평균은 왜 잡음을 줄이는가 — √N 법칙

HX711 로 무게를 잴 때 한 번 읽으면 값이 흔들리지만, 10번 읽어 평균하면 눈에 띄게 안정됩니다. 실험하는 사람이라면 누구나 몸으로 아는 사실입니다. 그런데 왜 줄어들까요? 얼마나 줄어들까요? 그리고 언제까지 줄어들까요? 이 글은 " $N$ 회 평균하면 잡음이 $\sqrt{N}$ 배 줄어든다"는 실험의 기본 법칙을 유도하고, 그 법칙이 깨지는 지점까지 다룹니다.

1. 측정을 확률로 모델링하기

측정값이 흔들린다는 것은, $i$ 번째 측정값 $x_i$ 를 이렇게 쓸 수 있다는 뜻입니다:

x_i = \mu + n_i

$\mu$ : 참값 (우리가 알고 싶은 것)
$n_i$ : $i$ 번째 측정에 낀 잡음 — 매번 다른, 예측 불가능한 값

잡음 $n_i$ 는 확률변수로 다룹니다. 두 가지 성질만 가정합니다:

평균적으로는 0 이다: $\langle n_i \rangle = 0$ (한쪽으로 치우친 오차는 잡음이 아니라 계통 오차 — 마지막 절에서 다룹니다)
크기의 척도는 표준편차 $\sigma$ 다: $\langle n_i^2 \rangle = \sigma^2$

$\langle \;\rangle$ 는 "같은 측정을 무한히 반복했을 때의 평균"(기댓값)입니다. $\sigma$ 가 바로 "한 번 측정의 잡음 크기"입니다.

2. 평균의 잡음 계산 — 핵심 유도

$N$ 번 측정해 평균을 냅니다:

\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i = \mu + \underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} n_i}_{\text{평균에 남은 잡음}}

남은 잡음을 $\bar{n} = \frac{1}{N}\sum_i n_i$ 라 하고, 그 크기(분산)를 계산합니다:

\langle \bar{n}^2 \rangle = \frac{1}{N^2} \left\langle \left( \sum_i n_i \right)^2 \right\rangle = \frac{1}{N^2} \sum_{i,j} \langle n_i n_j \rangle

제곱을 전개하면 $N^2$ 개의 항 $\langle n_i n_j \rangle$ 이 나오는데, 여기서 결정적인 가정이 들어갑니다:

서로 다른 측정의 잡음은 독립이다 — $i \neq j$ 이면 $n_i$ 와 $n_j$ 는 서로 아무 관계가 없습니다. $n_i$ 가 양수일 때 $n_j$ 는 양수일 수도 음수일 수도 있으므로, 곱 $n_i n_j$ 는 평균적으로 0 입니다:

\langle n_i n_j \rangle = \begin{cases} \sigma^2 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}

$N^2$ 개의 항 중 살아남는 것은 $i=j$ 인 $N$ 개뿐입니다:

\langle \bar{n}^2 \rangle = \frac{1}{N^2} \times N\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{N}

따라서 평균의 표준편차는:

\boxed{\;\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\;}

10회 평균이면 $\sqrt{10} \approx 3.2$ 배, 100회면 10배 잡음이 줄어듭니다. HX711 글에서 " $N$ 회 평균 시 $\sqrt{N}$ 배 감소"라고 쓴 근거가 이 계산입니다.

3. 왜 하필 √N 인가 — 두 가지 직관

직관 1: 취보(random walk). 잡음 $N$ 개의 합 $\sum n_i$ 는 "무작위로 앞뒤로 걷는 사람"의 위치와 같습니다. 매 걸음이 무작위로 $\pm\sigma$ 라면, $N$ 걸음 뒤 위치는 $N\sigma$ 가 아니라 $\sqrt{N}\sigma$ 정도입니다 — 앞으로 간 걸음과 뒤로 간 걸음이 상쇄되기 때문입니다. 합이 $\sqrt{N}$ 으로 자라니, $N$ 으로 나눈 평균은 $\sqrt{N}$ 으로 줄어듭니다.

직관 2: 신호와 잡음의 자라는 속도 차이. $N$ 번 더할 때 신호(참값 $\mu$ )는 매번 같은 방향으로 쌓이므로 $N$ 배로 자랍니다. 잡음은 방향이 무작위라 $\sqrt{N}$ 배로만 자랍니다. 신호 대 잡음비(SNR)는:

\text{SNR} \propto \frac{N}{\sqrt{N}} = \sqrt{N}

"더할수록 신호가 이긴다" — 평균, 장노출 사진, 라디오 신호 적분, 로크인 앰프 등 실험물리 전반의 미소 신호 검출이 전부 이 원리 하나 위에 서 있습니다.

덤으로, 중심극한정리에 의해 $N$ 이 커지면 $\bar{n}$ 의 분포는 원래 잡음의 분포가 무엇이든 가우시안(정규분포)으로 수렴합니다. 평균값의 오차 막대를 $\pm\sigma/\sqrt{N}$ 으로 쓰는 관행이 정당화되는 이유입니다.

4. 평균은 필터다 — 주파수 영역의 관점

$N$ 회 평균은 시간 $T = N/f_s$ ( $f_s$ : 초당 측정 횟수) 동안의 신호를 뭉개는 저역 통과 필터입니다. $T$ 보다 빨리 흔들리는 성분은 상쇄되어 사라지고, $T$ 보다 느린 성분은 살아남습니다. 대역폭은 $\Delta f \sim 1/T$ 로 줄어들고, 백색 잡음의 파워는 대역폭에 비례하므로 잡음 전압은 $\sqrt{\Delta f} \propto 1/\sqrt{T} \propto 1/\sqrt{N}$ — 2절과 같은 결론을 주파수 쪽에서 다시 얻습니다.

이 관점은 대가도 알려 줍니다: 평균을 늘릴수록 느린 변화를 볼 수 없게 됩니다. 저울로 출렁이는 물체를 재려면 평균 횟수를 줄여야 하는 이유입니다. 정밀도와 응답 속도는 맞바꿈 관계입니다.

5. √N 법칙이 깨지는 곳 — 독립성이라는 가정

유도의 급소는 $\langle n_i n_j \rangle = 0$ ( $i \neq j$ ), 즉 잡음의 독립성이었습니다. 실제 실험에서 이 가정은 오래 버티지 못합니다.

드리프트(drift): 온도가 천천히 오르면서 0점이 흘러가면, 연속된 측정의 잡음은 같은 방향으로 치우칩니다 — $\langle n_i n_j \rangle > 0$ . 상쇄가 일어나지 않아 평균을 늘려도 오차가 줄지 않고, 오히려 늘 수도 있습니다.
1/f 잡음: 전자소자 잡음의 상당 부분은 느린 성분일수록 큰 "1/f" 스펙트럼을 가집니다. 평균 시간을 늘려 대역을 낮추면 백색 잡음은 줄지만 1/f 잡음의 영역으로 들어가, 어느 지점부터는 개선이 멈춥니다.

그래서 실제 측정에는 "최적 평균 시간"이 존재합니다. 평균 시간에 따른 오차를 그린 곡선(앨런 분산, Allan variance)은 처음에는 $1/\sqrt{N}$ 로 내려가다가 바닥을 치고 다시 올라갑니다. HX711 실험의 "더 해 보기"에서 온도 드리프트를 관찰해 보라고 한 것이 바로 이 바닥을 눈으로 보는 실험입니다.

6. 평균이 절대 못 줄이는 것 — 계통 오차

마지막으로 가장 중요한 경고입니다. 1절에서 $\langle n_i \rangle = 0$ 을 가정했습니다. 만약 저울의 보정 계수가 1 % 틀려 있다면, 이 오차는 모든 측정에 똑같이 들어 있습니다. 백만 번 평균해도 1 % 는 그대로 남습니다.

\text{전체 오차} = \underbrace{\text{무작위 오차}}_{\sqrt{N}\text{ 으로 줄어듦}} + \underbrace{\text{계통 오차}}_{\text{평균과 무관}}

무작위 오차는 통계(평균)로, 계통 오차는 보정(기준 질량으로 눈금 만들기)으로 잡는다 — 실험의 정밀도(precision)와 정확도(accuracy)가 서로 다른 개념인 이유이자, 둘을 나눠서 공략해야 하는 이유입니다.

생각해 볼 것

2절의 유도에서 $N^2$ 개 항 중 $N$ 개만 살아남는 과정을 $N=2$ 로 직접 전개해 확인해 보자: $\langle (n_1+n_2)^2 \rangle = ?$
주사위를 $N$ 번 던진 평균은 3.5 에 얼마나 가까울까? $\sigma \approx 1.71$ 을 써서 $N=100$ 일 때 평균의 표준편차를 구해 보자.
HX711 을 10 SPS 로 10회 평균하면 측정 1회에 1초가 걸린다. 0.5 Hz 로 흔들리는 추의 무게 변화를 보고 싶다면 평균 횟수를 어떻게 잡아야 할까? (4절)
"측정을 오래 할수록 무조건 정확해진다"는 말의 반례를 5절과 6절에서 하나씩 찾아보자.