평면 전하 분포에 의한 전기장

교과서에는 처음부터 무한한 평면의 경우를 가지고 설명하는데 비현실적인 결과들이 나오니까 잘 안 믿거나, 오해를 하는 경우가 많아 보여서 현실적인 유한한 평면에서 부터 접근해 나가도록 하겠습니다.

유한한 평면

전하량 +Q[C] 만큼이 한 변의 길이가 $l$ 인 사각형의 평면으로 균일하게 펼쳐져 있는 경우에 전기장이 어떻게 되는지를 먼저 살펴 보겠습니다. 아래 그림과 같이 두께를 생각할 수 없는 사각형 모양의 평면에 전하가 분포해 있을 때 전기장의 크기와 방향이 어떻게 되는지 알아 보려고 합니다.

그림은 전하가 듬성듬성 있지만, 빽빽히 그릴 수 없기 때문에 이렇게 그린 것입니다. 전하가 듬성듬성있다는 뜻은 아닙니다.

평면 위의 전하들이 자유롭게 움직일 수 있다면 쿨롱의 법칙에 따른 서로 밀어내는힘(척력)을 받아서 그림과 같이 분포할 수는 없을 것입니다. 그러므로, 우리가 모르는 어떤 이유로 그런 힘을 받더라도 전하들이 자유롭게 움직일 수 없고 고정되어 있다는 가정이 들어 있습니다. (문제에서는 자유롭게 움직일 수 없다는 것을 표현하기 위해 전하가 부도체에 있다고 주어집니다.)

물리학 개론 수준에서는 이런 상황에서 전기장의 크기와 방향을 구하라고 묻지는 않을 것입니다. 그만큼 전기장의 분포와 방향이 복잡하고 그걸 구하는 수학도 아주 복잡합니다. 그렇지만, 한변의 길이 l 보다 아주 아주 멀리 떨어진 곳(거리는 대략 d)에서 전기장을 구하는 것은 여러분도 할 수 있습니다. 그런 상황이라면 아래와 같이 보일 것이므로, 전하 +Q 가 있는 문제와 다를 바가 없습니다. 그러면 그곳의 전기장의 크기 $E = k \frac{Q}{d^2} = \frac{1}{4 \pi\epsilon_0} \frac{Q}{d^2}$ 이고, 방향은 그 평면에서 방사형으로 뻗어나가는 모양이 될것입니다.

$d \gg l$ 이고, 우리가 말한 평면은 점처럼 보이므로 아마도 우리가 그것이 평면인지도 모르고 그냥 전하 +Q 가 있나 보다라고 생각할 것입니다.

이번에는 반대쪽 극단을 생각해 봅시다. 평면에서 떨어진 거리가 d 가 l 보다 아주 아주 작은 경우( $d \ll l$ )입니다. 그런 상황이라면 아래와 같이 보일 것입니다. 무한의 평면에 전하가 분포하여 있고 이 때의 전기장의 크기와 방향과 같을 것입니다. 이 크기와 방향은 잠시 후 이야기 하겠습니다.

그렇다면 우리가 처음 이야기한 유한한 길이를 가진 평면의 전하분포가 만들어내는 전기장의 크기와 방향은 위치에 따라 크기와 방향이 바뀌는 값을 가지고 그 값이 아주 복잡하겠지만, 양쪽의 극단적인 경우의 결과는 잘 설명할 수 있는 값일 것입니다. 중간의 경우는 계산이 복잡하게 될 것이므로 생략하고 $d \ll l$ 인 경우를 설명할 수 있는 무한한 평면의 경우 전기장의 크기와 방향이 어떻게 되는지를 살펴보도록 하겠습니다.

무한한 평면

전하의 면밀도

무한한 평면에서 전기장의 크기를 알기 위해서는 기존과 같이 전하량을 이용하지 않고 전하의 면밀도값을 알아야 합니다. 왜 면밀도를 이야기하는지 살펴봅시다.

유한한 평면에서 한변의 길이가 $l$ 일 때, 면적은 $l^2$ 이 됩니다. 그렇다면 전하의 면밀도는 전하량 / 면적 이 됩니다. 전하 +Q 만큼 있다면 면밀도는 $Q/l^2$ 일 것입니다. 앞에서 설명한 것처럼 유한한 평면이더라도 거리 $d \ll l$ 인 경우 바라보는 평면은 무한한 평면과 같이 느껴질 것입니다. 이 무한한 평면의 전하분포는 전하량으로는 표현할 수 가 없습니다. 무한한 평면에 전하가 10C 이 들어있어도 면밀도는 0 이고, 무한한 평면에 전하가 20C 이 들어있어도 면밀도는 0 입니다. 거꾸로 면밀도가 10 $C/m^2$ 가 있다고 해도 전하는 무한히 존재하고, 면밀도가 20 $C/m^2$ 가 있다고 해도 전하는 무한이 존재합니다. 우리가 무한한 평면을 다룰 때는 그 전하량에 대해서 이야기하는 것으로는 그 평면에 있는 전하의 양을 설명하는데는 부족한 설명방법이되어 버립니다. 따라서, 무한한 평면의 전하 분포차이는 전하량이 아니라 면밀도를 가지고 이야기합니다.

전기장의 방향

전하의 면밀도가 $\sigma$ 인 경우 전기장을 알아 봅시다. 여기가 교과서에서 말하는 경우의 시작과 같을 것입니다. 이 문제를 풀 수 있으면, 위에서 말한 유한한 평면에서 $d \ll l$ 인 극단의 상황의 답을 찾을 수 있는 것입니다.

전기장을 구하는 방법은 쿨롱의 법칙이나 가우스 법칙을 이용하는 것입니다. 쿨롱의 법칙과 가우스법칙은 결국 같은 법칙입니다.

이 법칙을 이용하여 수학적 계산을 하는 방법은 아주 다양한 기술들이 있습니다.

가우스 법칙을 이용하는 수학적 방법중 가장 기본적인 것이 전기 다발(전속, electric flux)을 구하여 푸는 방법입니다. 이 방법은 가장 간편할 수 있을지 모르나, 실제로 계산하는데는 아주 곤란한 경우가 많은 방법입니다. 특수한 경우들은 아주 간단히 전기장을 구할 수 있지만, 실제적인 문제에서는 하나도 도움이 안되는 방법이기도 합니다. 교과서에서는 아주 특수한 경우들만을 소개해주고 있습니다. 지금이 바로 그 아주 특수한 경우중 하나입니다.

먼저 곤란한 경우는 무엇을 말하는지 살펴봅시다. 가우스법칙을 적용하기 위해 아래와 같이 가우스면을 잡아 봅시다.

가우스면은 닫힌 면이고, 그 내부의 전하량이 가우면을 통하는 flux양과 비례관계를 가지고 있다는 것이 가우스 법칙입니다. 내부의 전하량이 0 이므로 flux 량은 0 일 것입니다. flux 가 0 이 되는 많은 경우를 flux 설명할 때 보았을 것입니다. 전기장이 0 이면 flux 가 0 이 되지만, flux 가 0 이라고 전기장이 0 인 것은 아닙니다. 그럼 전기장은 얼마인가요? … ‘아니 지금은 전기장이 얼마인지 알아보자고 시작한 것이잖아요!!!’ 네, 그러니 flux 를 이용해서 구하는 방법으로는 도저히 알 수가 없습니다. 지금이 바로 계산하는데 아주 곤란한 경우란 말입니다. 지금의 상태로는 가우스면을 어떻게 잡든 우리는 flux 의 값은 알 수 있지만, 전기장의 크기를 알 방법이 없습니다. ( 가우스 법칙이 틀렸다가 아니라, 가우스 법칙을 적용하는데 flux 를 이용하는 방법이 소용없다는 것입니다.)

그럼, 가우스법칙과 같은 법칙이라는 쿨롱의 법칙을 적용해 봅시다.

쿨롱의 법칙으로 전기장을 구하자는 말은 테스트 전하 +q (아주 작은 값) 를 놓고 전기력을 알면 전기장(E) 정의에 따라서 전기장의 크기와 방향을 알 수 있다는 것입니다.
위에서 거리가 d 만큼 떨어져 있다고 했지만, 쿨롱의 법칙에서 말하는 거리는 전하와 떨어진 거리 r이므로 같은 양이 아니란 것을 꼭 잊으면 안되고, 테스트 전하의 양 +q 는 알고 있지만, 평면에서 전하량은 면밀도를 통해서 값을 구해내야합니다. 뿐만 아니라, 그 전하들은 무한히 펼쳐져 있으므로 무한히 많은 전하들의 모든 값을 다 고려해 주어야 합니다. 쿨롱의 법칙을 통해 전기장의 크기와 방향을 구하는 것도 말은 쉽지 상당히 어렵기 짝이 없습니다.

하지만,

쿨롱의 법칙을 적용해서보자고 한 큰 이유는 전기장의 방향이 어떻게 되는지 알 수 있기 때문입니다. 아래와 같이 무한한 평면의 일부분만 고려한 전기장의 크기와 방향이 아래 와 같습니다.

정확히 반대편도 함께 고려하면 평면과 나란한 방향으로는 크기는 같고, 방향은 반대입니다. 전기장의 방향은 결국 평면의 수직 방향이 됩니다.

이런식으로 거리가 같은 모든점들을 고려해도 …

심지어 거리가 다른 점들을 고려해도..

그러므로, 무한한 평면의 경우 전기장의 크기는 계산이 어려워 모른다고 해도 전기장의 방향은 평면의 수직방향임은 분명합니다. 평면의 반대쪽의 경우 방향이 반대가 될 것입니다. 그러니까, 평면에서 멀어지는 방향일 것입니다.

여기서는 전기장의 방향을 살펴본 것입니다. 쿨롱의 법칙으로 크기까지 정확히 구하는 것에 관심이 있다면 다음을 살펴보십시오.

쿨롱의 법칙으로 무한 평면(부도체) 전하에 의한 전기장 구하기

전기장의 크기의 거리 의존성

전기장의 크기를 구하기 위해서는 모든 전하를 고려해야 하므로, 쿨롱의 법칙을 적용하면 모두 더해 주면 됩니다. 즉, 적분을 이용해줍니다. 하지만, 적분을 하지 않더라도 단순히 개념적으로 알 수 있는 사실이 하나가 있습니다. 거리 d 가 두배로 먼 거리가 되어 2d 이더라도, 3d 가 되더라도 … 얼마가 되더라도 전기장의 크기는 똑같다는 결과입니다. 왜냐면, 우리가 바라보는 평면이 무한이라고 했습니다. 따라서, 그 거리가 조금 늘어났다고 하더라도 평면입장에서는 아무런 변화가 없습니다. 느낌이 잘 안 오시나요?

아래의 그림은 거리가 d인 그림(위쪽)과 거리가 2d 인 것을 축소해서 그린 그림(아래쪽)입니다. 유한한 평면(오른쪽)의 경우는 분명 차이가 나지만 무한한 평면(왼쪽)은 아무런 차이가 나지 않습니다. 그러니, 무한의 평면에서 전기장이 거리에 따른 크기변화가 없다는 것이 놀라운 사실이 아닙니다. 무한이라는 가정때문에 생겨난 결과입니다.

이런 결과를 바탕으로 flux 를 이용한 가우스 법칙을 적용하는 연습을 해 봅시다. 지금은 전기장의 방향이 평면에 수직이다라는 사실을 이용하여 가우스면을 잡아봅시다.

위의 그림에서는 2개의 가우스면을 잡아보았습니다. 뚜껑에 해당하는 모양이 어떻게 되든. 옆면의 방향과 전기장의 방향은 서로 수직이므로 0 이 됩니다. 왼쪽 면의 전기장의 크기를 $E_l$ , 오른 면의 전기장의 크기를 $E_r$ 이라고 하면 이 전기장의 방향과 가우스 면의 방향은 서로 나란합니다. 그런데 가우스면의 면적이 $A$ 로 똑같습니다. 따라서, 전체 flux 를 구해보면
$E_r \cdot A - E_l \cdot A$ (가우스면은 닫힌 면으로 내부에서 외부로 나가는 방향의 가우스면 방향이 됩니다. ) 이 됩니다.
가우스법칙에 따라 이 flux 는 가우스면이 포함하고 있는 전하량과 비례합니다. 그런데, 이 경우에는 전하가 없으므로 flux 가 0 이 됩니다.
$E_r \cdot A - E_l \cdot A = 0$

그러니 $E_r = E_l$ 로 거리가 얼마이든 상관없이 전기장의 크기가 같다는 사실은 가우스 법칙으로도 확인 됩니다.

중요한 결과로 무한한 평면 전하에 의한 전기장의 크기는 거리 의존성이 없습니다.

전기장의 크기 값구하기

이제 그 전기장의 크기의 값을 구하는 일만 남았습니다. 그러기 위해서는 가우스면을 위에와 마찬가지로 방법으로 잡지만, 평면의 전하를 포함되도록 잡읍시다. 이제는 전기장의 크기가 거리에 상관없이 같다고 했고, 크기는 $E$ 라고 합시다.

가우스면 뚜껑에 해당하는 모양은 위처럼 아무 모양이라도 상관없습니다만 편의상 사각형으로 그렸습니다.

flux 는 $E \cdot A + E \cdot A$ (가우스면은 닫힌 면으로 내부에서 외부로 나가는 방향의 가우스면 방향이 됩니다. ) 가 됩니다. 그 때 내부에 있는 전하량은 면밀도 곱하기 면적이 되므로 $\sigma \cdot A$ 가 됩니다.
가우스법칙에 따라 flux는 $q/\epsilon_0$ 인 것을 알고 있으므로
$E \cdot A + E \cdot A = 2 E \cdot A = \frac{\sigma \cdot A}{\epsilon_0}$
즉, $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

정리

전하가 무한한 평면으로 있을 때 전기장을 구했습니다. 전하의 면밀도가 $\sigma$ 일 때, 전기장의 방향은 그 평면의 수직이 되며 크기 $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ 로 거리에 상관없이 일정합니다. 이 값은 유한한 평면의 아주 가까운 곳에서의 값과도 같을 것입니다.

그럼, 만약에 처음의 가정과 달리 전하들이 자유롭게 움직일 수 있다면 어떻게 될까요? 예를 들어 약간의 두께를 가진 도체에 전하들이 있었다면요..

물리공부할 때 단순히 수식을 암기하지 마시고, 그 과정을 잘 알고 그 의미를 잘 파악하는게 중요합니다. 이 과정을 알고 있다면 몇 초도 안 걸리게 이 식을 찾을 수 있습니다.