닫힌 면에서 flux

이 글은 flux 에 대한 세번째 글로 열린 면에서의 flux (1) , 열린 면에서의 flux (2) 다음의 글입니다. 앞의 두 글에 연속된 글입니다.

닫힌면에서 flux

닫힌면에서 flux 그 자체는 사실 몇 가지 사실만 주의하면 되는 내용입니다.

먼저 닫힌면이라고 표현하는 것은 우리가 생각하는 어떤 면이 완전히 어떤 부분을 둘러쌓았을 때 사용합니다. 구의 표면, 정육면체의 표면들은 그 안을 완전히 둘러쌓아서 그 면을 통과하지 않고서는 밖에서 안으로 들어갈 수 없습니다. 앞에서 배운 것들(열린 면)은 그 면이 안과 밖을 구분하지는 않습니다.

열린 면에서와 달리, 닫힌 면에서 flux 를 계산하라고 하면 그 면의 방향은 안쪽에서 바깥쪽으로 향하는 것으로 약속을 해두었습니다. ‘나는 반대로 하고 싶어’하고 정하시는 거야 여러분 마음이겠지만, 물리교과서에서 얻은 것과 항상 (-) 의 값이 나오는 문제가 생깁니다. 그러니, 여러분도 이 약속을 따르는 편이 공부하시기 편할 겁니다.

flux 를 계산할 때 사용하는 적분 식이 라고 말씀드렸던것은 기억하실 것입니다. 닫힌면에서 그 값이 바뀌는 것은 아닙니다만, 닫힌면임을 분명히 알려주기 위해서, 기호대신 란 걸 씁니다.

처음 보시는 거라 겁이 나겠지만, 닫힌면임을 알려주는 기호일 뿐이므로 부담갖지 말고 평소처럼 계산하면 됩니다.

여기까지가 닫힌면의 flux에 대한 설명 끝입니다. ‘이상으로 글을 마치겠습니다.’라고 말하고 나면 여러분이 겪게 될 어려움들이 눈에 너무 뻔히 보여서, 이제는 이 닫힌면의 flux 를 직접 계산한번 해보려고 합니다. 여기서 이렇게 따로 계산하려고 하는 이유는 flux 란 개념과 가우스법칙은 각각 별개의 개념으로 의미를 구분하여 생각할 수 있어야 하는데, 이걸 처음에 한꺼번에 배우기 때문에 너무 힘들어 하시는 것 같더군요.

일정한 흐름일 때 flux 계산하기

막상 계산을 해 보려고 하지만, 예제를 보여 주기가 너무 힘듭니다. 일단, 입체를 표현해야하는데 그걸 그리기가 만만치 않고, 둘째, 이게 실제로 계산이 만만한 모양이 그리 많지가 않습니다.

먼저 정육면체를 보겠습니다.

어떻게 생겼는지 돌려 보면 됩니다. (돌려보시려면 PC에서는 마우스 오른쪽 버튼, 휴대폰에서는 손가락을 이용하면 됩니다. 확대 축소는 여러분이 직접 찾아 보세요.^^)

한면의 면적이 A 인 정육면체이고, 물이 v 의 속력으로 흘러간다고 할 때 flux 를 계산해 보겠습니다. v 는 모든 곳에서 방향은 같고, 크기도 같습니다.

정육면체는 여섯면이 있습니다. 이것은 닫힌 면으로 내부와 외부가 명확히 구분됩니다. 약속에 따라 바깥쪽 방향을 면의 방향으로 잡아서 빨간 벡터 표시로 방향을 그려두었습니다. 물의 속도 방향과 나란한 방향(같거나 반대방향)은 2군데이고, 4군데는 완전히 수직입니다.

flux 를 계산하는 것은 각 면의 아주 작은 면으로 쪼개어 적분하듯이 생각하면 되는데, 여기서는 방향이 서로 같은 면 6군데로 쪼개어 생각하면 될 것입니다.

4군데의 면에서는 물의 속도 벡터와 면의 벡터가 수직으로 cos값은 0 입니다. 굳이 cos 을 생각하지 않더라도 4군데의 방향으로는 물이 전혀 들어가거나 나가는 것이 아니기 때문이라고 개념적으로 생각해도 됩니다.

나머지 두 군데만 생각하면 면과 물의 속도 벡터의 방향은 서로 나란하여 cos값이 1과 -1이 되고, 면적은 A, 속력은 v 이므로 flux 값은 Av, -Av 가 됩니다. 개념적으로는 물이 들어가는 면이 있고, 나가는 면이 있으니까, 한쪽은 Av, 한쪽은 -Av 입니다. 어느쪽이 (+) 가 될까요? 수학적으로 cos 값이 1 쪽이 (+) -1인 쪽이 (-) 가 될 것이고, 개념적으로는 흐름이 나가는 쪽이 (+) 가 되고 들어가는 쪽이 (-) 가 됩니다. (+)(-)는 열린면에서 설명드린 것 처럼 여러분이 정하기 나름인데, 닫힌면에서의 약속을 따르다 보니, 흐름이 나가는 쪽이 (+) 가 되었습니다.

마지막으로 쪼개어 생각해서 계산한 값을 모두 합칩니다. 4군데는 cos 값이 0 이구요, 2군데중 한군데는 +Av, 다른 한 군데는 -Av입니다. 그러니까, 0+0+0+0+Av-Av = 0 입니다.
네, 0입니다. 열심히 계산 했는데 허무하게도 0 입니다.

이번에는 정육면체의 방향을 45도 돌렸습니다. 이번에도 6면으로 쪼개어 생각하면 되는데, 물이 들어가는 것이 없는 두 군데가 0 이고 나머지 4군데가 물이 들어가고 나가는 것이 있으니 flux 값이 있을 것입니다. 이루는 각도가 45도, 135도, 225도, 315도로 모두 의 값이고, 부호만 (+)(-) 입니다. 그러니까 다 더하면, 입니다.

네, 0 입니다. 열심히 계산했는데, 허무하게도 0 입니다.

이게 0 인게 우연인가요? 개념적으로 확실하지 않습니까? 들어가는 양이랑 나오는 양이 같으니 0이어야지요. 사실 그 개념만 확실하면 계산 할 필요없이 0 이었던 것입니다.

이 개념이 확실한 사람은 아래 값을 계산하라고 하면 쉽게 답할 수 있습니다.

이번에는 반구입니다. 면의 방향은 여러분이 직접 돌려 보시면서 확인 해보십시오.

평면은 녹색, 곡면은 빨간색으로 구분해서 표시했습니다. 반지름이 R 이라고 하겠습니다. 물은 녹색의 면으로 들어가서, 빨간색 곡면으로 나옵니다. 시간당 녹색으로 들어간 물의 부피양(flux)이 시간당 빨간색으로 나온 물의 부피양(flux)과 정말 똑같다면 들어가는 양 (-), 나오는 양(+) 로 합하면 0 이 됩니다.

이게 자신이 없다면 직접 계산을 하셔야합니다. 들어가는 녹색면의 면적은 물의 속력 두 벡터가 이루는 각이 180 도 이므로 cos 값은 -1 따라서, 녹색면에서 flux는 가 됩니다.

빨간면에서는 ………

제가 …. 해 둔 이유는 아시겠죠^^, 조금 어려운 수학을 아는 사람은 좀 구해 볼만 합니다만 그렇지 않으면 x,y,z 를 넣어서 열심히 구해보십시오. 이거 할 일이 아닙니다. 제가 구한 결과로는 입니다. 그래서, 닫힌면의 flux 양은 0 입니다.

그래서, 모든 닫힌면의 flux 값은 0 이라고 생각하신다면 귀납법의 오류를 범하시는 것입니다. 정확히는 흐름에 해당하는 벡터(여기서는 v)가 크기가 일정하고 방향이 일정한 경우, 즉 모든 위치에서 일정한 흐름이 있는 곳에서는 닫힌면의 flux 값이 0 입니다.

일정한 흐름이 아닐 때 flux 계산값 느껴 보기

일정한 흐름이 아니면 즉 위치에 따라 v 가 값이 다르고 방향이 마구 바뀐다면 이건 정말 지옥이 됩니다. 계산을 할 수 없을 정도가 되니 이번에는 제목이 느껴 보기 입니다. 대략의 감만 가져 보자는 것입니다.

지난번 봤던 그림입니다. 이런게 이제 그리기도 어렵고, 말로 설명하기도 어렵고…그렇습니다. 병을 눕혀 놓은 것처럼 생겼으니 병 바닥과 병 뚜껑이라고 하지요. 병바닥으로 들어가는 흐름양이 병 뚜껑 쪽으로 나오는 양과 같다면 flux 값이 0 이 될 것 같지 않습니까?
들어간 면적은 넓고, 대신 속력은 느리고, 나오는 면적은 좁고, 대신 속력은 빠르고..
병의 옆면은 항상 흐름과 수직이라서 지나가는 양이 하나도 없으니 0 이고…

우리가 유체시간에 배우는 아주 이상적인 유체에서는 이 양이 0 입니다. (책을 찾아보니까, 유체가 압축이 되지 않는 경우에는 만족하더군요. 물리학 개론서에서 다루는 유체에는 압축되지 않는다는 이상적인 성질을 가정하고 있으니 물의 흐름에서는 flux 값이 0 입니다.)

이제는 병안에 또 다른 면을 두는 것인데 이것은 좀 더 추상적으로 그렸습니다. 이것도 이제는 대충 0 의 느낌이 있지 않습니까? 위와는 달리 바닥, 뚜껑의 면적이 같아서 그쪽으로 들어가고 나가는 양은 다르지만, 옆면으로부터 들어오는 양이 있습니다.

어떤 흘러가는 양을 이런식으로 선으로 표현하는 것을 본적이 있을 것입니다. 유선(流線, streamline) 이라고 하는데, 이런 선을 표현할 때, 물리적으로 어떻게 하자는 것을 제가 본적은 없습니다. 그러나, 흐름의 세기와 선의 밀도를 일치시킨다면 상당히 우리가 생각하기 쉽지 않을까요?

위 그림에서 보듯 유선(streamline)의 밀도를 흐름의 세기와 비례되게 잘 그린다면 열린면의 flux 값은 선의 숫자(갯수)를 세는 것과 같을 것입니다.

이런 그림을 생각해보면 flux를 선속(선의 다발)이라고 번역한 이유를 알것도 같습니다. 선속을 처음 번역해서 쓴 사람은 이런 느낌을 가지고 있었다는 말이기도 합니다. (그래도 저는 여전히 이걸 선속이라고 번역하는게 별로 마음에 들지 않습니다.)

0이 아닌 flux 계산값 느껴 보기

여태까지 계속 flux 가 0 인 경우만 보여드렸기 때문에 또 착각에 빠지면 안됩니다. 이상적인 유체의 흐름의 성질이 위치에 따른 속력과 방향 가 flux 가 0 이 되는 성질이 있었기 때문입니다. 이를 좀 직관적으로 생각해보면 물이 우리가 생각하는 면 안에서 생겨나거나(생성되거나), 사라지는게(소멸되는게) 아니기 때문에 ‘들어온것은 나간다의 법칙’정도가 되는 것입니다.

이제는 이렇게 좀 추상적으로 그려도 어떤 상황인지는 이해하실거라 믿고 그렸습니다. 왼쪽면, 오른쪽면 모두 flux 값이 (+) 가 되고 전부 나가는 양이 있는 경우입니다. 만약 이게 물이라면 이 상태가 계속되려면 가운데 지점에서 샘물’처럼’ 물이 솟아나고 있는 경우여야 합니다.

그림을 그리지 않았지만, 상상해보면, flux 값이 (-) 가 된다는 말은 하수도’처럼’ 물이 사라지고 있어야 된다는 것입니다. 비록 정확한 값은 모를 지라도 flux값이 (+)인가 (-)인가라는 것은 우리가 닫힌면 안에서 물이 생성되거나 소멸되는 것과 연관이 있다는 것입니다.

물론 이상적인 유체라하더라도 물의 흐름에서는 이런 것이 불가능합니다. 여기서 ‘처럼’이라고 쓴 것은 실제 샘물이나 하수도라면 공급하는 관, 빠져나가는 관의 flux 값 때문에 결국 0 이 되고 말기 때문입니다.

정리

세 글을 연달이 읽으신 분은 많이 힘드셨겠습니다. 계산을 잘하는 것도 중요하겠지만, 저는 flux가 의미하는 이 느낌을 강조하고 싶습니다. 사실 flux 를 제대로 이해하려면 고등학교 때 배운 미적분학보다는 어려운 미적분학을 배워야 합니다. 수학없이 설명한다는게 쉬운일이 아니라서, 저의 부족함을 너그러이 봐 주십시오.

p.s. 수학시간에 발산정리(divergence theorem) 배우게 되면 닫힌 면의 flux 가 언제 0 인지 정확하게 알게 됩니다. 그리고, 곧 flux 값을 구하는 게 하나도 궁금하지 않게 됩니다. 발산정리(divergence theorem)를 안 배운 상태에서 개념적으로 접근하기 위한 수단으로 flux 를 배운다고 생각하는게 맞는 거 같습니다. 그러니, flux를 느끼는게 쉬운 일이 아닌 것은 분명합니다. 좀 힘들더라도 이리 저리 시도는 많이 해보십시오. 우리가 뭐 잘 알아서 안다고 생각하는 것 보다는 익숙해서 안다고 생각하는 것들이 훨씬 많습니다. 제가 알고 있다 생각했던 물리는 사실 잘 아는게 아니라 익숙한 것들이더라구요…. 요즘 글쓰면서 새삼 느끼고 있습니다.

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