저항과 옴의 법칙 - 수험생 물리

V=IR 이란 이야기는 귀가 닳도록 많이 들었기 때문에 여기서는 좀 더 어렵게 설명하려고 합니다.
처음 들어 보는 분은
https://www.physicstutor.kr/998 (중학교 과정)
https://www.physicstutor.kr/1199 (EBS 강의 고등학교 과정)
를 먼저 보시기 바랍니다.

옴의 법칙

옴(Ohm)의 법칙은 물질에 가해준 전압(V)과 흐르는 전류(I)가 서로 비례관계에 있다는 법칙입니다. 축전기의 전하량(Q) 와 전압(V)가 서로 비례관계에 있는 것은 도체에서 축전기의 원리를 살펴볼 때 나오는 당연한 결과이지만, 물질에 가해준 전압(V)과 흐르는 전류(I)가 서로 비례관계인 것은 당연한 결과는 아닙니다. 물질에 특별한 일이 일어나는 물리법칙이 있다는 것으로 옴(Ohm)이 발견하고는 자기 이름을 따서 옴의 법칙이라고 합니다.

요즘은 전압(V)과 전류(I)가 정확히 비례관계를 가지지 않는 많은 현상, 소자들을 알고 있기 때문에 법칙이란 이름을 붙이기 무색하지만, 그래도 아주 작은 ( 0 에 가까운) 영역에서는 여전히 만족하므로 법칙이라고 해도 문제없을 것 같습니다.

저항(Resistance)

어떤 물질에 전압을 가할 수 있는 연결들을 그대로 둔 채 전압(V)을 높여주면 전류(I)가 증가하는 정도가 일정하다면 (정비례관계가 있다면) V = R * I 의 관계에서 R 이 일정하다는 것을 의미합니다. 그래프로 그린다면 기울기에 해당하는 값이 될 것입니다. 이 R 값을 저항이라고 이름지었습니다.

물론 전류(I)를 높여주어도 전압(V)가 높아집니다. 주변에서 볼 수 있는 장치는 대부분이 일정한 전압을 만들어주는 장치라 일정한 전류를 만들어 주는 장치를 이용하는 것이 혼동스러울까봐 이렇게 설명할 뿐입니다.

문제는 이렇게 옴의 법칙을 잘 따르는 경우 저항값이 일정하니까 별 문제가 없지만, 옴의 법칙을 잘 따르지 않는 경우는 전압(V), 전류(I) 값에 따라 R 값이 변하는 값이 될 것입니다. 이렇게 저항(R) 을 V/I 라고 정의하였기 때문에 다이오드와 같은 소자의 경우 전압(V), 전류(I) 가 정비례하지 않는 경우에는 전압 또는 전류값에 따라 저항이 일정한 값을 가지지 않습니다. 그러니, 옴의 법칙이 잘 만족되는 물질처럼 ‘다이오드의 저항이 얼마인가?’라는 질문을 하면 아주 곤란해집니다. 실제로 어느 큰 반도체회사의 어느 임원의 질문이었습니다. 여러분이라면 뭐라고 답하실것인가요?

저항값은 물질의 크기에 영향을 받습니다. 전압의 전극을 멀리 떨어뜨리면 저항이 더 커지고, 전류가 흐를 수 있는 단면의 크기가 넓어지면 저항이 작아집니다. 뭐 느낌으로 그렇수 있겠다고 받아들여지면 좋겠지만, 그렇지 않은 분들도 있을 것입니다. 여태까지 배운 전압과 전류의 개념을 잘 생각해보면 일정한 전기장이 있다면 거리가 멀어질 수록 전위차(전압)가 커집니다. 일정한 전류밀도를 가진 곳에서 면적이 넓어지면 전류가 더 커집니다. 전압과 전류가 이미 길이와 관계되도록 정의되어 있기 때문에 저항이 물질에 크기에 영향을 받는 것은 이상한 것이 아닙니다.

비저항(Resistivity)

두 물질의 성질을 비교하기 위해 저항을 비교하는 것은 적절한 방법이 아닙니다. 저항은 앞에서 말했다시피 물질의 크기에 영향을 받는 값이기 때문입니다. 두 물질의 성질을 비교하려면 두 물질의 길이, 단면적을 똑같게 한 뒤 저항을 비교해야합니다. 만약 길이와 단면적이 다르다면 저항값을 같은 길이, 단면적일때의 조건에서의 값으로 바꾸어 비교해야합니다. 이렇게, 길이, 단면적이 동일할 때, 즉 크기의 영향을 받지 않고 저항값을 비교하기 위해서 비저항(resistivity)이란 개념을 정의합니다. 그러면 비저항은 물질의 크기에 상관없이 물질의 성질에만 의존하는 값이 될 것입니다.

비저항을 $\rho$ 라고 하고, 저항을 R 이라고 하면 둘 사이에 어떤 관계가 있을까요? 단면적이 A 로 일정하고, 길이가 l 인 물질의 경우 $R = \rho \frac{l}{A}$ 의 관계가 있습니다. 말로 표현하면 저항은 전류가 흐르는 길이가 길어질 수록 커지고, 전류가 흐르는 단면적이 넓을수록 작아집니다.

옴의 법칙의 다른 표현

V = I * R 은 물질의 크기에 영향을 받는 값들도 이루어져 있는데, 물질의 크기에 영향을 받지 않는 값들로 바꾸어 쓸 수 있습니다. 단면적이 A 로 일정하고, 길이가 L 인 물질의 경우 V = E * L (E 는 전기장의 크기), I = J * A (J는 전류 밀도의 크기), R = $\rho \frac{l}{A}$ 는 알고 있으므로 이 값들로 식을 치환하면

$E = \rho J$
가 되는 것을 알 수 있습니다.

전기장과 전류밀도는 크기와 함께 방향을 가진량 (벡터량) 이므로 엄밀하게는
$\vec{E} = \rho \vec{J}$
란 뜻입니다. 이는 옴의 법칙의 또다른 표현이라고 할 수 있습니다. 각각의 위치별로 전기장의 위치와 방향이 바뀐다면, 전류 밀도도 전기장의 위치와 방향에 비례하여 바뀐다는 것을 알려주므로 크기뿐만 아니라 방향도 알려주고 있어서, V= IR 보다 좀 더 많은 것을 알려주는 표현입니다.

저항이란 말의 의미를 생각해보면

저항이란 이름이 어울리는 이유를 알아볼까 합니다. 지금까지는 물질에 전압을 가하면 전류가 어떻게 되는지 ( 전기장을 가하면 전류밀도가 어떻게 되는지)에 대해 알게 되었는데요. 이는 아주 특별한 현상입니다.

위의 왼쪽 그림과 같이 평행판 축전기와 같은 구조에서 평행판 사이는 진공으로 이루어져 있다고 합시다. 전압(V)를 가하고, 그 사이에 흐르는 전류(I)가 얼마인지를 알아보겠습니다. 평행판 사이에 전하 q 를 두면 쿨롱의 법칙을 생각하면 V의 전압이 걸린 두 평행판의 표면에 있는 전하들이 q를 당기고 밀고 하는 힘(전기력)이 작용할 것입니다. 따라서, 뉴턴의 법칙에 의하면(F=ma) 이므로 전하 q는 가속운동을 하게 될 것입니다. 전기장으로 생각하면 두 평행판 사이의 전기장의 크기 E = V/d (d는 평행판 사이의 거리) 가 되고, 힘 F = qE = qV / d 만큼의 힘을 받게 됩니다. 전위로 생각하면, 전위가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 움직일 것입니다. 어떻게 생각하든 거리 d 만큼 움직일 때 전기력이 한 일의 양은 F*d=q*E*d=q*V 가 될 것입니다. 받은 일만큼 이 전하 q 는 운동에너지가 증가하고, 처음의 속력이 얼마였든, 나중에는 속력이 증가할 것입니다. ( 가속도 운동을 한다는 뜻입니다.) 운동에너지의 증가량은 전기력(전기장)에 의한 것이고 퍼텐셜에너지 qV 만큼 증가한 것입니다. 전류밀도(J)와 전하의 속력(v)의 관계를 생각해보면 나중의 속력이 증가했다는 말은 전류밀도(J)가 증가했다는 것이고, 그말은 전류(I)가 증가했다는 뜻입니다. 전기장(E)가 일정하더라도 전류밀도(J)가 위치에 따라 일정하지 않습니다.

옴의 법칙을 보면 전류밀도(J)는 전기장(E) 와 비례합니다. 전류밀도(J)가 일정하면 전기장(E)도 일정합니다. 즉, 옴의 법칙은 진공에서 쓰는 법칙이 아니라 물질이 있는 곳에서 전류(I)와 전압(V), 전류밀도(J)와 전기장(E)의 관계를 나타내는 것이므로 물질이 있는 곳에서는 위와 같은 현상이 일어나지 않고, 전류밀도(J)가 일정하고 전하의 속력(v)도 일정하다는 것입니다. (오른쪽 그림) 진공이었다면 증가할 전하의 속력이 물질이 있는 곳에서는 증가하지 않는다는 것이고 무엇인가 전하의 속력을 증가하는 것을 방해하고 있다, 저항하고 있다는 뜻이됩니다. 그러니, 저항이란 용어를 사용하는 것은 이런 개념이 숨겨져 있습니다.

저항에서 소비되는 에너지, 전력

전압(V)를 가하고 저항을 통과한 전류(I)가 일정할 때, 시간 t 동안 지나간 전하량(q) 는 I*t 가 될것입니다.저항을 통과하기전 전하가 가진 퍼텐셜에너지는 저항을 통과한 후 퍼텐셜에너지가 낮아질 텐데, 전압(V) 만큼 다른 곳이므로 그 차이는 퍼텐셜에너지는 qV = (I*t)*V 가 됩니다. 위에서 살펴본바와 같이 진공이었다면 이만큼의 퍼텐셜에너지는 전하의 속력의 증가( 운동에너지의 증가)로 나타나지만, 저항을 통과할 때는 속력의 변화가 없이 운동에너지도 일정합니다. 저항을 통과하면서 퍼텐셜에너지는 전하가 아닌 다른 곳으로 전달되었다는 말이며, ‘소비(소모)’되었다고 표현합니다. 그래서, 소비된 에너지는 I*V*t 가 되고, 시간당 소비된 에너지는 I*V 로 소비전력(P)이라고 합니다.

에너지가 소비되었다는 말은 물리적 표현은 아닙니다. 물리개념에서는 에너지는 사라지는게 아니라 다른 형태로 변할 뿐입니다. 저항을 통과하였을 때 ‘소비’된 에너지는 열에너지 형태로 변환되는 것입니다. (에너지 보존 법칙이라고 합니다.) 저항에 전압을 가하면 열이 발생하는 것을 이용한 대표적인 장치가 히터입니다. 여기서 소비되었다는 것은 경제적의미, 일상적 의미에서 ‘소비’입니다.

소비전력에 대한 관계식은 옴의 법칙(V=IR)을 통해 다른 형태로도 바꿀 수 있고, 저항(R) 을 모를 때는 P=IV, 전류(I)를 모를 때는 P = V^2/R, 전압(V)를 모를 때는 P=I^2*R 로 고쳐서 소비전력을 찾을 수 있습니다.

정리

저항과 저항에서 일어나는 기본 법칙인 옴의 법칙을 알아보았습니다. 물질이 있는 곳에서 적용하는 법칙이며, 전압,전류,저항은 물질의 크기에 의존하는 양입니다. 물질의 성질에만 의존하는 양으로 표현할 때는 전기장,전류밀도,비저항의 관계로 표현할 수 있습니다. 저항이란 용어에서 드러나듯, 물질을 통과하게 되면 전하가 가진 퍼텐셜에너지를 잃게되는데 이때 잃어버린 퍼텐셜에너지를 시간당 에너지량으로 표현한 것이 소비전력입니다.