>> 이글은 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 읽으신 분들이 보는 글입니다.
여기서는 회전관성/관성모멘트란 개념을 적용하여 회전관성을 숫자로 값을 구해 봅니다.
미리 말씀드리지만 쉽지 않습니다. 적분을 해야하기 때문입니다. 물론 적분이 자신있는 분도 있을겁니다. 그러나, 공간에 대한 적분이기 때문에 다변수 함수를 적분해야합니다. (제 기억으로는 대학교 1학년 2학기 때 배운 것같습니다. 교육과정상 일반적으로 물리가 수학보다 진도를 먼저 나가는 경향이 있습니다.) 따라서, 한 개의 변수만 적분하는 것에 비해 어렵습니다. 또한 회전이란 문제의 특성상 둥근모양을 많이 다룹니다. 기초적인 미적분학에서는 데카르트 좌표계 (Cartesian Coordinate)만을 배웠기 때문에 둥근 모양을 계산할때는 아주아주 불편합니다. (제기억으로는 대학교 2학년때 드디어 데카르트 좌표계 가 아닌 직교좌표계를 배웠던 것 같습니다.)
그래서 어떻게 할까 고민이 많았습니다. 네모난 모양은 데카르트 좌표계 에서 차근 차근 자세히 계산과정을 따라 가겠지만, 둥근 모양은 원통, 구 좌표계를 사용하지만 자세한 설명없이 결과만 알려 드려야 할 것 같습니다. 둥근모양을 직교좌표로 계산하는 것은 제도 처음 배울 때 한 번 해보았는데 너무 괴로운 일이라 다시 하기가 싫네요.
>> 제가 배울때 사용한 교재가 Halliday/Resnick 2판이었던 것으로 기억합니다. 그 때는 구 모양의 관성모멘트를 직접 구하는 과정이 들어 있었던 것으로 기억합니다. 그런데, 그 이후 후배들이 배우는 책에서는 삭제되었습니다. 저자도 이부분이 너무 힘든걸 동의했나봅니다. 그렇게 어려운 것들은 선배들은 구 좌표계로 아주 간단히 계산하는 법을 보여줘서 구좌표계의 효용성을 실감하게 해 주었습니다. 여러분도 두 방법 모두 해 보신다면 쓸데 없이 왜 원통, 구좌표계를 배우는가란 말은 절대 하지 않을 것이라 믿습니다.
이번에는 데카르트좌표계를 적용하여 비교적 쉽게 구할 수 있는 것들에 대해서만 이야기 하겠습니다.
한점 취급 (0차원)
실제 세상에서 부피가 없는 물체를 생각할 수 없겠지만, 시험 문제에는 잘 나옵니다. 일종의 약속입니다. 부피에 의한 영향은 거의 없다고/무시하자고 하는 약속입니다. 모든 질량은 한 점에 존재합니다. 아래와 같이 어떤 물체가 실에 매달려 돌고 있을 때, 질량과 질량 중심까지의 거리만 알려줍니다. 그런 경우는 물체의 크기에 의한 영향은 거의 없다/ 무시하자라는 시험시간의 약속입니다.
질량을 \( M \) , 회전축에서 떨어진 거리 \( r \) 이라고 합시다. 앞서 말한 관성 모멘트/ 회전 관성값을 구하는 법에서 작은 조각 하나만 있는 경우로 취급합니다.
한조각의 회전 관성값 \( I \)는 \( M \cdot r^2 \) 입니다.
>> 뭐 이건 아주 간단하게 해결되지요. 이게 뭔지 잘 모르겠다면 지금 당장 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 살펴보십시오.
선처럼 취급 (1차원)
이번에도 앞에서와 마찬가지로 부피가 없는 물체는 없겠지만, 선처럼 취급하는 가정을 합시다. 폭과 두께가 길이보다 아주 작은 경우에는 부피까지 고려해서 열심히 계산해 보더라도 길이가 긴 쪽 만 고려(폭과 두께를 무시)하고 계산한 것과 비교해보면 아주 작은 차이가 밖에 나지 않습니다. 그러니 굳이 폭과 두께까지 고려해서 계산하지 않아도 문제가 생기지 않습니다.
>> 나중에 다 읽어 보신 후 직접 숫자를 넣어서 계산해 보십시오. 그다지 큰 차이가 나지 않습니다.
질량을 \( M \), 긴 길이를 \( L \) 이라고 합시다. 계산의 편의상, 문제를 쉽게 풀 수 있는 경우로 이 물체의 밀도는 일정하다고 합시다.
그리고, 가장 중요한 사실 하나!!
지금 계산하려는 회전 관성값은 그림과 같이 회전축이 길이가 긴 쪽에 수직이면서, 질량 중심을 지나고 있는 경우입니다. !!!!!
왜 중요하다고 할까요? 회전축이 길이가 긴쪽과 나란한 방향이라면 앞서 말한 가정대로 폭과 두께가 0 이니까 다음 이야기와 상관이 없습니다. 또한 회전축이 질량 중심을 지나지 않는 경우에는 절대로 지금 계산한 값이 되지 않는다는 말입니다. 회전 관성은 회전축으로 부터 얼마나 떨어졌는지를 말해주는 거리를 가중치를 부여한 값이기 때문에 그냥 모양이 똑같다고 같은 값이 나오는게 아니라, 축에서 부터 떨어진 거리에 따라 어떻게 질량이 분포해 있는지에 의존합니다. 회전축이 어디인지 이야기 하지 않고 관성 모멘트를 구하라는 질문은 그자체로 잘못된 질문입니다.
그래서 지금 구하려고 하는 것을 다시 이야기 해야합니다. 회전축이 질량 중심을 지나는 경우, 밀도가 일정한 질량이 \( M \), 길이가 \( L \) 인 물체의 관성 모멘트값을 구하려고 하는 것입니다.
이 물체의 밀도는 일정하므로 축에서 부터 왼쪽 끝과 축에서부터 오른쪽 끝까지의 거리는 똑같으면 축이 곧 질량 중심을 지나가게 됩니다.
100등분 쯤 해 봅시다.
그러면, 질량이 \( \frac{M}{100} \) 인 물체가 \( \frac{L}{100} \) 간격으로 놓여있는 것의 관성 모멘트를 구하는 것입니다. 제일 끝에 있는 것은 \( \frac{L}{2} \), 그다음 것은 \( \frac{L}{2} – \frac{L}{100}\)
그 다음 것은 \( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{100}\), \( \frac{L}{2} – 3 \times \frac{L}{100}\)…
\( 2 \times \frac{L}{100}\), \( \frac{L}{100}\) 0, …\( \frac{L}{100}\), \(2 \times \frac{L}{100}\),…,\( \frac{L}{2} – 3 \times \frac{L}{100}\), \( \frac{L}{2} – \frac{L}{100}\),
\( \frac{L}{2} \) 이렇게 놓여 있을 것입니다.
>> 이게 101 개 아니냐고 시비걸지 맙시다. 100등분 “쯤” 해 두었다고 했으니 .
그러면 각 회전관성값은 각각
\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{100} \)
\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
…
\( ( 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
\( (\frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
0
\( (\frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
\( ( 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)
\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{100} \)
이 되고 이것을 더하면 우리가 구하고자 하는 값이 됩니다.
1000등분 쯤 해봅시다. 저도 계속 쓰고 있기 힘드므로 중간 과정생략하면
\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{1000} \)
\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
…
\( ( 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
\( (\frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
0
\( (\frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
\( ( 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)
\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{1000} \)
을 다 더해준 값이 됩니다.
그 다음 10000등분쯤 해봅시다. 저도 계속 쓰기가 귀찮으므로 뭔가 다른 방법을 생각해 보아야겠습니다.
\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{n} \)
\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
…
\( ( 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
\( (\frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
0
\( (\frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
\( ( 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{n} \)
을 다 더한 값인데, n = 10000 이면 됩니다.
이제는 10000000등분쯤 해봅시다. 그럼, 위의 값을 n = 10000000 인 경우로 더하면 됩니다.
이렇게 자꾸 작게 쪼개어서 값을 계산해서 더하는 것을 [구분구적법]이라고 하고, 이 n 값을 무한으로 늘리는 것을 적분이라고 합니다. 결국, 거리의 제곱 가중치로 질량을 적분해가는 것입니다.
왜 이뻔한 것을 쓰냐고요? 거리의 제곱 가중치로 질량을 적분하는 것이란 말을 했으면 검색을 안해도 계산할 수 있어야 되는데, 그게 뭔말인지 모르겠다고 하니 이렇게 길게 쓸 수 밖에 없습니다.
제가 너무 무시했나여? 그게 문제가 아닌가요?
그렇습니다. 문제는 수학시간과는 좀 다른 문제가 들어 있습니다. 함수 \( f(x)\) 를 x 로 적분하는 것은 문제가 없지만, 물리시간에는 \( I = \int r^2 dm \) 이라고 하는데 (\( r(M) \)) 은 안 가르쳐 주고 구하라고 하니까요.
그러니까, 뭔일을 해야하는지 다시 확인 시켜드리기 위해 위에 처럼 쓸데 없어 보이는 것을 쓴 것입니다.
이제는 구할 수 있습니까? 아직도 모르겠나요?
그럼 천천히 다시 봅시다.
우리가 구하려고 하는 것은
\( \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)
n 등분을 하게 되면 작은 조각이 하나 생깁니다. 그 길이는 \( \Delta L = L/n \) 이 됩니다.
그러니까, 이 식은 곧
\( \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \Delta L)^2 \times \frac{M}{n} \)
이 됩니다.
이것을 정적분으로 바꾸려다 보니 어? 어디 익숙한 모양 하나가 없네요…뒤쪽에\(\Delta L \) 이 없습니다.
그러니, 뒤의 n 자리에 \( n = \frac{L}{\Delta L} \) 을 넣어주어야 겠네요.
\( \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \Delta L)^2 \times \frac{M}{L} \Delta L \)
이 됩니다.
자 이제 이걸 n 이 무한히 될때의 값을 구하면 되는 것이니
우리가 구하고자 하는 관성 모멘트는
\( \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \Delta L)^2 \times \frac{M}{L} \Delta L \)
이고 이를 적분으로 표현하면
\( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 (M/L) \, dx \)
([구분구적법] 마지막 줄 참조)
이고 즉, \( \frac{1}{12} L^2 M\) 이 되고, 단위는 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)] 에서 이야기 했습니다.
뭐 이렇게 복잡하게 해야할까요? 저처럼 수학이랑 담 쌓은 사람은 이렇게 생각합니다.
>> 저도 한때는 수학을 잘한다고 생각했는데, 정수론 책을 몇 장 넘긴뒤부터, “내가 지금까지 하던 것은 수학이 아니라 산수였구나”하고 책을 덮었습니다. 그 뒤로 수학이랑 별로 친하지 않고, 산수를 수학이라고 부르면 수학자들에게 미안한 생각이 듭니다.
막대의 길이가 L 이라고 하고, 작은 조각들을 \( \Delta L \) 의 길이를 가진 조각으로 생각하면, 회전축을 원점으로 두면 위치 x 가 -L/2 부터 L/2 까지 변하는 질량 \( (M/L) \Delta L \) 이 빼곡히 들어차 있네. 위치 \() x = k(\Delta L) \)가 곧 거리 r 이 되니까, 그러니까, \( (k \Delta L) ^2 \times (M/L) \Delta L \) 을 -L/2 부터 L/2 더해나가는 것이니, \( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 (M/L) \, dx \) 라고 생각하고 끝냅니다.
그러나 이렇게 되기까지 아주 오랜 시간이 걸렸습니다.
여기서 한가지 짚고 넘어가야하는 것이 M/L 입니다. 질량을 부피로 나누면 밀도라고 하듯, 질량을 길이로 나누는 것을 선밀도라고 합니다. 교과서에서 선밀도가 갑자기 튀어나와 이건 뭐지 했던 기억이 있어서 한번 짚어드립니다.
예전에 써둔 글이 있으니 [선밀도, 면밀도]부분을 참고 하십시오.
보통 선밀도를 \( \lambda \)로 잘 표시하니 앞의 식은 \( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda \, dx \) 로도 표현할 수 있을 것입니다. 이 표현을 소개시켜드리는 이유는 밀도가 바뀔때의 문제를 풀기 위함입니다. 지금은 밀도가 일정한 (균일한 물질인) 경우였지만, 실제로는 밀도가 위치에 따라 바뀔 수 도 있을 것입니다.
그렇다면 \( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda(x) \, dx \) 를 계산해야겠지요. (회전축의 위치는 중요합니다. 밀도가 바뀌면 질량중심은 다른 어딘가에 있을 것입니다. 회전축과 질량중심이 꼭 관계가 있는 것은 아닙니다. 질량 중심이 중요한 것은 균일한 밀도를 가졌을 때입니다. 나중에 할 이야기가 있어서…)
아까 중요하다고 했던것 까먹지 않았나요? 우리가 구한 것은 회전축이 질량 중심을 지나는 경우입니다. 그렇지 않고, 막대기 끝이라면 값이 바뀝니다. 이것은 다른 주제를 소개할 게 있어서 따로 글을 쓸 예정이니 그 때 연결해드리겠습니다.
그리고, 마지막 식에서 x 라고 쓸 때, 회전축을 좌표계의 원점으로 잡았기 때문에 거리가 x (위치)로 표현되는 것입니다. 까먹지 마시길 …. 앞서 적용했던 정적분으로접근하면 문제가 없겠지만, 간단방법은 부정적분으로 접근한 것이라, 좌표계를 잡은 다음 꼭 거리는 얼마인지 다시 생각해야합니다. 좌표계(회전축이 아니라)의 원점이 어디에 있든 관성모멘트 값이 같게 나와야 합니다. 보통은 회전축에 좌표계원점을 두어야 계산이 쉽습니다.
면처럼 취급(2차원)
선처럼 취급에서 한 말을 또 반복합니다. 부피가 없는 물체는 존재하지 않겠지만, 이런 가정을 합니다. 두께는 길이와 폭보다 아주 작은 경우입니다. 길이와 폭은 서로 비슷하여 선처럼 취급하기에는 애매한 경우입니다. 앞에서 말한 것 처럼 부피까지 고려해서 열심히 계산해 보더라도 두께에 의한 영향은 거의 무시할 정도가 되기 때문에 우리는 굳이 그렇게 엄밀하게 따질 필요가 없습니다. (심지어 균일한 밀도를 가진 물체에서는 두께가 얼마이든 상관없이 같은 값을 가지기도 합니다만 그이야기는 좀 있다가 하겠습니다.)
앞에서 처럼 자세히 하기 보다 마지막 적분 부분을 바로 적용하면 (아직도 잘 이해가 안된 사람은 앞에서 처럼 단계별로 해서 앞에서 말한 것 처럼 계산해야 이해가 됩니다. )
이제는 선밀도가 아니라 면밀도가 필요합니다. 그리고, 적분도 x 하나만 하는게 아니라 x, y 두개를 해야합니다. 음…. 이게 2학기 때 배우는 거란 말이지….
그러므로, 우리는 그냥 믿어 주십시오. x 를 적분할 때 y값에 영향을 주지 않고, y를 적분할 때 x에 전혀 영향을 주지 않는 경우만 하겠습니다. (데카르트 좌표계이고, 밀도도 일정합니다. )
질량을 \( M \), 한쪽 길이를 \(a\) 다른 한쪽은 \( b \) 인 직사각형모양의 물체가 있다고 합시다. 물론 두께는 아주 얇아서 그냥 무시해도 되는 경우라고 했습니다. 계산의 편의상, 문제를 쉽게 풀 수 있는 경우로 이 물체의 밀도는 일정하다고 합시다. [선밀도, 면밀도]를 읽고 오신 분이라면 면밀도는 \( \sigma = \frac{M}{ab} \) 라고만 말해도 쉽게 알아 들을 것입니다.
야매 수학을 하면 우리가 구하려는 관성모멘트
\( I = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2}r^2 \, dm \)
\( = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} (x^2+y^2) \, \sigma dxdy\)
가 됨을 알 수 있습니다. (물론 좌표축 x, y 방향은 a, b 길이를 재는 방향입니다. 원점은 회전축과 일치 시켰습니다.) 이게 바로 안된다면 다시 앞으로 가서 다시 손으로 직접 쓰면서 천천히 생각을 하면서 읽어보시길…
>> 제가 야매 수학이라고 했지만, 앞에서 살펴보았듯이 수학에서 엄밀하게 접근하는 방법과 결과적으로 같기 때문에 모든 물리학 교과서에서도 이런식으로 접근합니다.야매 수학이란 표현은 일종의 수학자들에 대한 존경의 표시 입니다.
계산하면 \( \int_{-b/2}^{b/2} \frac{1}{12} a^3 + a y^2 \, \sigma dy \)
뭐 이중으로 적분한다고 크게 바뀌는 것은 없고, x가 변한다고 y가 변하지 않으므로 그냥 차근 차근 순서대로 하면 됩니다. 나중에 미적분학 수업시간에 잘 들으시길…
\( = \frac{1}{12} ( a^3 b + a b^3) \sigma = \frac{1}{12} ( a^2 + b^2) M \) 이 됩니다.
자, 많은 사람들이 공식이라고 부르는 복잡한 산수가 중요한게 아니라, 우리는 물리가 중요합니다.
>> 왜 물리에서 공식을 찾는지 잘 모르겠습니다. 물리에는 공식이라고 할 만한게 몇 개 없습니다.
이렇게 계산한게 앞에서 말한 선모양을 포함할 수 있을까요?
길이 a 는 L 이고, b는 0 으로 가까워지는 상황을 생각해 봅시다. 그러면 우리의 판모양의 직사각형은 결국 선모양이됩니다. 그러면 결과값도 같나요? 이 때 우리가 면밀도라고 부르던 것은 어떻게 되나요? 선밀도와 면밀도의 차이는 구분하겠습니까?
앞에서 말한 것 처럼 선모양이라고 무시했던 폭이 실제로는 존재하므로, 아주 작은 값을 넣어 보십시오. (아직 두께는 둘다 무시하고 있으므로 폭만… ) 얼마나 큰 영향을 주나요?
만약 지금의 직사각형이 밀도가 균일하지 않다면 수식을 어떻게 고쳐 쓰면 될까요?
>> 저도 여러번 똑같은 말하는 것이 귀찮습니다.
입체 (3차원)
이제는 완벽하게 다 이해했고, 무시하던 두께도 고려해봅시다. 물론 밀도가 일정하다고 합시다. 그리고, 처음 말한 대로 3개의 축이 서로 영향을 주지 않는 x,y,z 로 만들수 있는 쉬운 모양만 합니다.
즉, 각 변의 길이가 a,b,c 이고 질량이 M 인 밀도가 일정한 직육면체의 관성모멘트를 구하는 것입니다. 물론 회전축이 질량 중심을 지나는 경우입니다.
이제는 수식을 적지 않아도 쉽게 알 수 있겠지요?
결과는 예상처럼 \( \frac{1}{12} ( a^2 + b^2 + c^2) M \) 이 됩니다.
뭐 이걸 계산해야할까요? 물론입니다. 계산해야합니다.
\( I = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} r^2 \, dm \)
을 구하는 것입니다. 그러면 같은 값이 나오겠네요.
“그럼 이만” 하고 끝낼줄 알았습니까? [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 제대로 읽은 분은
\( I = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} (x^2+y^2) \, dm \)
임을 알고 있습니다. 그러므로,
\( = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} (x^2+y^2) \rho dV \)
\(\rho = M/(abc) \)로 (부피)밀도 입니다. V는 부피
\(= \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} (x^2+y^2) \rho \,dx\,dy\,dz \)
\( = \int_{-c/2}^{c/2} \frac{1}{12} ( a^3 b + a b^3) M/(abc) \,dz \)
\(= \frac{1}{12} ( a^2 + b^2) M \)
됩니다. (물론 좌표축 x, y, z 방향은 a, b, c 길이를 재는 방향입니다. 원점은 회전축과 일치 시켰습니다.)
r 은 (….. )거리이지 (….)에서 부터 거리가 아니라고 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)] 에서 몇번을 반복했었습니다.
그러니, 밀도가 균일한 경우, 면처럼 취급에서 했던 것을 회전축 방향을 따라 길게 늘어난 모양의 경우는 두께는 전혀 중요하지 않다는 점입니다. 적분 과정을 보면 두께에 의한 항(z, c) 는 전혀 없게 됩니다. 물론 밀도가 같은 물체에서 두께가 두꺼워지면 질량 M 이 증가합니다. 두께에 의한 영향은 질량 M 에 들어 있습니다. 그럼 면밀도란 걔념도 다시 곱씹어 보면 됩니다.
>> 그럼, 어디가 a, b, c 인지 구분하는 것은 중요한 문제가 되겠네요. 이거 시험에 내면 무지 많이 틀리겠군요.~~~ 맨날 공식만 찾으니…
결론적으로 밀도가 일정한 물체를 질량은 동일한 상태로 회전축 방향으로 아무리 길게 늘어당기든지, 꾹 눌러 압축을 시키는지 아무런 상관이 없이 회전관성값은 일정합니다. 이것은 원기둥 경우라도 마찬가지가 되는 것입니다.
회전축으로 부터의 거리가 동일한 모양이라면 언제든지 적용되는 것입니다. (회전 관성 정의에 따른 결과입니다.)
원기둥에 회전축이 어디에 ,어느 방향으로 있을때 그런가요?
>> 그림을 그리기 싫어서 질문으로 대체합니다. 답을 찾으신분이 예쁜 그림을 그려서 게시판에 올려 주시면 이자리에 그림을 넣어 드리게습니다. 원하시면 이름도 ~~~
그리고, 다음 그림의 결과는 잘 찾을 수 있을까요?
회전축이 바뀌니 값이 다른 것도 확인했나요?
dm
수학시간에는 전혀 해보지 않았던 이상한 적분입니다. 물리에서 이렇게 쓰는것은 아주 작은 조각의 질량들이란뜻으로 쓴것입니다. 수학시간의 적분을 적용하기 위한 거리에 대한 식이 없습니다. 이제 거리의 적분으로 수학을 적용하려면 밀도라는 개념이 필요합니다
1차원(선) 이라면 질량들은 거리에 따라, 2차원은 면적에 따라, 3차원은 부피에 따라…
즉 dm은 선밀도(\(\lambda\)) x 작은길이(\(dL\)), 면밀도(\(\sigma\)) x 작은 면적(\(dA\)), (부피)밀도(\(\rho\)) x 작은 부피(\(dV\)) 로 바꿀 수 있습니다.
>> 제가 야매수학이라고 하던 그 부분이야기 입니다. 예전에 초안으로 썼던것이 남아 있는데 지우기 아까워서 올립니다.
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