컴프턴(Compton) 효과 - 수험생 물리

[광전효과]와 함께 빛의 입자적 성질을 보여주는 대표실험입니다. 이 실험을 한 Compton 도 노벨상을 받은 중요성이 있는 실험이긴 한데, 광전효과가 시험 문제를 내는데는 너무나도 좋은 것들이 많기 때문에 시험에는 잘 안 나오는 주제이긴 합니다.

빛의 입자적 성질

[광전효과]에서 빛의 입자적 성질을 보일때 광자 하나의 에너지란 개념을 생각하는 것과 같이 운동량 개념도 생각할 수 있을 것입니다. 우리가 알고 있는 지식들을 총동원해봅시다.
특수상대성이론에서

에너지 \(E = \sqrt{m^2c^4+(pc)^2}\) (\(m\)은 질량, \(c\)는 빛의 속력,\(p\)는 운동량)

임을 알고 있습니다. 빛이 입자라고 해서 물질은 아니며, 질량\(m\)은 0 임을 말씀드렸습니다.

그러므로 위의 식에서 \(E = pc \) 라는 일반 물질과는 다른 값을 얻을 수 있습니다. 그래서, 광자 하나의 운동량이 \(p = \frac{E}{c}\)가 아닐까라고 추정해 볼 수 있습니다.

광전효과에서 \(E = h f\) (\(h\)는 프랑크 상수 ,\(f\)는 진동수)

파동의 속력에서 \(c = f \lambda \) (\(\lambda \) 는 파장 )

인 것을 고려하면

광자 하나의 운동량 \(p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda} \) 이 예상됩니다.

\(E\),\(p\),\(h\),\(f\),\(\lambda\) 가 분자, 분모를 왔다갔다하면서 헷갈릴텐데, 각 물리량들의 차원을 알면 쉽게 정리가 됩니다. [플랑크 상수의 차원] 에 대한 글을 참고하세요.

컴프턴 실험은 광자의 운동량을 이렇게 해석하면 실험 결과를 잘 설명할 수 있다고 보여준 실험입니다. 실험을 이해하기 전에 사전 지식들을 점검해보겠습니다.

실험을 살펴보기 전 지식

X선 (X-ray)은 병원에서 한번쯤 들어 보았던 그 X선 입니다. X선도 전자기파입니다. X선도 아주 파장이 짧은(진동수가 큰) 전자기파입니다. 눈에 보이지 않는 자외선, 적외선도 빛이라고 하듯 X선 전자기파인 이상 넓은 의미의 빛입니다. 빛의 파동의 성질을 보았던 것처럼 X선도 파동의 성질을 볼 수 가 있습니다. 고체에 X 선을 비추어 주면 특정한 각도에서 강력한 회절무늬가 나타납니다. 이 회절무늬는 주로 고체안의 원자,분자들의 분포 간격과 같은 구조에 의존합니다. 생물시간의 DNA 의 구조를 알아낸것도 DNA에 X선 쪼여주고 얻은 회절 무늬를 분석해서 알아낸 것입니다. 이런 회절 현상들은 구조물들의 크기와 비슷한 파장일 때 나타나므로 주로 수 옹스트롬(Å) 의 파장을 가진 X선에서 이런 회절무늬를 얻을 수 있습니다. (고체의 원자,분자 간격이 수 옹스트롬(Å)이란 말입니다.) 파장이 수백 nm 가 되는 가시광선, 자외선에서는 볼 수 없는 현상입니다.

> 아주 작은 크기에 대한 이야기를 가볍게 써둔 글이 있습니다. https://blog.naver.com/happie/221391186751

컴프턴 효과는 이보다도 파장이 짧은 X선으로 한 실험입니다. 그래서, 회절무늬가 나타나는 것은 아닙니다. 대신 산란(scattering)이란 현상을 보는 것인데, 여지껏 산란은 잘 다루지 않았습니다. 잘 돌이켜 보면 하늘이 파란 이유를 말하거나 핵을 설명할때 러더퍼드(Rutherford) 모형정도에서 나오는 현상입니다. (산란 현상자체가 조금 어려운 이야기인 것도 문제에 잘 나오지 않는 이유인 것 같기도 합니다.)

산란에 대해 대충 설명하자면 어떤 물체를 가만히 놓아 두고 새총으로 구슬을 마구 쏘아보면 대부분은 그냥 지나가지만 구슬이 가끔 부딛혀서 다른 방향으로 튕겨져 나오는 것을 보는 것입니다. 이것은 입자의 산란 실험입니다. 파동의 산란 실험도 있을 수 있습니다. 나란히 잘 진행하던 물결이 중간에 장애물을 만나면 여러방향으로 퍼져나가는 현상도 산란입니다. 원래 파동이 진행하던 방향과 다른 방향으로 진행하는 파동현상을 관측할 수 있습니다. (새총의 구슬이 대부분은 그냥 지나가고 일부 튕겨져 나오는 것과 마찬가지 입니다.) 그러니, 산란 현상 자체는 입자로도 파동으로도 설명할 수 있는 현상입니다. 중요한 것은 산란 과정 속에서 일어나는 세부적인 일 들입니다.

컴프턴 산란 실험

파장이 짧은 X선으로 흑연을 장애물로하는 산란실험을 하는 것입니다. 실험 그림은 여러 군데서 찾아 볼 수 있을 것입니다. 만약 한번도 보지 못하신 분이라면 [동영상]을 참고하십시오.

X선을 쬐이면 흑연에서 전자가 튀어나온다고 합니다. 광전효과를 보아서 그런지 별로 놀랍지는 않습니다. X선이 에너지를 잃었다면 전자가 에너지를 얻었다는 것이니까. 파동에 의해서 에너지를 얻은 건가 정도 생각해도 그렇습니다.

그러나, X선 측정에서는 이상한 일이 있습니다. 장애물에 부딛혀 튕겨나온 파동의 파장이 처음보다 더 긴것이 발견된다는 것입니다. 파장이 더 길어지는 정도는 원래 X선이 진행하던 방향과 튕겨진 X선의 각도 \( \phi \)와도 관계가 있더라는 것입니다. 그 관계식은 원래 파장 \(\lambda\)와 길어진 파장 \(\lambda’\) 의 차이 \(\Delta \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\phi)\) 로 나오는데, (여기서 m 은 전자의 질량입니다. 빛의 질량이 아닙니다.)
\( \frac{h}{mc} \) 의 차원은 거리임을 쉽게 할 수 있습니다. 그래서, 이 값을 Compton wavelength 라고 합니다. 전자의 Compton wavelength 는 0.024Å = 2.4pm 입니다. 그러니 이런 실험 결과가 관측되려면 고체의 원자간격보다도 더 짧은 수십 pm의 파장을 가진 X선을 사용해야만 관측이 가능합니다.

파동이라면 장애물에 부딛혀 튕겨나온 파동의 진동수가 변할 일은 없습니다. 아시다시피 굴절에서도 파동의 속력이 변하는 일이 일어나더라도 진동수는 바뀌지 않았습니다. 지금 실험은 빛의 속력이 바뀔일도 없습니다. 그런데 실험 결과는 쏘아준 파장과 같은 파장의 X선도 관측되지만(당연해 보이는 일), 그 보다도 파장이 더 길어진 X선도 나온다는 것입니다.(이상한 일) 광전효과에서 말한 광자의 에너지를 생각하면 X선의 에너지가 줄어든 광자도 같이 나온다는 것입니다.

컴프턴 효과를 광자로 설명하기

이렇게 파동으로는 설명이 안되는 현상을 마치 에너지와 운동량을 가진 입자처럼 취급하여 계산한 예상치와 실험결과치가 잘 맞아 떨어지더란게 컴프턴 산란실험입니다. 아이디어는 별로 어렵지 않습니다. 기본적인 입자의 충돌문제로 생각합니다. 즉, 광자란 입자와 정지해있던 전자란 입자가 탄성충돌한 것으로 생각합니다. 그러면 에너지 보존 법칙에 의해

충돌전 에너지는 광자 \(hf\), 전자 0, 충돌후 에너지는 광자 \(hf’\) 전자 운동에너지 \(K\)

식 1) \( hf = hf’ + K \)

운동량 보존 법칙을 생각하면 운동량의 x축, y축의 성분이 보존되어야 하므로,
빛이 x축으로 들어 왔다고 생각하면

x축

\( \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda’} \cos\phi + p \cos \theta\)

y축

\( 0 = \frac{h}{\lambda’} \sin\phi – p \sin \theta\)

( \( \phi\) 는 빛의 튕겨난 각도, \(\theta\)는 전자가 튕겨나간 각도, p 전자의 운동량 )

빛의 파장과 진동수, 빛의 속력 관계에서 \(c = f \lambda \) 를 이용하면

\( hf = hf’ \cos\phi + pc \cos \theta\)

\( 0 = hf’ \sin\phi – pc \sin \theta\)

식 2) \( (hf – hf’ \cos\phi)^2 + ( hf’ \sin\phi)^2 = (pc)^2 \)

상대성 이론에서

\( E = mc^2 + K \)

\( E = \sqrt {m^2c^4 +(pc)^2}\)

이므로 (\(m\)은 전자질량) 정리하면

\( ( mc^2 + K )^2 = m^2c^4 +(pc)^2 \)

이식에 식 1),2) 을 집어 넣고 잘 정리하면

\(\lambda’ – \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\phi) \)

광전효과와 컴프턴효과까지 생각하면 빛을 파동으로만 생각할게 아니라 입자처럼 생각해야 설명가능한 세상이 있다는 것을 받아들일 수 있나요? 이것을 받아들이고 나서 우리는 좀 더 이상한 생각을 하게 됩니다. 빛이 이렇게 파동의 성질과 입자의 성질을 같이 가지고 있는 이중성이 있다면, 물질은 정말 입자의 성질만 있을까? 파동의 성질이 없을까? 물질도 이중성을 가지고 있는게 아닐까? 그렇게 파동의 성질을 가지고 있다면 과연 그 파장은, 진동수는 얼마가 되는게 맞는 것일까? 드브로이란 사람이 과감히 주장을 했습니다. 물질도 파동의 성질이 있을 것이다. 그 파동을 물질파, 드브로이파라고 합니다.