단위와 차원 - 수험생 물리

물리문제는 수학과 달리 항상 단위를 달고 다닙니다.

기본 단위

거리는 미터 [m] , 시간은 초 [s], 질량은 킬로그램 [kg] , 전류는 암페어 [A] 와 같은 것들을 말합니다. 지금 쓴 것은 표준적인 교과서에서 쓰는 기본 단위들입니다. 물리량들을 표현하기 위해 이런 기본 단위 쓰는 것을 각각 염문의 앞글자를 따서 MKS (미터, 초, 킬로그램) 단위계라고 합니다. 암페어를 포함할 때는 MKSA 단위라고 합니다. 보통의 교과서들은 MKSA를 바탕으로 단위를 표현합니다.

기본 단위만으로 표현하기에는 더 번거로울 수 있습니다. 숫자가 너무 크거나 작으면 10의 몇 승이나 되는지를 알아보기 쉽게 만들 필요도 있습니다. 그래서, 이런 표준적 단위이외에도 보조적으로 접두사를 붙이기도 합니다. 킬로미터[km], 밀리 그램[mg]과 같이 k, m 은 각각 1000배, 1/1000배를 나타내는 접두사를 붙여 쓰기도 합니다. 질량의 기본 단위는 오히려 k 란 접두사가 붙어있는것을 기본 단위로 삼습니다.

표준이라고 만든다고 모두 잘 지키는 것은 아닙니다. 뿐만 아니라, 너무나 익숙한 나머지 표준의 기본 단위가 아닌 것들을 자연스럽게 사용하기도 합니다. 시간의 분[min] 과 같은 것들입니다.

시험문제 풀 때 단위의 중요성

시험 문제에서 거리는 km, 무게는 g , 시간은 min…. 이렇게 기본 단위가 아닌 단위로 값을 주면서 답은 얼마인가를 물어 볼때는 조심해야합니다.
답이 원하는 단위가 아닐 수 있거나 아예 관계식이 안 맞을 때도 있습니다.

> 저는 여러분이 공식이라고 말하는 것을 관계식이라고 표현하고 있습니다. 공식이라는 것의 본래의 뜻과 물리에서 나오는 관계식들과는 전혀 어울리지 않기 때문입니다.

답이 원하는 단위가 아닌 경우의 예를 들면 다음과 같습니다.

5[km/min] 의 평균 속력으로 3[s] 동안 진행 한 물체는 몇 미터[m] 가는가?

거리 = 속력 * 시간 = 5 * 3 = 15 이렇게 쓰면 반드시 틀립니다.

거리 = 속력 * 시간 = 5 [km/min] * 3[s] 라고 쓰고 이것을 답이 원하는 단위인 [m] 로 바꾸는 방법을 생각보아야 합니다. 그냥 감각적으로 고치는 경우도 있는데, 제도 그렇게 하다가 복잡한 경우에 틀리는 경험을 많이 했기 때문에 교과서에서 소개 받은 방법을 씁니다.

1 km = 1000m , 1min = 60s 이니까

1[km] / 1000[m] = 1 , 1000[m]/ 1[km] = 1

60[s] / 1[min] = 1, 1[min]/60[s] = 1

1을 곱하거나 나누어도 값이 바뀌는 것이 아니니까 여기의 1을 잘 이용해서 [m] 가 남도록 고칩니다.

(수학이랑은 다른, 1 = 1 이 안되는 ….물리에서만 나오는 계산법이죠. )

즉 5[km/min] * (1 = 1000[m]/1[km] ) * (1=1[min]/60[s] ) * 3[s] 라고 쓰고 나면
> 처음은 [km] 을 없에기 위해서, 다음은 [min] 을 없애기 위해서 1을 곱해줍니다.
결국 5 * 1000 / 60 * 3 [m] 가 되고, 숫자는 250만 남습니다.

답은 250 m 가 되네요.

단위가 잘못되면 관계식 자체가 모양이 바뀌는 경우도 생깁니다.

PV=nRT 에서 T는 반드시 절대온도여야만 맞습니다. 만약에 섭씨온도 C 를 쓰고 싶다면 PV=nR(C+273) 이란 식을 적용해야합니다.

물리문제에 대한 답은 반드시 단위를 붙여야 합니다. 거리가 5 란 것은 존재하지 않습니다. 5m 인지, 5cm 인지, 5인치 인지 5피트 인지, 5척인지 알 수 없습니다.

답으로 요구하는 물리량과 단위가 같아야 합니다. 거리가 5kg 이라고 썼다면 분명히 뭔가 틀린 생각을 하고 있다는 것입니다.

> 하지만 저도 게으른 사람이기 때문에 이 블로그 문제 풀이에는 계산 과정에는 편의상 MKSA 의 기본단위가 아닐 때만 단위를 붙여쓰고 있습니다.

유도 단위와 차원

물리량들은 이런 기본단위의 곱하기/나누기로 모두 표현할 수 있습니다만 너무 복잡하니까 쉽게 표현하기 위해서 다른 유도된 단위를 쓰기도 합니다.

뉴턴의 두번째 운동 법칙 F = m a 의 경우,

F [N] = m [kg] * a[m/s] 가 됩니다.

단위만 보면 [N] = [ kg * m / s ] 가 됩니다.

뉴턴[N] 이란 단위는 MKS 로 [ kg * m / s ] 를 쓰면 복잡해지는 것을 대신해서 쓰는 단위입니다. 유도 단위라고 합니다. 이런 단위들은 새로운 개념을 배울 때마다 거의 매번 나타납니다. 일 [J] , 전하량 [C], 소비 전력[W] ….. 그렇지만, 모든 단위들은 MKS + A (암페어) 의 기본 단위의 곱으로 바꿔쓸 수 있습니다.

> C(쿨롱) 이 기본 단위가 아니고 A가 기본단위로 쓰는 것은 약간 못마땅합니다. 사실 [A]는 [C/s] 이고, 쿨롱의 법칙으로 전기력 구할때 당연 [C]를 쓰는게 편합니다. 그런데, 왜 A 를 기본단위로 했을까요? 여기에는 아픈 사연이 있습니다. [A] 가 [C] 보다 정확히 측정하는데 편하다는 사실입니다. 한국표준과학연구원의 블로그에 [A]란 기본 단위에 대한 이야기가 있습니다.

M,K,S,A 는 서로 절대 바꿔쓸 수 없는 기본적인 단위입니다. 물리에서는 바꿔쓸수 없는 기본적 개념들이란 거죠.

물리에서 바꿔 쓸 수 없는 기본적인 물리량들의 몇개의 곱하기(또는 나누기)인가를 나타내는 것을 차원(dimension)이라고 합니다. 면적은 길이 * 길이 의 개념으로 길이의 2제곱입니다. 이렇게 길이,질량,시간,전류의 몇 승이란 표현을 하는 것으로 소개하지만 오히려 번거롭습니다. 차라리 저는 단위의 몇 승으로 받아 들이는 것이 더 편하더군요.

사칙 연산과 차원

> 새로 물리를 배우는 시즌이라 그런지 평소에는 잘 읽어보지 않는 글인데 조회수가 늘어났습니다. 질문을 하나 받으면서 추가해야겠다고 생각하여 쓴 부분입니다.

물리에서 단위와 차원은 수학과 구별되는 중요한 지점입니다.
예를 들어 어떤 물체의 위치를 x로 표시하고 시간을 t라고 했을 때
t=0 일 때 x=3, t=1 일 때, x=5, t=2 일 때 x=7 … 에 있다고 합시다.
수학시간에는 문제가 없는 표현이지만 물리시간에는 이렇게 표현하면 잘못된 것입니다.
단위가 빠졌습니다. 그래서 더 정확히는 시간과 물체의 위치에 대한 단위가 있어야 합니다. SI 단위를 써서 시간은 [s(초)] 위치, 거리는 [m(미터)]란 단위를 쓰기로 합시다.
그러면 이 물체의 위치는 시간에 따라
x = 3 + 2 t 로 표현하는 것 보다 정확히는
x [m] = 3 [?] + 2 [?] t[s] 가 될 것입니다.
? (물음표)를 가지고 있는 부분도 사실은 단위가 있어야 합니다.
t=0 일때 x=3 이란 것은 0[s]에 3[m] 에 있다는 말이므로
x [m] = 3[m] + 2[?] t[s] 가 됩니다.
여기서 2 도 단위를 가지고 있어야 합니다.
t = 1일때 t=0 일때 보다 2[m]가 더 커졌으므로 시간과의 곱을 생각해보면
2[m/s] 란 단위를 가진 것으로 짐작할 수 있습니다.
그래서,
x [m] =3[m] + 2[m/s] t[s] 가 훨씬 정확한 표현입니다.
> 하지만 보통은 [ ] 의 단위부분은 생략해서 표현하는게 관습입니다.

이렇게 단위와 차원을 따지는 것을 잘 알면 여러 의미를 파악하는데 도움이 되는데, 위의 경우 등속 직선 운동을 하고 있는 물체이며 2[m/s] 란 바로 이물체의 속력을 말하는 것입니다. 속력의 단위인 [m/s] 가 자연스럽게 나와있는 것을 알 수 있습니다.

이 문제를 좀 더 추상적으로 표현하면
\( x = C_1 + C_2 \cdot t \) 의 관계에 있을 텐데요.
\(C_1\), \(C_2 \) 의 차원은 어떻게 되는가 묻는다면 (게시판에 올라온 질문 내용입니다.) 알아 두어야 할 게 있습니다.
이 관계식에서 각 항들은 모두 동일한 차원이어야 합니다.
x가 길이의 차원을 가진 양이므로 \(C_1\), \(C_2 \cdot t\) 도 길이의 차원을 가지고 있습니다.
물리식에서 더하고, 빼는 양들은 모두 동일한 차원을 가진 양들입니다.

또 다른 예로
\( x= \frac{1}{2} g t^2 \) 란 식을 봅시다. ( 자유낙하시 물체의 이동거리를 나타내는 식입니다.
x 는 길이의 차원을 가진 양이고 SI 단위로 [m] 라고 하고
t 는 시간의 차원을 가진 양이며 SI 단위로 [s] 라고 합시다.
그렇다면 g 부분은 길이/(시간.시간) 의 차원을 가진 양이고 SI 단위로는 [m/s^2] 이 될 것입니다.
g의 단위를 볼 때 이는 가속도와 동일한 단위를 쓰고 있습니다. 즉 가속도 양이란 것을 알 수 있습니다. 물론 이 상수의 이름을 중력가속도라고 합니다. 가속도란 이름이 붙은 것이 이상할게 하나도 없단 말입니다.

이 예제에서 숫자 2로 나누어 주는 것 때문에 소개를 하는 것인데요.
이 2는 그냥 수학에서 말하는 2를 나누어주어란 의미로 차원을 가지고 있지 않습니다.
이런 숫자로 나누어 주거나 곱해주는 것은 차원에 영향을 주는것이 아닙니다.
예를 들어 3[m] 나무 막대기를 2 로 나누면 1.5[m] 가 되지만 여전히 나무 막대기의 길이는 길이의 차원을 가진 ([m]의 단위)를 가진 양입니다.
이 2는 그냥 수학시간에 말하던 숫자의 의미를 가지고 있을 뿐입니다. 이런 숫자로 곱하고 나누는 것은 차원에 영향을 주지는 않습니다.

그러니까 물리식에서 어떤 숫자가 나왔을 때 이 숫자가 수학에서 말하는 곱하고, 나누는 의미가 있을 수도 있지만, 어떤 숫자들은 특별한 차원을 가진 값일 수 있습니다.
특별한 차원을 가진 양들은 모두 **상수, **계수란 이름을 가진 양이며 이것은 그냥 숫자가 아니라 물리량들입니다. 중력가속도(이건 ** 상수란 이름을 가지고 있지는 않군요)뿐만 아니라 만유인력 상수, 쿨롱 상수, 용수철(스프링) 상수.. 등이 있습니다. 이런 물리량의 숫자값은 단위를 바꾸게 되면 값자체는 바뀝니다. 물론 각자 나름 대로의 차원을 가지고 있는 양들이며 단위를 바꾼다고 차원이 바뀌는 것은 아닙니다.

> 나무 막대기의 길이가 1m 라면 길이의 차원을 가진 양이지만, 100cm 라고 단위를 바꿔쓴다고 할지라도 여전히 길이의 차원을 가진양입니다.

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 1

저 같이 기억력이 나쁜 사람은 물리 관계식이 잘 기억나지 않을 때가 많이 있을 것입니다. 관계식이 헷갈릴때 커닝하는 방법을 알려드리겠습니다. 예를 들어 설명하겠습니다.

가속도= 속도/시간의 공식을 안다면 가속도의 단위는 [m/s]/[s] = [m/s^2] 임을 알 수있습니다. 그럼 구심가속도 (구심력/질량) 의 단위도 가속도이므로 [m/s^2] 임을 알 수 있을 거구요…

이게 \( r v \) 인지,\( r v^2 \) 인지 \( \frac{v^2}{r} \) 인지 \( r \omega \) 인지 \( r^2 \omega \) 인지 ( \( r \)은 반지름, \(v \)는 속도, \( \omega \)는 각속도) 무려 5가지가 떠오르지만, 도저히 기억이 나지 않을 때는 단위를 확인하면 틀린 것은 찾을 수 있습니다.

> 그냥 아무 생각없이 적어 본 5개의 관계식입니다.

\( r v \)
[m]x[m/s] = [m^2/s] : 가속도가 아니군.

\( r v^2 \)
[m]x[m/s]^2 = [m^3/s^2] : 가속도가 아니군.

\( \frac{v^2}{r} \)
[m/s]^2/[m] = [m/s^2] : 이건 가능성이 있군.

\( r \omega \)
[m] x [1/s] = [m/s] : 가속도가 아니군

( 각속도는 각/시간 인데 각은 rad 을 씁니다. rad = 호의 길이 / 반지름 = [ ] 단위가 없습니다. [호도법을 쓰는 이유]에서 잘 설명해두었습니다. 따라서 각속도는 [1/s] 가 됩니다. )

\( r^2 \omega \)
[m]^2 X [1/s] = [m^2/s] : 가속도가 아니군..

\( \frac{v^2}{r} \) 만이 유일하게 가능한 경우입니다.

뿐만아니라, \( r \) 과 \( \omega \) 로 [m/s^2] 되려면 \( r \omega ^2 \) 이 되면 가능성이 있는 경우란 것을 추정할 수 있습니다.

이렇게 하면 관계식이 헷갈릴때 검증이 가능합니다.

> 물론 단위에 대한 훈련이 필요합니다. 저는 기억력이 나빠, 연습 많이 해 두었습니다. 거의 대부분의 관계식을 몇 초 안에 검증하고 지나갑니다. )

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 2

PV = nRT 에서 n 의 단위가 생각이 나지 않더라도 찾을 수 있습니다. 재빨리 문제에서 주어진 단위를 보세요. R = (얼마더라?) [ J / (mol K) ] 라고 적혀 있을겁니다.

> 전 정말로 얼마인지 모릅니다. 그런 값을 외우는 것은 물리 공부가 아니라서… 다만 찾아 낼 수는 있습니다. 1atm 일 때, 22.4L, 1mol 은 외고 있어서요.)

P 는 압력 = 힘/면적

V 는 부피 = 면적 * 길이

PV 는 힘* 길이 ==> 에너지 ==> [J] 입니다.

> 이 정도는 저에게는 아주 쉬운 일입니다. 여러분도 연습하면 금방 된다고 믿고 이 글을 쓰고 있습니다.

PV = nRT 에서 왼쪽은 [J], 오른쪽은 [모르는 단위] [J / (mol K)] [K],

n 은 [mol] 이란 단위인 것을 알 수 있습니다.

그런데 만약 R 자리에 단위가 [J / (kg K) ] 라고 적혀 있으면 n 은 kg 이란 뜻이죠..

뿐만 아니라 ( atm L) / (mol K) 이란 단위를 쓰고 있었다면, P 압력의 단위는 atm, V 부피의 단위는 L 라는 뜻입니다.

> 화학에서는 이런 더 단위를 좋아할 겁니다. 화학책을 꺼내서 보면 물리책에서의 이상기체상수 값과 다르게 나와 있을 수도 있습니다. 값이 다른 이유는 물리법칙과 화학 법칙이 다른게 아니라 사용하는 단위가 다르기 때문입니다. 아주 많은 사람들이 ‘이상기체 상태방정식의 단위’를 궁금해하면서 검색합니다.

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 3

아예 처음 보는 물리 문제를 풀어내는 커닝이 가능합니다.

자기쌍극자 [A m^2] 가 어쩌구 저쩌구 ……. 전류가 어쩌구 저쩌구, 자기장이 어쩌구 저쩌구…..

난 자기 쌍극자가 뭔지도 모르는데…

그럼 이럴 때는 찍어야지요, 그냥 찍지 마시고,

단위를 보시지요. [A m^2] 전류와 면적이잖아요… 전류값과 면적에 해당한 거 찾아서 곱한 값으로 찍으세요..

> [기출문제](https://blog.naver.com/happie/221268764550) 풀때 실제 경험했던 것입니다. 자기쌍극자 문제는 잘 안나오니 다 까먹었는데 답은 맞췄습니다.)

차원과 단위를 잘 알면 도움이 되는 예 4

물리를 이해하는데 도움이 됩니다.

여러분에게 관심이 없을 수도 있으니 링크만 남겨둡니다.
플랑크 상수의 차원