단진자 - 수험생 물리

단진자란

단진자란 말은 simple pendulum 이란 영어를 번역하면서 온 용어입니다.
나무막대기와 같은 물체를 매달아 흔드는 것을 물리진자 (physical pendulum) 에 비해 단순한 형태의 문제를 푸는 것입니다.

질량 m 인 물체를 길이 L의 줄에 매달아 흔들 때, 왔다갔다하면서 흔들리는 것으로 움직이는 정도는 $\theta$ 로 표현할 수 있습니다. 그림에서 숨겨진 물리량으로 중력이 있습니다. 중력이 없다면 이런 흔들림이 없습니다.

물론 고등학교물리, 대학물리의 역학 문제로는 가장 어려운 문제인것 같습니다. 가장 쉬운 내용부터 어려운 내용 순으로 써두었습니다.

주기

옛날에는 시계에 진자가 달려 있었습니다. 진자가 일정한 시간 간격으로 흔들리기 때문에 이를 이용해서 정확한 시간 간격을 유지하도록 시계를 만들었습니다.

시험에 자주나오는 것이 이 시간 간격 주기에 대한 문제입니다.
‘중력장에서 늘어진’ 단진자는 주기는 진자의 길이가 길어지면 늘어나고, 중력이 커지면 줄어듭니다. 추의 질량에는 무관하며, 진폭에는 거의 무관합니다.
단진자 주기
$\displaystyle T =2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

운동 방정식

주기에 관한 식은 운동이 어떻게 되는가를 분석해야 알 수 있을 것입니다. $\theta$ 가 시간 $t$ 에 따라 어떻게 변하는가를 알아야 하는데, 이를 알 수 있는 운동방정식은
$\displaystyle \frac {d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0$
입니다.

이 식은 용수철 진자에서 얻은 식과 유사한 모양을 가지고 있습니다.
$\displaystyle \frac {d^2 x }{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0$
즉, 용수철 진자와 같이 단진동한다는 뜻이고, 용수철 진자의 주기 구하는 식과 유사한 모양을 가지게 됩니다.

그러나, 이 운동 방정식은 약간의 가정이 들어 있습니다.
$\displaystyle \frac {d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin \theta = 0$
에서 $\sin \theta \approx \theta$ 란 관계를 이용해서 나온 식입니다.
$\theta$ 가 커질수록 $\sin \theta \approx \theta$ 란 관계의 오차가 커지니까, 진폭이 클수록
처음 주어진 주기와는 오차가 커질것입니다만, 대학 일반 물리에서는 주기가 진폭에는 무관하다정도로 문제가 나옵니다.
혹은, $\theta$ 가 작다라고 표현하기도 하고, $\sin \theta \approx \theta$ 란 표현이 들어가도록 출제합니다.

운동

운동 방정식이 어떻게 나왔는지 살펴보기 위해 먼저 단진자의 운동에 대해 살펴 보겠습니다.(힘부터 보지 말고 운동부터 보자구요…)
일정한 시간 간격으로 왔다갔다 반복적으로 흔들거립니다. 시험에 나오는 상황은 에너지 손실없는 이상적 상황으로 영원히 흔들거리고 있어야 합니다. 그 일정한 시간 간격을 주기라고 합니다.

크게는 두가지 방법으로 볼 수 있습니다. 내용은 같습니다만 관점이 다릅니다. 둘 다 쉽지 않습니다. ‘회전운동으로 보기’는 돌림힘과 회전운동의 관계를 알아야 하고, ‘원운동으로 보기’는 등속원운동이 아닌 일반적인 원운동문제이기 때문입니다. 약간 대학물리 범위를 벗어나는 느낌도 드는데 시험에 나오고 있기 때문에 소개 안할 수가 없네요.

회전운동으로 보기

회전축이 고정된 회전 운동으로 볼 수 있습니다. 회전운동을 기술하는 변수로 각도 ( $\theta$ )가 있고, 최대 각도( $\theta_m$ ) 사이를 회전하는 운동으로 볼 수 있습니다. $\theta$ 가 시간에 따라 변하는데, 일정한 각가속도가 아니라서 복잡합니다.

원운동으로 보기

거리 L 은 바뀌지 않습니다. 그러므로 진자가 움직이는 경로는 (등속이 아닌) 원운동과 같이 생각할 수 있습니다. 최대 각도( $\theta_m$ )가 될 때는 정지했다가 방향을 바꿉니다. 주의할 것은 정지했다는 말은 속도가 0 입니다만, 가속도는 0 이 아닙니다. (이걸 헷갈려하는 질문을 본적 있습니다.) 위치가 0 이라고 속도가 0 이 되는 것이 아니듯, 속도가 0 이라고 가속도가 0 이 아닙니다. 가속도는 얼마인지 모릅니다.

최소 각도가 될 때가 가장 속력이 빠를 듯 합니다. 가속도는 얼마인지 잘 모르겠습니다.

돌림힘, 힘

주어진 상황에서는 진자를 당기는 중력 $F_g$ 와 진자를 묶어둔 실(줄)이 진자를 끌어 당기는 장력 $T$ 가 존재합니다. 먼저 값을 알 수 있는 중력은 $F_g = mg$ 입니다. 장력 $T$ 는 운동상태에 따라 바뀌고 있고 당장을 알 수 없어 분석을 좀 더 해야합니다.

회전운동으로 보기

회전운동의 원인이 되는 돌림힘(토크)를 찾아보겠습니다. 돌림힘 $\tau = - mgL\sin \theta$ 가 됩니다.
중력에 의한 돌림힘은 중력의 크기( $mg$ ) 와 중력의 작용선까지의 거리 ( $L\sin \theta$ )의 곱으로 구하거나, 중력의 원의 접선방향 성분 ( $mg\sin \theta$ ) 와 진자 길이 ( $L$ ) 의 곱으로 구합니다. 어쨋든, 돌림힘의 크기는 $mgL\sin \theta$ 입니다.
그런때 주의 할 점은 방향이 항상 $\theta$ 와 반대방향입니다.
중력에 의한 돌림힘은 $\tau = - mgL\sin \theta$ 가 됩니다.
장력에 의한 돌림힘은 장력의 방향이 고정된 회전축 방향이기 때문에 항상 0 이 됩니다.
따라서, 돌림힘 $\tau = - mgL\sin \theta$ 입니다.

돌림힘에 대한 글을 추가했습니다.

돌림힘에 의한 회전운동 관계는
$\tau = I \alpha$
$\tau$ 는 돌림힘(토크), $I$ 는 관성 모멘트, $\alpha$ 는 각가속도로 $\alpha = \frac {d^2\theta}{dt^2}$ 입니다.

그리고 단진자에서 관성 모멘트 $I = m L^2$ 이므로,
$- mgL\sin \theta = m L^2 \frac{d^2\theta}{dt^2}$
입니다.

결국, $\frac {d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin \theta = 0$ 로 앞에서 말한 운동방정식을 얻었습니다.

원운동으로 보기

회전운동으로 보지 않더라도 문제를 풀 수 있습니다. 뿐만 아니라, 회전 운동으로 보는 경우 장력에 대해서는 전혀 알 수가 없기 때문에 장력을 물어 보는 문제의 경우에는 어쩔 수 없이 원운동으로 분석해야합니다.

장력은 그 크기가 주어진 어떤 관계식이 있는 것이 아니기 때문에 알짜힘과 운동의 관계를 통해서 찾아 내야 합니다. 즉, F=ma 를 이용하여 가속도와 알짜힘의 관계를 따져야 알 수 있습니다. 가속도를 모르니까, 알짜힘도 모릅니다. 낙담하기는 아직 이릅니다. 운동부분에서 살펴본 바와 같이 L 이 일정한 (등속이 아닌) 원운동을 하고 있습니다. 따라서, 원의 법선 방향과 원 수직 방향 성분으로 나누어 살펴봅니다. 즉, 중력을 장력 방향 성분과 장력에 수직인 방향 성분으로 나누어 살펴봅니다.

중력을 원의 법선 방향(=장력방향)의 성분과 원의 접선방향(=장력의 수직 방향) 성분으로 쪼개어 생각해 보면, 중력의 원의 법선 방향(=장력방향) 성분은 $mg \cos \theta$ , 원의 접선 방향(=장력에 수직 방향) 성분은 $mg \sin \theta$ 가 됩니다.

원운동은 법선방향으로는 $mg \cos \theta$ 와 장력 T에 의해 , 접선 방향으로는 $mg \sin \theta$ 에 의해 유지되는 복잡한 운동을 하고 있습니다.

등속아닌 원운동에서
법선 방향 힘은 m * 법선 방향 가속도(=구심 가속도)가 되고,
접선 방향 힘은 m * 접선 방향 가속도가 되므로

법선 방향 힘 $F_r = T - mg \cos \theta = m \cdot \frac{v^2}{L}$
접선 방향 힘 $F_t = - mg \sin \theta = m \cdot L \frac{d^2\theta}{dt^2}$
이 됩니다.
(+)(-) 는 구심력의 방향, $\theta$ 를 어떻게 정의하는가에 따라 정해집니다.

여기서 접선 방향 식을 잘정리하면 $\frac {d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin \theta = 0$ 로 앞에서 본 운동방정식을 얻었을 뿐만 아니라,
장력 $T = \frac{mv^2}{L} + mg \cos \theta$ 에 대한 관계식도 얻었습니다.

단진자 운동 다시 정리하기 – 가속도

앞에서 운동만 살펴 보았을 때 가속도가 얼마인지 몰랐는데, 이제는 알 수 있게 되었습니다.

각도 $\theta$ 에 따라,
원의 접선 방향으로 $- g \sin \theta$ 가 됩니다.
원의 법선 방향으로(고정된 줄의 방향으로) $\frac{v^2}{L}$ 가 됩니다.

각도가 최대( $\theta = \theta_m$ ) 일 때 가장 높은 곳에 있고,
접선방향 가속도의 크기가 가장 크며, 법선 방향 가속도의 크기가 0 입니다.
각도가 최소( $\theta=0$ )일 때 가장 낮은 곳에 있고,
접선방향 가속도의 크기가 0 이고, 법선 방향 가속도의 크기가 가장 클때가 됩니다.

단진자 에너지

장력은 항상 단진자가 움직이는 방향에 대해 수직이므로 일을 하지 않습니다. 에너지 변화에 무관합니다.
중력은 뭐 잘 아시는 바와 같습니다.
각도가 최소일 때 운동에너지는 각도가 최대일 때(가장 높은 곳)에서 각도가 최소일 때(가장 낮은 곳) 의 중력의 위치에너지 차이가 될 것입니다.

각도가 최소( $\theta=0$ )일 때 운동에너지
$E_k = \frac{1}{2} mv^2 = mg(L - L \cos \theta) = mgL(1-\cos \theta)$ 입니다.

장력

단진자의 장력 $T = \frac{mv^2}{L} + mg \cos \theta$ 이용하면,

가장 높은 곳( $\theta = \theta_m$ ) 에서는 속력이 0 이므로 $T = mg \cos \theta_m$ 가 되고,
가장 낮은 곳( $\theta=0$ )은 운동에너지 관계식에 의해 $\frac{1}{2} mv^2 = mg(L - L \cos \theta_m) = mgL(1-\cos \theta_m)$ 을 이용하면
$T = \frac{2 mgL(1-\cos \theta_m) }{L} + mg = mg(3-2\cos \theta_m)$

일반적인 경우( $\theta$ )도 운동에너지를 이용해서 계산하면 됩니다.
운동에너지 관계식에 의해 $\frac{1}{2} mv^2 = mgL(\cos \theta -\cos \theta_m)$ 을 이용,
$T = \frac{2 mgL(\cos \theta-\cos \theta_m) }{L} + mg \cos \theta = mg(3\cos \theta -2 \cos \theta_m)$

맺음말

이것도 원심력의 관점에서 설명하기, 각가속도와 가속도 관계들은 뺀 내용입니다. 네… 많이 어렵습니다. 역학 내용을 총 망라하고 있습니다. 지금까지 쭉 읽다가 막히는 부분들은 그 내용을 아직 정확히 알고 있지 못하다는 뜻이기도 합니다. 그래도, 단진자에 대해서 검색하고 질문하는 많은 분들에게 도움이 되시라고 정리했습니다.

각가속도와 가속도 관계들은 회전축이 고정된 회전운동, 일반원운동과 구심력 에 대한 글을 보시면 됩니다.

공무원 7급 기출 문제

220문제중 4문제가 출제되었습니다.
• 주기를 묻는 2016년 문제
• 주기와 에너지를 묻는 2008년 문제
• 최저점에서 장력의 크기를 묻는 2011년 문제
• 최저점,최고점에서 장력의 변화를 정성적으로 묻는 2017년 문제

단진자란

주기

운동 방정식

운동

회전운동으로 보기

원운동으로 보기

돌림힘, 힘

회전운동으로 보기

원운동으로 보기

단진자 운동 다시 정리하기 – 가속도

단진자 에너지

장력

맺음말

공무원 7급 기출 문제

관련