates)가 아닌 경우
데카르트 좌표계(Cartesian Coordinates)는 x,y,z 축을 이용한 고등학교때까지 배운 좌표계로 원, 원통, 구와 같은 것을 다루기에는 너무나 불편합니다. 이런 불편함을 덜기 위해 보통 대학 2년차때 데카르트 좌표계(Cartesian Coordinates)가 아닌 좌표계를 배우게 되는데, 대학물리/일반 물리는 1학년이 배우는 과목이란 전제가 있으므로 어떻게든 데카르트 좌표계 범위내에서 해결해야합니다. 그러다 보니, 속시원히 말로는 안하지만 은근 슬쩍 다른 좌표계를 쓰기도 합니다.
> 이제는 질량이 아니라 전하량이 궁금한 경우를 가정하고 있습니다.
> 여기서는 선밀도는 전하량이 궁금한 것이므로 전하 선 밀도입니다.
무한 평면에 분포한 전하에 의한 전기장 문제에서는 고리(ring)모양에서 시작합니다. 이 때 이 고리의 반지름을 r 이라고 하는데요. 이때 선밀도를 구하는 것 \( q = \lambda r\) 이 아닙니다!!! 우리가 말하는 선밀도에서 생각하는 길이가 어디에 의존하는지 잘 알아야합니다. 고리(ring)모양은 위의 철사를 둥그렇게 말아 놓았다고 생각해야합니다. 전체 길이는 \( 2 \pi r \) 이므로 전체 전하량 q 는 \( q = \lambda 2 \pi r\) 이 됩니다. 그래서 \( d q = \lambda 2 \pi d r\) 의 관계를 가지게 됩니다.
이게 면밀도 문제일 때는 훨씬 복잡해집니다. 물론 데카르트 좌표계(Cartesian Coordinates)가 아닌 좌표계를 배울때 당연히 알아야 하는 것입니다만 ….
> 아직은 미완성의 글입니다. 다른 글을 쓰다가 필요하다 생각되는 부분이 나올 때 마다 추가 보충하겠습니다.
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