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카르노 순환은 열기관과 냉동기관에서 물리적 현상을 설명하는데 있어서 가장 기본이 되는 과정입니다. 먼저 열기관과 냉동기관이 무엇인지 알아 보고, 각각에서 카르노 순환을 적용하였을 때 설명할 수 있는 물리현상을 알아 보겠습니다.

열기관과 냉동기관

열기관(heat engine) 이란 말은 보통 기관(engine)이라고도 하고, 현실에서는 엔진이란 말을 더 많이 씁니다. 증기기관차에서 동력원이 증기 기관이고, 지금의 자동차에서 쓰는 기관(엔진)의 동력원은 휘발유(가솔린), 등유(디젤)을 사용하는 기관입니다. (요즘은 전기만으로 가는 자동차가 있는데 이는 모터를 동력원으로 이용하므로 여기에 해당하지 않습니다. ) 엔진의 가장 큰 특징은 열을 이용하여 일을 만들어 낸다는 점입니다. 고온의 환경과 저온의 환경을 반복하면서 일을 만들어 냅니다.

냉동기관(refrigerator)는 평상시에는 잘 쓰는 말이 아닙니다. 냉각기라고 할 수 있겠는데, 에어콘이나 냉장고와 같은 장치로 주변보다 온도를 떨어뜨리는데 사용하는 장치를 말합니다. 냉동기관의 가장 큰 특징은 일을 사용하여 열을 뽑아낸다는 점입니다. 일을 통해 고온의 환경과 저온의 환경을 반복하여 원하는 곳의 온도를 주변환경보다 낮게 유지시킵니다.

이렇게 말해 본들 무슨 말인지 알 수 없으므로 무슨 일이 일어나는지 각각을 좀 더 자세히 알아보겠습니다.

열기관과 카르노 순환

이상기체 문제를 다룰 때 가장 자주 나오는 모델이 이상기체가 담겨있는 피스톤입니다. 열을 가하거나 일을 하며, 주변의 온도가 바뀌는 여러 상태 변화가 있고, 그중에서 특별한 조건의 상태 변화가 있을 때에 대해서 따로 값을 구해가면서 까지 배웠습니다. 현실속의 엔진들은 이상적인 이상기체를 사용하는 것도 아니고, 특별한 조건의 4대 과정을 따라 움직이는 것도 아닙니다. 하지만, 엔진에서 일어나는 일을 정확히 이해하기 위해서는 아주 이상적인 모델에 대해서 먼저 배우고 난 다음 현실속 엔진과 이상적인 엔진의 차이를 생각하는 과정을 따릅니다. 물리 시간에는 이런 아주 이상적인 모델에 대해서만 다룹니다.

물리시간에는 이 피스톤의 작동에는 마찰열이 발생하지 않습니다. 혹시나 전공열역학에서 마찰열이 발생하는 것을 다루는 경우에는 혼동이 생길까봐 한번 더 강조해서 남겨둡니다.

엔진은 반복적인 동작을 합니다. 증기기관이나 가솔린 기관이나 디젤기관이나 모두 피스톤이 왕복운동을 하고 있습니다. 기관 내부에 사용되는 기체의 상태는 시간에 따라 압력, 부피, 온도, 엔트로피가 바뀌지만 반복적으로 변화하고 있고, 이를 P-V 도, T-S 도에 그리게 되면 하나의 폐곡선 위에서 순환(cycle)과정을 거치게 됩니다. 현실속 폐곡선의 모양은 여러가지가 될 수 있겠지만, 우리의 이상적인 모델에서는 이 순환과정이 우리가 정확히 알고 있는 4대 과정을 따른다고 하면 이제는 숫자로 분석도 정확히 할 수 있을 것입니다.

여기서는 순환과정 중에서 카르노란 사람이 생각한 순환과정에 대해서 배우려는 것입니다. 카르노 순환과정을 배워서 알게되는 결과에는 놀라운 사실들이 숨어 있기 때문에 다른 순환과정은 따로 배우지도 않습니다. 카르노 열기관에서 사용되는 순환과정은 기체는 이상기체를 이용하고 순환과정은 등온팽창-단열팽창-등온압축-단열압축의 과정을 거치는 순환과정입니다.

위의 그림은 열기관의 내부에 있는 이상기체의 상태를 나타낼 수 있는 4가지 변수값을 그래프로 그린 것입니다. a → b 는 부피가 늘어나므로 팽창과정이고 온도가 일정한 등온 과정입니다. 그러므로 등온팽창과정입니다. 이와 같은 식으로 보면 b → c 는 단열팽창, c → d 는 등온압축, d → a 는 단열압축입니다. 열기관이 이렇게 작동한다는게 아니라, 이렇게 작동하는 열기관에서 어떤일이 일어나는지를 보자는 것입니다. 카르노 순환하는 열기관에서 어떤 일이 일어나는 지를 살펴보자는 것입니다.

카르노 열기관에서 일과 열

카르노 순환과정에서 (계속 반복을 하겠지만) 한번의 순환과정을 거치면 기체가 한 일의 양은 P-V도 (왼쪽 그림)에서 회색으로 칠한 부분이 됩니다. 팽창과정에서는 기체가 일을 하기도 하고, 압축과정에서는 기체가 일을 받기도 합니다. 그 총합의 값이 회색으로 칠한 부분입니다. W 라고 하겠습니다.

한번의 순환과정을 거치면 기체에 들어온 열의 양은 T-S도 (오른쪽 그림)에서 회색으로 칠한 부분이 됩니다. 등온팽창과정(a → b)에서 기체에 열이 들어 옵니다. 그 양을 Q1 이라고 합시다. 단열과정에서는 열출입이 없고, 등온 압축 과정(c → d)에서 기체에서 열이 주변환경으로 빠져나갑니다. 이 양을 Q2 라고 합시다. 그러면 회색으로 칠한 부분을 Q 라고 할 때, Q = Q1 – Q2 가 됩니다.

처음의 a 상태와 한 순환 과정을 거치면서 다시 돌아온 a 상태에서 압력, 부피, 온도, 엔트로피는 모두 똑같은 값을 지니게 됩니다. (모두 상태함수입니다.) 내부에너지도 온도에 의해서만 결정되므로 (상태함수이므로) 똑같은 값을 지니게됩니다. 그렇다면 열역학 1법칙 ( 열-에너지 보존법칙)을 생각하면 W = Q = Q1-Q2 가 됨을 알 수 있습니다.

카르노 열기관의 열효율

열기관은 열을 일로 바꾸는 장치입니다. 작은 열로서 많은 일을 바꿀수 있는 것이 좋은 기관일 것입니다. 열을 A 만큼 주었을 때 모두 일을 A 만큼 바꿀 수 있다면 효율이 100% 인 열기관이 될 것입니다. 그래서 숫자로 비교하기 좋게 열효율이란 개념을 도입합시다. 들어온 열의 양을 A 라고 하고 한 일의 양을 B 라고 하고, 열효율을 e 라고 하면

라고 정의 하면 비교가 좋겠네요. 100% 보다 큰 열기관을 존재할 수 없습니다. 에너지 보존 법칙을 생각해 보면 절대 있을 수 없는 현상일 것입니다.

카르노 순환과정을 거치는 열기관에서의 열효율은

이 됩니다. Q1이 Q2 와 같다고 하면 전체 한 일(W),전체 들어오고 나간 열량(Q=Q1-Q2)이 모두 0 이 될 것입니다. 카르노 열기관에서 일을 하였다 함은 W = Q1 – Q2 > 0 이므로, Q2 는 Q1 보다 작습니다. 따라서, e 는 0 과 1 사이의 값이 됩니다. 100% 의 열효율은 안 되는 별로 마음에는 들지 않는 기관입니다.

Q1,Q2 를 값으로 계산하는 것이 쉽지는 않습니다. 그런데, 좀더 쉬운 계산 법이 있습니다. 카르노 순환에서 등온과정에서 들어온 열량 Q1 , 나간 열량 Q2 는 온도 T1, T2 와 비례관계가 있습니다. 즉, Q1 / Q2 = T1 / T2 가 됩니다. 이 비례관계 때문에 카르노 기관 열효율 는

이라고 쓸 수 있고, T1 > T2 인 관계에 있는것은 잊으면 안됩니다. 이 비례관계에 있는 것은 카르노 순환이 등온과정과 단열과정이 쓰인 것이기 때문으므로, 다른 과정에서는 성립하지 않는 것입니다. 당연히 현실의 열기관에서도 쓸 수 없는 것입니다. 현실의 열기관의 효율은 처음의 정의 e 만 써야하는 것이고, 이 관계 는 카르노 기관에서만 적용되는 것입니다.

위의 관계를 보았을 때, 카르노 기관을 해석은 아주 단순해 졌습니다. 그래서, 이 단순한 관계를 그림으로 표현할 수 있는 법이 아래의 많이 보는 그림입니다.

모든 열기관은 열역학 1법칙을 만족하여 Q1 = Q2 + W 가 될 테고, 이 될 것입니다. 특히 카르노 열기관이라면 을 만족합니다.

우리가 생각하기에 완벽한 열기관(perfect engine)은 기관에 들어가는 모든 열 Q1 을 일 W 로 바꾸는 e = 1 인 기관으로 위와 같은 방식으로 표현하면 아래 그림과 같이 될 것입니다. ( 미리 말씀드리면 아래의 경우는 존재할 수 없다는 슬픈 법칙이 있습니다.)

카르노 냉동기에서 일과 열

카르노 냉동기는 냉동기관으로서 카르노 순환을 하는 경우입니다. P-V 도, T-S 도에서 카르노 순환과정이 위에서 나온 그림과 반대방향의 과정이됩니다. 반시계 방향으로 단열팽창-등온팽창-단열압축-등온압축의 과정을 거치게 됩니다. 그림은 생략하겠습니다. 회색칠한 부분의 기호도 같으나 의미만 달라집니다. 이제는 W 가 외부에서 한 일 (기체가 받은 일) 이 됩니다. Q = (Q1 – Q2) 는 기체에 나간 총 열량이 됩니다. 열역학 1법칙에 따라 W = Q = Q1-Q2 가 됩니다. 열기관과는 일과 열의 방향만 반대인 관계에 놓이게 됩니다.

카르노 냉동기에서 성능

냉동기관은 일을 열로 바꾸는 장치입니다. 특히나 열을 뽑아내는데 관심을 가지는 장치입니다. 따라서, 우리는 열을 뽑아내는 과정의 열량에 더 관심이 있습니다. 여기서 효율이란 용어대신 성능이란 개념을 도입하여 실행계수 또는 성능계수 (coefficient of performance) K 란 개념을 도입합니다. 일을 A 만큼하였을 때 뽑아낸 열량을 B 라고 하면 실행계수 K 는

가 됩니다. 이 값이 크면 클수록 성능이 좋은 냉동기, 냉각기가 될 것입니다. B 만큼의 열을 뽑아내는데 A 를 적게쓰면 적게 쓸 수록 좋은 장치가 될 것입니다. 가장 완벽한 냉각기는 K 값이 무한인 냉각기가 될 것입니다. 하지만 이런 냉각기는 없을 겁니다. 우리가 아무런 일을 하지 않았는데, 주변보다 온도가 낮은 곳에서 열을 뽑아낸다는 말이 되어 열역학 2법칙을 위배합니다.

카르노 냉동기에서는 (위의 그림에서 일, 열의 정의 기호를 그대로 쓰면)

가 될 것입니다.

카르노 순환에는 Q1 / Q2 = T1 / T2 관계가 있으므로 카르노 냉동기에서는 특별히

의 관계도 있을 것입니다.

앞에서와 마찬가지로 이런 그림을 그릴 수 있습니다.

우리가 생각하기에 완벽한 냉동기관(perfect refrigerator)은 냉각기에 들어가는 일 W 을 0 으로 하면서, 열 Q2 를 뽑아낼 수 있는 K = ∞ 인 장치로 아래 그림과 같습니다.

이 그림은 온도가 낮은 곳에서 온도가 높은 곳으로 열이 흘러가는 그림으로 열역학 2법칙을 위반한 그림입니다. 그러니까, 절대로 K = ∞ 인 장치를 만들 수 없다는 것은 확실하네요.

카르노 열기관과 카르노 냉동기를 붙이면

카르노 열기관의 열효율과 카르노 냉동기의 실행계수와는

관계도 있지만, 그냥 숫자 표현을 달리 할 뿐 그닥 중요한 것은 아닙니다. 카르노 열기관과 카르노 냉동기는 이상적인 기관, 냉동기이기 때문에 동일한 장치의 순서만 바꾸면 된다는 것을 강조하고 싶은 것 뿐입니다.

동일한 두 장치로 하나는 열기관을 만들고 하나는 냉각기를 만들어서 열기관에서 나온 일을 이용하여 냉동기를 작동시키는 장치를 만들면 아래와 같이 될 것입니다.

열기관과 냉각기에 출입하는 열의 양은 결국 같은 양이 될 것입니다. (열기관과 냉각기는 실행과정 순서만 다른 동일한 장치였습니다. ) 결국 오른쪽 그림과 같이 주변환경과 이 장치사이에는 전체 열 출입량은 0 가 됩니다.

별 특별한 일이 일어나지 않습니다.

카르노 열기관보다 좋은 효율의 기관은 없다.

카르노 열기관의 효율은 우리가 기대하는 효율 100% 의 기관(perfect engine) 에 상당히 모자랍니다. 만약 300K 주변에서 600K 열원으로 부터 만든 카르노 열기관이라면 효율이 50% 밖에 안됩니다. 이게 불만이라서 이것보다 훨씬 좋은 열기관을 만들고 싶을 것입니다. 그래서, 그런 기관을 만들었다고 하고, 이 기관을 이용해서 카르노 냉동기를 동작시키는 장치를 만들었다고 하면 아래 그림과 같은 상황이 됩니다.

X 열기관은 카르노 기관보다 효율이 더 좋기 때문에 W가 이전과 동일하더라도 더 적은 열이 들어가고 더 적은 열이 나가게 됩니다. 따라서, XQ1 < Q1, XQ2 < Q2 인 기관을 만들 수 있게 되었다는 뜻입니다. 그러면, 두개를 붙인 장치 전체를 생각하면 오른쪽과 같이 아무런 일을 하지 않았는데도 열을 뽑아낼 수 있는 장치, 즉, K = ∞ 인 완벽한 냉각기( perfect refrigerator) 를 만들 수 있다는 뜻입니다.

여기서 우리는 카르노 열기관보다 효율이 더 좋은 장치를 개발하는 일은 완벽한 냉각기를 개발하는 장치를 개발하는 일과 같다는 뜻이 됩니다. 이게 열역학 2법칙을 위반하는 장치를 만드는 일과 같다는 뜻입니다. 그래서, 우리는 열역학 2법칙에 의해 카르노 열기관보다 효율 좋은 기관은 만들 수 없다는 결론을 얻게 됩니다.

모든 열기관의 효율
<
라는 결론을 얻게 됩니다.

그래서, 다른 여러 순환과정, 여러 열기관이 있겠지만, 카르노 순환, 카르노 열기관을 배우는 것입니다. 긴 글 읽으시느라 고생하셨습니다.

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맥놀이는 영어로 beats 라고 합니다. 특별한 물리현상은 아니지만 진동수가 비슷한 두음에서 나타나는 재미있는 현상입니다.

그림으로 보는 맥놀이

아래 그림은 진동수가 각각 5Hz, 6Hz 인 파동을 시간에 따라 그린 것입니다. 두개가 비슷해 보이지는 명백히 다른 것임을 확인 위해서 마지막에는 같이 그려보았습니다. 처음부터 보시면 시간(t) 축에 대해서 파란색은 1초에 5번의 진동이 있으므로 5Hz, 빨간색은 1초에 6번의 진동이 있으므로 6Hz 가 됩니다. 두개를 같이 그린 그래프를 보면 1초에 한번씩 다시 y값이 0 이 되는 점에서 만납니다.

이 두 진동이 같이 있는 경우, 중첩의 원리상 그냥 y축 값이 더해질 것입니다. 그것을 그리면 아래와 같이 됩니다.

점선으로 그린 것을 보면 1초에 한번씩 진폭이 커졌다 작아졌다하는 형상이 보입니다. 1초 마다 한번씩 반복되는 현상이 보입니다. 1Hz 의 진동수를 가지고 있는 현상이란 뜻이죠. 이 1Hz 의 차이는 5Hz와 6Hz의 차이입니다.

이 진동수가 두 진동수의 차이인지 명확히 확인하기 위해,  5Hz와 다른 진동수인 7Hz 인 파동을 시간에 따라 다시 그렸습니다.

이번에는 점선으로 그린것을 보면 1초에 두번씩 전체 폭이 변하는 것을 볼 수 있습니다. 즉 2Hz로 1초에 2번 반복됩니다.

소리로 들어보는 맥놀이

그림은 편의상 5Hz 로 그렸지만, 5Hz 소리는 우리가 들을 수 없으로 진동수를 올렸습니다. 440Hz 음악시간의 라(A)음입니다. 뿐만 아니라 441Hz, 442Hz 의 음도 준비했습니다.

440Hz:

441Hz:

442Hz:

아마 이 음들을 잘 구분할 수 있는 사람은 거의 없을 겁니다.

그러나, 두 음을 같이 내게 되면 아주 재미있는 현상이 생깁니다.

아래는 440Hz 와 441Hz 를 동시에 내는 것입니다. 1Hz 로 음이 커졌다 작아졌다하는 것을 알 수 있습니다.

440Hz 와 442Hz 입니다. 2Hz 로 음이 커졌다 작아졌다하는 것을 알 수 있습니다. 1초에 2번씩 음이 바뀌는게 들릴것입니다.

, 의 진동수를 가진 두 음을 듣게되면
맥놀이 진동수 가 됩니다.

맥놀이의 응용 / 예

맥놀이를 이용하는 대표적인 경우가 악기의 조율입니다. 기타를 쳐 보신 분들을 알것입니다. 기타 각 줄의 음을 맞출 때, 먼저 옆의 두 줄에서 같은 음계의 음을 내도록하고 동시에 튕깁니다. 조율이 잘 안되어 있는 경우 같은 진동수가 아니기 때문에 음의 높이(진동수)가 차이의 웅~~웅~~ 하고 반복되는 것을 들을 수 있습니다. 웅~웅~ 거리는 소리가 바로 맥놀이 현상입니다. 한 음의 높이를 잘 알기는 힘들지만 두 음의 차이는 명백하게 알아들을 수 있는 것입니다. 웅~웅~ 거리는 소리가 안 나올 때까지 음을 맞추려는 줄을 조여주거나 풀어줍니다. 조율의 과정이 곧 맥놀이 진동수를 0으로 맞추는 과정입니다. ( 요즘은 기계들이 좋으니 이렇게 조율하지 않고 직접 음의 주파수를 찾아주는 장치가 쓰는 사람이 많을 수도 있겠네요..^^ 아마도 휴대폰으로 기타 음을 주파수로 보여주는 앱이 있을겁니다.)

우리나라 큰 종(범종이라고 하나요?)을 때리면 이런 음이 잘 들리지요, 가장 유명한 에밀레종 소리를 한 번 들어보면 아마도 이 소리도 맥놀이현상이지 않을까 하는 생각이 들것입니다. 직접 유튜브로 가서 들어보시지오.

물리 시간 매번 그래프나 보고 상상만 할 필요가 없는 시대인데 싶어서 시간들여서 맥놀이 예제를 만들어 보았습니다. ^^ 이만.~~

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파동으로 살펴보는 소리

우리가 귀로 듣는 소리도 파동이라고 생각합니다. 공기의 진동이 우리 귀에 전달되는 것이라고 보는 것입니다. 저기 멀리에 있는 스피커에서 나는 소리는 스피커가 공기를 진동시키고, 그 공기의 진동이 퍼져서 우리 귀속에 전달되는 것이라고 생각합니다. 스피커에서 어떤 물질이 나와서 우리 귀에 들어오는 것이 아니고, 공기를 진동시키는 에너지가 우리귀에 전달되는 것이라고 생각하는 것입니다.

공기가 없다면 소리를 들을 수 없을 것이란 결론에 이르게 되는데 이를 경험하는 것은 쉽지 않습니다. 우리 귀를 진공으로 만들면 고막이 다칠것이기 때문입니다. 우리가 갑자기 터널안에 들어가거나 높은 곳에 올라가면 귀가 먹먹해지는 현상은 압력의 변화가 생기기 때문에 생기는 현상이라고 하는데 그렇게 크지 않은 압력의 변화에도 귀가 예민한데, 진공이 되면 아마 큰일이 일어날 것입니다. 대신, 진공에서 소리가 전달되지 않는 것을 실험하는 방법은 진공에서 스피커와 마이크를 설치해서 소리가 녹음되는가를 살펴보는 것일 겁니다. 제가 직접 해보지는 않았지만, 누군가는 직접해 본 사람이 있겠죠.

우리가 소리를 듣는 방법이 공기의 진동만 있는 것은 아닙니다. 우리의 귀 주변이 떨리게 되면 소리를 들을 수 있습니다. 첫번째 근거는 우리의 목소리를 녹음하면 내 목소리랑 상당히 다르게 느껴집니다. 그런데, 다른 사람의 목소리는 거의 비슷하게 녹음되는 것을 보면 분명히 장치 문제는 아닌 것 같습니다. 그런 일이 일어나는 이유는 우리가 말한 소리가 단순히 공기를 통해서만 귀에 전달되는가 아니라, 발성기관의 진동이 머리를 진동시켜 직접 귀를 진동시키기 때문이라고 설명합니다. 두번째 근거는 골진동이라고 표현하는 장치들입니다. 혹시 손가락을 귀에 대었는데 소리가 들리는 전화기 같은 것을 뉴스에서 본 적이 있는 분도 있을 겁니다. 이 장치는 진동을 손을 통해서 귀에 전달하고, 공기의 진동은 최소화 한 장치입니다. 이런 근거들로 볼 때 소리를 듣는 방법이 단순히 공기만 있는 것이 아니기 때문에 소리를 공기의 진동이라고 하면 아주 좁은 의미로만 설명하는 것이고, 넓은 의미에서는 물체의 진동도 소리라고 할 수 있습니다. 소리를 단순히 공기의 진동만을 의미할 때는 좁은 의미의 소리라고 하겠습니다.

종파

좁은 의미의 소리는 종파의 성질을 가졌다고 합니다. 소리가 진행하는 방향과 공기(매질)이 진동하는 방향이 나란한 방향이라는 것입니다. 좁은 의미의 소리가 종파라는 근거를 잘 모르겠습니다. 언젠가 그 근거를 찾으면 업데이트 하겠습니다.  소리가 종파인지 할 수 있는 실험에 관한 자료는 클릭해보시면 됩니다. 실제로 해보지 않아 얼마나 잘 보이는지는 모르겠으나 그림에 있는 실험이 설명처럼 결과가 잘 나온다면 소리가 횡파가 아니라 종파여야지 설명가능하겠지요. (촛불에 북을 치는 종이로 막는 것은 횡파라도 있을 수 있을 것 같아서 아닌 것 같구….) 느낌으로는 종이가 진동을 잘 하려면 아마 저주파(낮은 음)의 소리가 더 잘 될 것입니다. (어려운 말로 공진이란 현상이 일어나야 하는 것이라 종이의 길이와 소리에 따라 잘 흡수할 수 있는 소리의 주파수가 다릅니다.) 누군가 실험하셔서 동영상으로 찍어서 유튜브에 올려주시면 링크걸어드리겠습니다.

>  KIST 에 계신 물리학박사님과 검토한 적이 있는데 그분도 역시 소리가 종파인 증거를 모르고 있더군요. 구글로 검색하니 나오는 걸 보고 구글신의 위대함을 다시 한 번 느낍니다. 

종파를 표현하는 것도 기본적으로 사인함수의 모양으로 분석합니다. 이걸 왜 종파를 횡파로 표현하느냐고 질문하시는 분들이 있습니다. 뿐만 아니라 구글 검색해서 보면 어떤 사람은 이걸 종파를 횡파로 변환한다고 설명하기도 합니다. 그런데, 그렇게 말하면 상당히 곤란합니다. 그래프의 y축은 처음 위치에서 이동한 양(변위의 크기)를 기록한 것입니다. 종파라고 하더라도 변화한 ‘양이 얼마인가를 표현’하는 것 이지, 변화한 ‘방향을 포함해서 표현’하는게 ‘아닙니다’. 수학적 그래프 표현 방법일 뿐입니다. 그러니 제발 종파를 횡파로 바꾼다느니, 변환한다느니 란 말은 좀 삼가셨으면 합니다.

소리의 파동을 함수로 표현하기

파동의 함수표현에서 파동을 표현한 것과 마찬가지로 소리도 함수로 표현할 수 있게 됩니다. 종파라도 마찬가지 입니다. 이전에도 말씀드린 것과 같이 파동을 삼각함수(sin,cos) 으로 표현하는 법을 배우는 이유는 어떤 함수라도 삼각함수의 합의 형태로 표현할 수 있기 때문에 파동을 표현하는 기본적 형태가 되기 때문입니다. 소리 자체는 복잡한 모양의 함수로 표현되겠지만, 그것들을 사인함수의 합들로 볼 수 있기 때문입니다. 소리에서 그 예를 보일까입니다. 물론 물리학 개론 범위를 살짝 넘어가는 부분입니다.

고등학교 물리 교재에는 ‘소리의 3요소’ 라는 표현이 있고, 그것이 크기, 높낮이, 맵시(음색) 이라고 합니다. 물리적 의미의 구분은 아니고 일상생활에서 말하는 소리의 성질을 구분하는 정도의 표현이 되겠습니다.

소리가 높낮이가 있는 것은 다들 잘 아실 겁니다. 도,레,미,…. 는 소리의 높낮이가 다른 것입니다.

소리의 크기가 다른 것도 다들 잘 아실 겁니다. 이 소리는 앞의 예보다 훨씬 작게 들립니다.

소리의 맵시(음색)이 다른 것도 다들 잘 아실 겁니다. 앞의 피아노 소리와는 달리 이건 기타 소리네요.

특히 소리의 맵시(음색) 만을 비교해 봅시다. 소리의 크기와 높낮이는 같도록 조정해 두었습니다. 소리의 높이는 라(A)음입니다. (라(A)음은 440Hz 의 진동수를 가지는 것으로 정의해 두었습니다.)

피아노 :

기타 :

sin 함수 :

소리의 크기와 높낮이는 같은 음들이고, 소리의 맵시가 다른 것을 비교하는 것입니다. 우리가 물리시간에 배우는 sin 함수는 소리가 아주 단조롭습니다. TV에서 방송종료 후 나오는 소리에서나 들을 수 있을 것 같은 소리네요.

sin 함수의 모양은 다들 잘 아실 것이고 나머지 피아노, 기타 두 소리를 함수표현한 것을 보도록 하겠습니다. 이런 소리는 공기의 떨림(진동)이 어떻게 되는지 시간에 따라 표현하면 다음 그림들과 같습니다.

이것은 피아노(위), 기타(아래)의 라(A)음을 1초간 보여 주는 그림입니다.

이것은 피아노(위), 기타(아래)의 라(A)음을 앞쪽 0.1초간 보여 주는 그림입니다.

여기서는 공기의 흔들림을 직접 측정한 것은 아니고, 스피커의 떨림을 만들어내는 함수를 표현한 것입니다. 스피커의 특성에 따라 공기의 떨림은 변형되겠지만 대체적인 모습은 거의 비슷할 것입니다.

파동의 시간에 배운 것과는 아주 다른 모양을 가지고 있습니다. 보통 파동은 이렇게 복잡한 형태랍니다. 우리가 배우는 sin 함수 형태와는 아주 다릅니다.

이런 복잡한 형태를 sin 함수들의 합으로 볼 수 있습니다. 다음 그림은 x 축이 진동수, y 축이 진폭인 그래프입니다. (축이 보통과는 달리 log 형태라서 이해하기 쉽지는 않을 것입니다.) 진동수가 다른 sin함수들이 각각 다른 크기로 진동하고 있는데, 이를 다 합친것이 소리가 됩니다. 아래 형태 그래프는 진동수별로 크기가 얼마가 되는지를 보여주는 것입니다. 이렇게 진동수 축으로 살펴보는 그래프를 스펙트럼(spectrum)이라고 합니다. 각각 다른 진동수 성분이 얼마의 비율로 섞여있는지 보여주는 것입니다. 아래 그림의 공통된 특징이 산봉우리 같이 불쑥불쑥 솟아있는 것이 보일 것입니다. 440Hz sin 함수는 이런 산봉우리가 440Hz 딱 하나만 존재하지만, 보통의 소리들은 아주 복잡한 형태를 지니고 있습니다. 그런데, 악기들은 특정의 높낮이가 있어서 아래 그림처럼 일정한 간격의 산봉우리가 생기게 됩니다.

피아노

기타

스펙트럼 분석 결과로는 피아노는 한옥타브 높은 라음(880Hz), 기타는 한옥타브 낮은 라음(220Hz) 인 것으로 보입니다. 컴퓨터로 만들어 낸 음이라서 그런 것인지, 아니면 원래 이런 음인지가 불분명합니다. 제 귀가 절대음감이 아니라서 구분을 못하겠습니다. 절대음감을 가진 분들은 확인을 부탁드립니다. 그리고, 혹시 피아노,기타를 가지신 분들은 ‘라’음을 녹음해서 보내주시면 매우 감사하겠습니다.

이런 그래프를 직접 얻으시려면 요즘은 휴대폰 앱으로 간편하게 볼 수 있습니다. 여러 프로그램들이 있습니다. 예를 들면 아이폰에서는 ‘n-Track Tuner’ 같은 것들을 이용하시면 됩니다. 안드로이드폰에서도 유사한 프로그램들이 많이 있을 겁니다.

소리의 진동수

소리의 높낮이는 물리적으로 음의 진동수와 관계가 있습니다. sin 함수는 오로지 한 진동수를 가졌지만, 피아노, 기타와 같은 악기에서 말하는 높낮이는 주된 진동수를 가지고 이야기 합니다. 실제 소리는 진동수가 아주 다양한 사인함수의 합이 됩니다. 그것을 함수표현으로 보여드렸습니다.

그럼, 우리가 귀로 들을 수 있는 진동수는 얼마가 될까요? 대략 20 ~ 20,000 Hz 라고 합니다. 그리고 들을 수 있는 주파수라고 하여 ‘가청주파수’ 라고 합니다. 하지만, 실제로 15kHz( 15,000Hz) 만 되어도 제 귀에는 잘 들리지 않습니다. 나이가 들면 들수록 높은 소리를 잘 못 듣게된다고 합니다. 요즘은 이런 소리를 만들어내는 앱들이 있어서, 초등학교에서는 앱으로 높은 음의 소리를 만들어내면 선생님이 못알아듣는 것을 가지고 장난을 치고 웃는 사례들이 있다는 것이 뉴스에 나온 적이 있습니다.

20kHz 보다 높은 주파수(진동수)를 가진 소리는 음파를 뛰어넘었다는 뜻의 초음파라고 합니다. 우리 귀에 들리지 않을 뿐 마이크나 스피커 ( 물론 초음파용으로 만든 것들입니다.)로 (넓은 의미의) 소리를 만들어 내고, 측정할 수 있습니다. 의료기기로 초음파 사진을 찍거나 ( 임산부의 아기 사진, 신장이 결석이 있는지 살펴볼 때) 자동차의 후방 거리 센서로 쓰거나, 높은 진동수를 이용한 초음파 세척기가 있습니다. (초음파 세척기에서 나는 소리는 초음파의 소리가 아니라, 장치를 구동할 때 나오는 떨림의 소리입니다.)

소리의 크기

소리의 크기를 측정하는 단위는 데시벨입니다. 1B (벨) 이란 값의 1/10 인 d(데시)를 1dB(데시벨,decibel) 이라고 하는데, 여기는 재미있게도 소리의 크기 표현 (소리의 절대적,물리적 크기 , 기준 크기 )은 로그함수의 관계로 정해 두었습니다. I가 10 배가 되면 10dB 높아집니다. 우리가 거의 못 알아듣는 값을 로 기준을 삼아서 $ 0dB 이 되고 ( ) 10배 커질 때 마다, 10dB 씩 커집니다. 보통 대화 할 때 크기는 60dB 로서, 가 된다고 합니다. 이라고 합니다.(음향쪽 관련하여 소리의 크기를 나타내는 방법은 다양하게 존재하고 용어가 조금씩 다르던데, 우리가 일상생활에서 접하는 데시벨의 정의는 이렇게 되어 있습니다.)

결국, 파동의 사인함수에서 진폭과 진동수가 전달되는 에너지 크기와 비례하므로, 소리의 크기는 진폭과 진동수에도 연관이 있을 겁니다.

소리의 속력

공기중에서 소리의 속력 (진동이 퍼져나가는 속력) 은 340m/s 라고 알려져있지만, 기온과 습도에 민감한 편이므로 실제 측정해보면 그렇게 나오지는 않을 것입니다. 넓은 의미의 소리는 물체의 진동이므로 액체에서의 소리, 고체에서의 소리도 생각할 수 있으므로, 액체, 고체에서 소리의 속력도 생각할 수 있습니다. 대체적으로 기체에서보다 액체에서 속력이 빠르고, 액체보다 고체에서 속력이 더 빠릅니다. 당연할 것 같지 않습니까? 물질의 진동이 퍼져나가는 것이니까 좀 더 촘촘히 있는 경우가 더 영향을 잘 받아서 진동이 더 빨리 퍼져나갈것 같지 않습니까?

공기중의 소리의 속력은 온도가 올라질수록 빨라집니다. 당연할 것 같지 않습니까? 공기가 자주 빨리 움직일 수록 (열역학에서 분자의 운동을 생각해 봅시다.) 진동도 빨리 전달될 가능성이 더 커지지 않을까요? 공기가 온도가 다른 층이 있다면 굴절현상도 생길 것입니다.

넓은 의미의 소리, 그리고 종파와 횡파

지진파도 결국 넓은 의미의 ‘소리’입니다. 지구과학 시간에 지진에 대해서 배울 때,  지진파의 종류가 여러가지가 있다고 배웁니다. 그 중, P파는 종파, S파는 횡파라고 합니다. 고체의 경우에는 종파인 P파뿐만 아니라 횡파인 S파도 전달됩니다.  액체에서는 S파는 통과하지 못하고 P파만 통과한다고 합니다. 넓은 의미의 소리로 볼때는 횡파도 존재합니다만 고체에서만 전달됩니다.  

그럼, 앞에서 좁은 의미의 소리, 넓은 의미의 소리까지 모두 살펴보면  유체 (액체와 기체)인 경우, 횡파형태로는 파동이 전달 안된다는 뜻이네요. 

> 좁은 의미의 소리가 횡파가 생길 수 없는 이유는 기체는 충돌을 통해서 에너지가 전달될 수 있어 종파는 만들어 질 수 있지만, 파동 진행방향의 수직방향으로 옆에 있는 기체를 당길 수 있는 기체사이의 인력이 작용하지 않아서 횡파는 만들어 질 수 없는 것 아닐까 생각됩니다.  비슷하게 액체에서 지진파의 S파가 전달되지 않는 것도 액체에서 인력이 작용하지 않으면 설명이 가능합니다. 

> 바다나 호수에 있는 파도의 경우는 수면에서 이루어지는 현상으로 표면장력이라는 인력이 있으므로 횡파적 특성이 가능할 것으로 생각이 됩니다만, 위에서 말한 지진파의 경우 액체의 내부의 인력이 작은지 확실치 않습니다. 용암이 끈적이는 것처럼 보여서 횡파가 가능할 것 같기도 한데……. (이건 지구과학 전문가들에게 물어봐야 할 것 같군요.)

정리

소리를 파동으로서 분석해보았습니다. 소리의 3요소라는 크기, 높낮이, 맵시(음색) 이 이미 배운 파동의 함수 표현과 어떤 관계를 가지는지 살펴보았습니다.

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