이상 기체와 일 - 수험생 물리

이상기체의 상태를 기술하는 변수 중 2개인 압력 P 와 부피 V 의 관계에 대해서 정리해 보겠습니다.

이번에는 먼저 ‘일’ 에 대해서 이야기 하겠습니다. P와 V 에 대한 관계를 알면 기체에 작용한 일 (기체가 한 일) 을 알 수 있습니다. 먼저 알고 있는 지식과 이상기체 문제를 비교해보겠습니다.

왼쪽 그림은 우리가 매번 보던 물체에 힘을 가하는 경우이구요. 동영상이 아니라서 정지해 있는 것으로 보이지만, 물체는 속력이 있을 수도 있습니다. 처음의 속력을 v 라고 하겠습니다.

오른쪽 그림은 사진에 있는 주사기와 비슷하지만 입구를 막은 것과 같은 장치를 생각하여 그린 것입니다. 안쪽에 있는 작은 점들은 공기 분자들이라고 생각하시면 됩니다. 물론 공기 분자들은 아주 아주 많이 들어 있지만… 제가 그만큼 많이 그릴 수가 없네요.

두 경우 모두 중력 이딴거는 무시합니다. 영향을 고려해도 값이 너무 작아서 신경쓸 필요가 없습니다.

먼저 왼쪽의 경우를 이야기 하겠습니다.
힘을 가하고 일정한 크기의 힘 F을 가한 동안 거리 x 만큼 진행했다고 하면 우리는 일(W)을 했다고 합니다. 속력이 얼마이더라도 W = F * x 로 구할 수 있습니다. 일을 하면 에너지(E)가 늘어난다고 알고 계실것이고 그 에너지는 운동에너지란 것이고, 크기는 1/2mv^2 로 구하면 됩니다. 처음속력이 vi 이고 나중 속력이 vf 라면 증가한 에너지 값은 1/2mvf^2 – 1/2mvi^2 일 것이고 그 값은 W 와 같습니다. 지금의 말은 물체와 바닥사이에 마찰력이 없을 때 이야기 입니다.

마찰력이 있을 때 이야기로 주제를 바꾸겠습니다. 힘을 가하지 않으면 처음 속력(vi) 가 결국 0 이 되고 정지하게 될 것입니다. 운동에너지는 처음 1/2mvi^2 이 0 이 됩니다. 마찰력이 있으니 운동 에너지가 줄어드는 군요, 일정한 힘 F 를 가하는 동안 x 만큼 움직이였다면 일 W 만큼 에너지도 늘어나야 하겠지만, 마찰력때문에 운동에너지가 줄어드는 것은 여전합니다. 이렇게 줄어드는 운동에너지는 열의 형태로 나갔다고 봅니다.

마찰력 이야기를 하는 이유는 우리가 한 일 W 만큼 에너지 E 가 늘어나는 것은 마찰이 없는 경우라는 것입니다. 마찰이 있는 상황에서는 W 만큼 일을 해도 일부는 에너지가 늘어나고 일부는 열형태로 빠져나간다는 것입니다.

다음 오른쪽의 경우를 살펴보겠습니다.
마찰력이 없다고 하면 F 만큼 힘을 가하고 x 만큼 움직였다면 일 W 는 F * x 로 구할 수 있습니다. 주사기안에 있는 수많은 분자들의 속력이 늘어날 것이고 운동에너지가 늘어나야겠습니다. 하지만 여기도 열출입이 있다면 W 만큼 늘어나지는 않을 것입니다. 마찰력이 없어도 열출입이 있나요? 네. 그 문제를 다루는 것이 열역학입니다. 지금은 일문제만 다루겠습니다.

W = F * x 로 구해야하는데, 그럼 F 와 압력과는 어떤 관계가 있을까요?
이상기체 문제에서 나오는 오른쪽 그림에는 큰 가정이 들어있네요. 주사기 안에는 공기가 들어 있지만, 주사기 밖에는 공기가 없다는 것입니다. 즉, 진공상태라는 것입니다. 주사기안에는 공기 분자들이 운동하면서 피스톤부분을 때리면서 힘을 가하고 있습니다. 바깥부분은 진공이고, 힘 F 가 없는 경우 피스톤은 밖으로 밀려나게 됩니다. 그림처럼 피스톤이 가만히 있으려면 힘 F 와 공기분자가 피스톤을 때리는 힘과 같아야 합니다. 그리고 그 힘의 크기는 공기 분자의 압력 P 과 피스톤의 넓이 A 의 곱이 됩니다. 즉, F = P*A 가 됩니다. (힘이 같은데 어떻게 x 만큼 움직이냐구요? F 가 아주 아주 아주 아주 조금만 P*A 보다 큰 값으로 준다고 생각하시면 도움이 될까요? 결국 F = P * A 만큼 힘을 주면 됩니다. )

W = F * x = P * A * x 관계를 얻었습니다

공기의 부피V는 피스톤 면적 A * x 만큼 (= V) 만큼 바뀝니다. 따라서, 우리가 기체에 한 일 W = P * V 됩니다. 그 만큼 기체가 받은 일도 W 가 됩니다.

조심해야할 것은 기체가 받은 일을 W 라고 했는데, 어떤 사람들은 기체가 한 일을 W 라고도 표현합니다. 그러니, + , – 부호가 사람마다 다른 경우가 생깁니다. 역학 문제 풀때는 외부에서 물체에 한 일을 W 로 구하는 것에 익숙한데, 열역학 문제에서는 기체가 외부로 한 일을 W 라고 하는 경우가 많습니다. 저도 열역학 문제에서는 이 글 이외에는 모두 기체가 외부로 한 일을 W 라고 하고 있습니다. 열역학 문제에서 W 를 역학문제처럼 정하고 문제를 풀려고 하니 + – 부호 붙이는게 너무 헷갈리는 일이 생겨서 그냥 기체가 외부로 한 일을 W 로 쓰고 있습니다.

대부분의 책에서 열역학 분야에서 W 는 기체가 외부로 한 일이고 기체의 압력 P * 기체의 부피변화 V 가 됩니다.

p.s.

1) x 가 변하는 동안 내부의 공기의 압력은 계속 변할 수 있습니다. 즉, P 를 거의 일정한 값이라고 할 수 있는 아주 짧은 x 동안만 생각하는게 좋을 것 같습니다.

2) 진공이 아니라 우리 일상속 상황에서는 어떻게 되나요? 주사기 바깥 공기 압력과 주사기 안쪽 압력이 같은 상태로 주사기 피스톤이 움직이지 않습니다. 만약 우리가 힘을 주어서 피스톤을 밀면 우리가 한 일은 우리가 가한 힘 * x 이되고, 바깥 공기가 한일은 외부의 압력 p * V 가 됩니다. 주사기 안쪽에서는 압력 P * V 만큼 일을 받게 됩니다. 우리가 가한 압력(우리가 가한 힘 / A )은 P – p 만큼 된다는 것입니다.

온도가 일정한 경우 PV 는 일정하므로 부피가 줄어든 만큼 P 는 늘어납니다. 우리가 손을 떼면 외부 압력 보다 내부압력이 더 크니까 P = p 가 될때까지 피스톤이 밖으로 다시 밀려납니다.

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