관성 모멘트/회전관성 값구하기 (2) – 둥근 것들

 

>> 이글은 [관성 모멘트/회전관성 값구하기 (1) – 네모난 것들 )]을 읽으신 분들이 보는 글입니다. 거기서 했던 이야기에서 연속해서 이야기합니다.

이제는 둥근 것들에 대해서 이야기합니다. 지난번 서두에 말한 것같이 쉽게 계산할 수 있는것이 아닌데도 굳이 계산을 하려고 하는 이유는 구르는 물체에 대해서 이야기하는데 꼭 등장하는 모양이기 때문입니다. 따라서, 둥근 물체중에서 굴림운동에 필수적으로 등장하는 3가지 모양에 대해서만 다루겠습니다. 그 세가지 모양은 고리모양, 원판 모양, 공모양입니다.

고리모양

실제 세상에서 부피가 없는 물체를 생각할 수 없겠지만, 그 폭은 무시할 만큼 좁은 고리모양의 관성 모멘트를 구해봅시다. 고리모양은 도우넛 모양, 반지모양, ring, hoop 형태를 말하는 것입니다.

질량을 \( M \) , 회전축에서 떨어진 거리 \( R \) 이라고 합시다. 밀도는 일정합니다.앞서 말한 것과 같이 회전축이 질량 중심을 지나는 경우에 대해서만 구하겠습니다. 고리를 이루는 원의 중심이 곧 질량 중심이며, 회전축은 질량 중심을 지나며, 그림처럼 고리가 이루는 원의 수직방향입니다.

뭐 이건 아주 간단하게 해결됩니다. 일정한 간격으로 n 개로 잘라놓은 것들을 생각해보면 각각의 질량은 \( M/n \) 이 되고, 회전축으로 부터 떨어진 거리는 \( R \)로 동일하므로 각 조각들의 회전관성은 \( (M/n) R^2 \)이 될텐데 모두 n 개가 있으므로 \( M R^2 \) 이 됩니다.

>> 이게 뭔지 잘 모르겠다면 지금 당장 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 살펴보십시오.

굳이 어려운 적분을 할 필요도 없지만, 꼭해야겠다면 하셔도 상관없습니다. 앞서 말씀드린대로 저는 데카르트좌표계에서 x, y 를 써서 적분하는 것은 안한다고 말씀드렸으니 님이 직접해보시면 됩니다. 대신, 다음 주제뒤에 극 좌표계(polar coordinate)로 한 번 해보기는 할 것입니다.

원판 모양 (원기둥 모양)

[관성 모멘트/회전관성 값구하기 (1) – 네모난 것들 )]의 직육면체에서 이야기를 한 것의 결론에 따라, 원판 모양이든, 원기둥모양이든 식의 결과는 같습니다. 그러니, 여기서는 그냥 원판 모양만 다루겠습니다.

질량을 \( M \), 반지름이 \( R \) 이라고 합시다. 계산의 편의상, 문제를 쉽게 풀 수 있는 경우로 이 물체의 밀도는 일정한 경우만 다룹니다. 그리고, 굴러가는 문제를 다루기 위해 계산하는 것이므로 회전축은 원의 중심을 지나며, 원이 이루는 평면에 수직인 경우입니다.

\( I = \int r^2 \, dm \) 이런 형태의 적분을 해야하는데, 이게 x,y(데카르트 좌표계) 로 놓고 계산하는게 좀 만만하지 않습니다.

>> 저는 예전에 해보았던 것이므로 두번다시 하지 않습니다. 여러분은 한번쯤 고생해보시면 좋은 추억이 될 것입니다.

그래서, 우리는 \(r\) , \( \theta\) (극좌표계) 를 이용해서 적분을 할 것입니다. 굳이 극좌표계란 이름을 쓰지 않았지만, x,y 로 쓰는 좌표계를 \(r\), \( \theta\) 로 쓰는 것은 함수나 복소수를 배울 때 해 보았을 것이므로 굳이 설명은 안합니다.
앞의 글에서 말한바와 같이 면밀도 \( \sigma \) 는 \( M / (\pi R^2) \) 이 되므로
\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sigma \, dr d\theta \)
로 쓰면 될 것 같지만, 그렇지 않습니다.

나중에 극좌표계, 원통좌표계, 구좌표계에서 적분하는 방법을 배우게 되면 명확히 알게 되겠지만, 지금은 대충이야기 하자면, \(\theta\) 가 변할 때에는 \(r\) 에 따라 변하는 거리가 다 다릅니다. \(r\) 이 크면 클수록 길이가 더 많이 변하므로 그에 대한 가중치를 부여해야합니다. \( d \theta\) 만큼 각이 변한다면 길이는 \( r d \theta\) 만큼 변합니다. 따라서, 우리가 구하려는 적분은

\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sigma \, r dr d\theta \)

이 됩니다. 그러므로

\( = 2\pi \int_{0}^{R} r^3 \sigma \, dr \)

\( = 2\pi \cdot M / (\pi R^2) \int_{0}^{R} r^3 \, dr \)

\( = 2M / ( R^2) \frac {R^4}{4} \)

\( = \frac {1}{2} M R^2 \)

이란 값이 아주 쉽게 나옵니다.

물론 우리는 이 값이 얼마인가 보다 이것이 의미하는 물리가 중요하므로, 앞에서 나온 고리 모양과 값을 비교해봅시다. 고리가 2배나 더 크게 나옵니다. 이게 두배인지 세배인지 정확하지는 않아도 고리모양이 더 크게 나오는게 당연하다고 생각이 되니까 제대로 구했을 가능성이 크군요.

>> 제가 이걸 당연하다고 하는데 왜 이게 당연하지? 라고 반문하시는 분은 이글을 읽으시면 안됩니다. 꼭 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 읽으러 가십시오.

고리모양 적분으로 풀기

앞서 고리모양의 경우도 굳이, 꼭 적분으로 푸는 것을 보아야 겠다는 분은 아래를 보시면 됩니다. 그냥 극좌표계 적분하는 것을 한번 더 보여드리는 것인데, 이게 고리모양 전하에 의한 전기장을 구할 때로 사용할 것이므로 미리 적응차 보여드리는 것입니다.

고리모양은 1차원적으로 변하므로 \( dr \)은 필요없고 \(d\theta \) 만 있으면 됩니다.
\( \int_{0}^{2\pi} R^2 \lambda \, R d\theta \)

앞서 말한 가중치 r 도 R 로 고정이 되었고, 밀도도 선밀도가 적용되어 \( \lambda = M / 2 \pi R
\) 입니다. 넣고 계산하면 당연히 값은 위에서 구한 거과 같습니다.

축방향으로 두꺼워진 고리, 원판

고리가 축방향으로 두꺼워진 모양을 원기둥 껍질 모양으로 좀 어렵게 불러봅시다.

>> 이 사이트는 한국어를 사용하는 사람을 우선하기 때문에 용어가 좀 낯설지만 가급적 한국어를 우선 사용하려고 노력하고 있습니다.  음…. 근데 사이트는 한국어가 아니군요….

물론 아래 원기둥 껍질 모양도 고리모양과 똑같은 형태의 값인 \( M R^2 \)을 가질 것입니다.

 원판이 두꺼워지면 원기둥이 됩니다.
이제 반지름은 R인 원이 회전축의 방향으로 두께가 d 가 되도록 길쭉한 원기둥을 봅시다.
당연히 이것도 d 랑 상관없이 \( \frac {1}{2} M R^2 \) 일것입니다.

>> 이게 당연하지 않으면 그만 읽고 앞에 올렸던 글을 읽어야합니다.

>> 다시보니 그림에 d가 표시가 안되어 있네요.. 시간될때 교체해두겠습니다.

 

d가 2R 이라고 해봅시다. 그래도, \( \frac {1}{2} M R^2 \) 일것입니다. 반지름이 R 인 구를 생각해보면 구는 이것보다 값이 작게 나와야 할 것입니다. 감이 오나요? 이 감을 가지는게 중요합니다.
사실 이것만 알았다면 굳이 더 계산할 필요는 없지만, 그래도, 하다말면 좀 찝찝하니까 값을 한 번 구해는 봅시다.

>> 이런 감이 안온다면 그만 읽고 앞에 올렸던 글을 읽어야합니다.

>> 다시보니 그림에 d가 표시가 안되어 있네요.. 시간될때 교체해두겠습니다.

구

이제는 반복하기 귀찮긴하지만, 밀도는 일정하고, 회전축은 구의 중심을 지납니다. 어차피 구의 대칭성때문에 방향은 말안해도 상관은 없겠네요. 그냥 아래 그림과 같은 경우를 만합니다. 구의 반지름은 R 입니다.

저의 악몽은 이것의 회전관성을 구하는 것이었습니다. 그리고, 딱 1년 선배는 이걸 1분안에 풀어내는 것이 신선한 충격이었습니다. 그 비결은 구면좌표계(球面座標係, spherical coordinate system)라는 \(r\),\( \theta \),\(\phi \) 로 표현하는 좌표게를 도입하는 것이었습니다. 앞서 말한것과 비슷하게 적분할 때는 각 위치에 따른 길이 변화에 가중치를 부여해야하기 때문에 우리가 구하려는 관성 모멘트는
\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \rho \, dr d\theta \phi\) 가 아니라 가중치를 부여한 \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \rho \, r^2 \sin \theta dr d\theta \phi\) 입니다.

>> 상세한 것은 구면좌표계를 직접 검색해서 찾아보시고, 잘 이해안된다면 내년쯤에 배울 일이 생길 것이니 그 때 잘 배우시면 됩니다.

>> 제가 말한 악몽은 여러분도 경험해보시길 바랍니다. 그래야 감사의 마음이 확 가슴속에 꽂히고, 구면좌표계를 배울 때 어렵고 복잡해서 짜증나기보다는 감사의 마음을 갖게 됩니다. 

\( \rho\) 는 (부피) 밀도도 \( M / ( 4 \pi R^3 / 3 ) \) 를 말합니다.
위의 식을 후다닥 정리하면

\( 3 M / ( 4 \pi R^3 ) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 \, \sin \theta dr d\theta \phi\)

\( = 3 M / ( 4 \pi R^3 ) 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 \sin \theta \, dr d\theta \)

\( = 3 M / ( 4 \pi R^3 ) 2\pi 2 \int_{0}^{R} r^4 \, dr \)

\( = 3 M / ( 4 \pi R^3 ) 2\pi 2 \frac{R^5}{5} \)

\( = \frac{3}{5} M R^2 \)

어랍쇼? \( \frac{3}{5} \) 은 \( \frac{1}{2} \) 보다 크잖아!!!

뭐가 잘못되었지?

그래서,
[관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]에서 제가 몇번이나 강조했습니다. r 은 (….)이 아니라 (….)라고 ..

>> … 처리한 것은 이래야 앞으로 돌아가 조심 다시 읽어볼 것이기 때문입니다. 제 경험상 컴퓨터나 휴대폰처럼 화면에 표시된 글은 종이책 글보다 대충읽는 경향이 있더라구요.

우리가 구해야 하는 것은
\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} ( r\sin \theta)^2 \rho \, r^2 \sin \theta dr d\theta \phi\) 입니다. 차이를 찾으셨나요?

\(= 3 M / ( 4 \pi R^3 ) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 ( \sin \theta ) ^3 \, dr d\theta \phi\)

\( = 3 M / ( 2 R^3 ) \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 (\sin \theta)^3 \, dr d\theta \)

\( = 3 M / ( 2 R^3 ) (4/3) \int_{0}^{R} r^4 \, dr \)

\( = 2 M / R^3 \frac{R^5}{5} \)

\( = \frac{2}{5} M R^2 \)

로 교과서처럼 같이 나오고,
앞에서 얻었던 결론처럼 1/2 보다 작은 값이 나왔습니다.

이렇게 값을 구하는 가장 큰 이유는 고리, 원기둥, 구의 관성모멘트의 크기 비교를 감으로 하던 것에 대해서 확신을 가지자는 의미가 가장 큽니다. 그러면서, 굴러갈 수 있게 생긴 3가지 모양을 경사면에 가만히 놓으면 어떤 모양이 가장 빨리 바닥에 도착할 것인지를 이해할 준비를 해가고 있습니다.

다른 모양

다른 모양은 안합니다. 산수문제니까 열심히 계산해서 푸시면 됩니다.

>> 일단 이 부분을 읽고 있다는 것에 먼저 박수를 보냅니다. 보통 이 앞에서 많이들 포기합니다. 힘내세요.. 조금만 더하면 일반 물리에서 배워야하는 회전문제는 끝납니다.

>> 등산해 보셨나요? 올라가는 사람들이 힘들때 하산하는 사람들이 말합니다.  “이제 거의 다왔어요.~~~” ^^;   

 

 

 

 

 

 

 

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