개관진동, 폐관진동

현악기나 타악기에서 소리가 나는 것은 물체의 진동이 결국 공기를 진동시켜서 소리가 나게되고, 이때, 줄이나 물체의 고정된 부분이 있어 공기의 진동은 정상파가 만들어지며, 진동하는 부분의 길이에 따라 음의 높이가 바뀌게 된다는 것입니다.

소리에 대해서는 https://www.physicstutor.kr/1772 팽팽한 줄에서 정상파는 https://www.physicstutor.kr/1743 에서 살펴 보았습니다. 이글은 두 내용을 알고 있다는 가정하에 써져 있습니다.

그 다음은 관악기에서 소리가 나는 것을 설명해야하는데, 저도 이 부분은 그냥 외어서 풀었고 왜 그렇게 풀어야 하는지 관심이 없었고, 그렇다고 답을 틀리는 일은 없었습니다. 요즘와서야 왜 그렇게 해야하는지에 대해서는 조금 궁금해서 찾아보았고 그러다 보니 책에서 왜 그렇게 설명하고 있는지는 알게 되었습니다. 설명들에서 아리송했던 것들은 일단 나중에 자세히 설명하기로 하고 먼저 문제를 풀수 있는 결과만 먼저 소개하겠습니다.

관악기에서 소리가 나는 것은 관 안의 공기가 진동하기 때문으로 설명합니다. 관 안의 공기가 기둥 모양을 하기 때문에 공기의 기둥을 한자로 ‘기주’라고도 합니다. (가끔 이런 표현을 쓰는 설명이 있습니다.) 타악기가 아닌 관악기를 때려도 소리가 나겠지만, 그건 물체의 진동으로 타악기처럼 설명하면 되는 것이고, 여기서는 관악기에서 공기를 불 때(공기를 진동시킬때) 소리가 나는 현상을 설명하려는 것입니다.

팽팽한 줄에서 정상파 생각하는 것 처럼 관안의 공기기둥의 진동도 정상파가 이루어져있다는 것입니다. 개관은 열린관이란 뜻이고, 폐관은 닫힌관이라는 뜻인데, 양쪽 모두 닫힌 곳에서 공기를 움직이게 할 수 없으니까, 아래 그림에서 1) 한쪽은 막혀있고, 다른 한쪽은 열려 있는 경우(폐관진동), 그리고, 2) 양쪽다 열려 있는 경우(개관진동)만 생각하면 됩니다. 양쪽이 다 막히는 것은 생각할 필요가 없습니다.

보통 대부분의 물리책에서는 빨간 선들이 그려진 왼쪽 그림과 같은 그림을 그려서 설명합니다.

닫혀있는 곳은 정상파의 마디(node)가 되고, 열려 있는 곳은 정상파의 배(antinode)가 되는 정상파를 그려 놓았습니다. (그러면 한쪽만 열린 경우(폐관진동)와 양쪽이 열린경우(개관진동) 가능한 정상파의 모양은 다르게 됩니다. ) 문제를 풀 때는 가능한 정상파를 그려보는데, 닫힌곳은 마디, 열린 곳은 배가 되는 모양을 그려놓고 난 뒤 이걸 숫자로 바뀌어 씁니다. 물론 배,마디가 증가하는 순서로 그림을 그리는 경우라면 숫자로 바꾼다음, 수식으로도 바꿀 수 있습니다. 수식으로 표현하면 조금 복잡하게 되는데 (어떤 것은 홀수배, 어떤것은 짝수배, 파장도 1/4,1/2 …), 굳이 이런걸 외울 필요도 없고 외어도 잊지 않는다는 보장은 없습니다. 개념에 맞춰서 그림을 먼저 그리고, 숫자로 쓰는게 훨씬 편하니 수식은 만들지 않겠습니다. (저는 외는데는 자신이 없기 때문에 수식은 어떻게 되는지 외고 있지 않습니다.)

뭘하자는 것인지 잘 모르겠다는 경우는 먼저 정상파를 다시 공부하는게 더 바람직해 보입니다. ( 정상파 )

왼쪽과 오른쪽 그림의 차이 – 변위, 압력의 차이

그런데, 저는 파란색으로 선을 그린 오른쪽 그림도 같이 그렸습니다. 이번에는 정반대로 닫혀있는 곳이 정상파의 배가 되고, 열려 있는 곳이 정상파의 마디가 되게도 그렸습니다. 모양이 다를 뿐 정상파를 만족하는 파장을 구해보면 왼쪽과 똑같은 결과를 얻게 됩니다.

어떤 책은 이렇게 오른쪽 그림을 그려서 설명하는 경우도 있습니다. 우리는 정상파가 생긴다는 사실만 궁금해 했지, 이게 무었을 표현한 것인지를 신경쓰지 않았기 때문에 책에 따라 왜 그림이 다른가를 눈치채지 못했던 것입니다.

왼쪽 그림은 공기가 얼마만큼 움직였나(변위)를 표현한 것이고, 오른쪽 그림은 공기의 압력을 그래프로 표현한 것입니다.

사람들이 흔히 하는 질문으로 ‘소리는 종파라는데 왜 횡파로 그리나요?’가 있는데 여기서도 한번 더 설명하면 지금 그린 것은 소리가 움직인 모양을 그린게 아니라 왼쪽은 공기가 움직인 양, 변위(y축)를 위치(x축)에 따라 그린 것이고, 오른쪽은 공기의 압력(y축)을 위치(x축)에 따라 그린 “그래프”입니다.

배경이론을 좀 자세히 들여다 보니, 공기의 진동(소리)에서 알 수 있는 결과 중 하나가 공기의 움직인 양(변위)과 공기의 압력사이에는 90도 위상차가 있다는 것입니다.

교류를 가한 축전기의 전압과 전류가 90도 위상차가 존재한다 것과 같은 현상입니다.

이게 뭔 말인지 이해하기 싫은 분은 그냥 그렇다 치고, 이렇게 위상차가 생기면 정상파에서는 변위와 압력사이에는 서로 반대 모양이 됩니다. ( 배가 마디가 되고, 마디가 배가 됩니다.) 왼쪽 그림에서 배가 되는 자리는 오른쪽에서 마디가 되고, 왼쪽 그림에서 마디가 되는 자리는 오른쪽에서 배가 됩니다.

왜 관에서 정상파가 이렇게 되는지까지 알고 싶다면

현악기의 팽팽한 줄에서 정상파가 생기는 이유가 줄의 양쪽을 고정시켜 놓았기 때문이라고 설명한다면 , 양쪽이 열려있는(개관진동) 관악기에서 정상파가 생기는 이유는 양쪽 끝에서 공기의 압력이 대기압으로 일정하기 때문이라고 설명할 수 있겠습니다. 이것은 팽팽한 줄 끝에서는 줄의 위치 변화 없는 정상파를 만들고 관악기의 소리는 개관의 끝에서 압력의 변화가 없는 정상파를 만드는 것이 서로 대응돠는 관계입니다.

이런 설명방법은 위에서 파란색선을 그린 오른쪽 그림으로 그리는게 더 명쾌합니다. 하지만 이 경우는 위치의 변화가 아니라 압력의 변화가 없는 조건이란 것이 잘 이해 되지 않을 것입니다. 그래서 왼쪽 그림으로 설명하는것 같은데 그러면 양쪽 끝이 배가 되는게 잘 이해되지 않습니다. 처음 배울 때 어느쪽이든 잘 이해가 안되는 게 정상인 듯 합니다. 저야 배운지 오래되었으니까 이제 곱씹어서 알게 된 것이고..

한쪽은 막혀있는(폐관진동) 관악기에서는 막혀있는 부분으로 공기가 움직일 수 없고 열려있는 부분은 대기압이 일정하니 공기의 압력이 일정하다는 조건을 만족는 정상파가 생긴다라고 설명할 수 있겠습니다.

좀 특이한 폐관진동을 더 따져 보면 막힌 부분으로 공기가 움직일 수 없으므로, 즉 변위가 0 이 되어야 하고, 열려있는 부분은 압력의 변화가 0 (압력이 일정) 이어야 합니다. 변화가 0(=값이 일정)인 자리는 정상파의 마디가 되어야 합니다. 변위를 표현한 왼쪽 그림은 막힌 부분이 마디가 되고, 압력의 변화를 표현한 오른쪽 그림은 열린 부분이 마디가 됩니다. 변위와 압력의 변화는 90도 위상차가 있기 때문에 왼쪽 그림의 마디는 오른쪽 그림의 배, 왼쪽 그림의 배는 오른쪽 그림의 마디와 같습니다.

이글을 읽는 대부분은 뭔말인지 모르겠다고 생각할 것입니다. 정상입니다. 걱정하지 마세요. 이유를 잘 몰라도 문제는 풀 수 있습니다. 화이팅!!

모델 수정

위의 그림에서 L 은 관의 길이인 것 같은 느낌을 주도록 그렸는데, 이게 복잡한 상황을 단순화 할 수 있기 때문입니다. 기본적으로 이렇게 가정해서 문제를 풉니다. 그런데, 기출 문제들을 보면 그렇게 풀때 답이 안나오는 문제를 출제하네요…즉 현실에 좀 더 가까운 문제를 출제하네요…

위 모델에서 L은 정상파가 생기는 곳의 길이, 즉, 공기가 떨리는 곳, 즉 기주의 길이를 말하는 것이지 관의 길이를 말하는 것은 아닙니다. 관의 길이와 공기 기둥(기주)의 길이가 딱 똑같으면 편할텐데 실제로는 L 이 관보다 살짝 길다고 합니다. 위 설명에서 말했듯 대기압때문에 공기의 압력(=기압)이 일정한 조건이 반드시 관의 끝은 아닐 것이고 약간 관의 끝보다는 떨어져 있을 수 있을 것입니다.

공기 기둥의 길이 L 을 관의 길이로 대체하지 못하는 문제가 다수 출제되고 있으니 조심하세요. (문제를 직접풀어 둔게 있으니 참조하시길..) 즉, 언제는 관의 길이 대신 L을 써도 되지만, 언제는 또 관의 길이를 L 로 쓰면 안되는 문제도 나온다는 말입니다. 관의 길이 대신 L 을 사용하는 것이 가장 기본 모델이지만, 현실 문제에서는 이 모델이 맞지 않으므로 관의 길이 + alpha가 L 이라고 모델을 수정해서 발전 시키는 것입니다. 주어진 문제에서 어떤 모델을 쓴다까지 가르쳐 주는 것은 아닙니다. 문제를 풀 때 기본 모델로 답이 나오는지 보고 그렇지 않다면 수정된 모델을 써야 합니다.

정리

관에서 정상파가 생기는 모양을 그림으로 살펴보았습니다. 그림만 알고 있으면 문제를 푸는데는 지장이 없지만, 왜 이렇게 되는지가 궁금한 분을 위해서 설명을 추가했습니다. 물론 뭔말인지 모르겠다는 분이 많겠지만…. 저도 이유는 몰랐어도 문제는 다 풀 수 있었습니다. 좌절하지 마시길..

공무원 7급 국가직 기출문제 풀어보기

2009
2007
2013
2017

참조 자료 : 루벤스 튜브

우연히 유튜브 동영상( https://www.youtube.com/watch?v=oQFHrBYIXY4)에서 루벤스튜브(Rubens’ Tube)에 대해 알게 되었습니다.

위에서 설명드린 것처럼 소리는 공기의 진동이고 이는 압력의 변화와 관계있습니다. 구멍을 뚫어 둔 관에 물을 채우면 물이 빠져 나오듯이 관안에서 가연성기체(동영상에서는 LPG가스)를 일정한 압력으로 공급하면 구멍에서 기체가 나올 것입니다. 각 위치별로 압력이 다르면 베르누이 법칙에 따라 기체가 나오는 속도가 다를 것이므로 불꽃의 높이도 다르게 나올 것입니다. 그래서, 불꽃의 높이는 관안의 압력에 따라 달라질 것입니다.

위 사진은 정상파가 생기는 조건이 되도록 음높이를 조정했을 것입니다.