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정상파에 대해서는 이미 약간 배운바있다고 가정하고 글을 쓰겠습니다.
고등학교 물리1, 물리2 에서 다룬 것과 다른 것은 없습니다. ( 정상파를 처음 들어보는 분은 클릭해서 먼저 살펴보세요.)
정상파를 배울때는 파동의 독립성 또는 중첩의 원리를 알아야 합니다. 파동과 파동이 만났을 때 각각의 진동이 독립적으로 진행하고, 그 진동의 변위는 각각 더해주면 됩니다.

정상파 함수 표현

— 짓궂은 출제위원이 이런 걸 묻더라구요.

정상파는 진폭, 파장, 주기가 같고 단지 진행 방향만 반대인 두 파동이 만나면 일어나는 일을 다루는 것입니다. sin 함수 표현은 기억하시겠죠. 결론은 아래와 같았습니다. 각 기호의 정의는 클릭해서 살펴보세요.

이중 제일 처음 것을 이용하겠습니다.

한 파동이 라면 또 다른 나머지 한 파동은 진폭,파장, 주기는 같고 진행방향이 반대라고 했으니, 가 됩니다. 두 파동이 만난 경우라면 중첩의 원리상 그냥 두 함수를 더한 것이 최종 모습이 됩니다.

고등학교 수학시간에 이런 sin 함수의 합을 곱으로 나타낼 수 있는게 있었죠. ㅠㅠ 기억이 안 날게 뻔하므로 링크 걸어드립니다. ( 물론 를 이용하면 결과를 찾을 수도 있습니다.시간은 좀 걸리겠지만 )
랍니다.
그래서, 위의 함수는

가 됩니다.
제가 좋아하는 파장과 주기 표현으로 바꾸면

가 됩니다.

이걸 그릴 수 있겠습니까? 이건 파동 하나만 있는 것 보다 훨씬 그리기가 편합니다. sin 함수와 cos 함수의 곱입니다.
시간에 따라 변해가는 것을 그리면 t=0 일 때도 sin 함수, t = 0.01 일 때도 sin 함수, t = 0.1T 일 때도 sin 함수……. 좌우로도 움직이지 않고 그냥 x=0일 때는 항상 0, x = 일 때도 항상 0, … x = 의 정수배이기만 하면 항상 0 인 sin 함수를 그리면 됩니다. 대신, 얼마나 높이 올라가느냐는 t 가 주어졌을 때 cos 값을 곱해주면 됩니다. 특이하게도 cos 값이 0 인 경우는 순간적으로 아무일 없는 것처럼 보일 때도 있겠네요.( 물리1 에서 그린 것이라 제가 따로 안 그립니다. 언젠가 능력될 때 시뮬레이션으로 보여드리겠습니다. 그 때까지는 이렇게 말로 궁시렁 거리는 것을 양해 바랍니다.)

정상파의 마디는 항상 0 이 나오는 지점입니다. 배는 마디와 마디 사이가 되고, 배의 진폭은 기본 파동의 두배가 되겠네요.
마디가 되는 지점이 , , … 되어 (n 은 자연수) 입니다.
배가 되는 지점은 마디와 마디 사이가 이므로, 배가 되는 지점은 , , …. 으로 의 홀수배가 됩니다. (n 은 자연수)입니다.

파동의 진행은 위상이 동일한 지점이 움직이는 것인데, 여기서는 파동이 진행하는게 보이지 않습니다. 정상파(定常波)는 한자로 보면 정상(正常), 비정상(非正常)이 아니라 상(常)이 정(定)해져 있는 파란 뜻입니다. 마디가 되는 지점이 딱 정해져 있지요. 영어로는 standing wave 라고 합니다. 진행하지 않고 서 있는 파동입니다.

여기까지는 별 특별한 제약이 없습니다. (물론 파장과 주기사이의 관계는 파동의 진행 속력에 의해 정해지지만) 파장과 주기가 얼마이든 상관없이 벌어지는 일입니다. 특별한 일은 길이가 유한곳에서 일어나는 일입니다. 이게 시험에서 자주 나오는 상황입니다.

줄에서 정상파

우리가 실험에서 볼 줄은 길이가 정해져 있습니다. 약간 팽팽하게 만들어 한 쪽 끝을 고정시켜 묶어둡니다. 그리고, 줄에 진동을 만들어 주면 진동이 곧 파동이 되고, 묶여있는 곳에서 반사를 일으킬 것입니다. 우리가 흔들어준 파동과 반사된 파동이 (이론적으로는) 진폭과 파장과 진동수가 동일하지만 진행방향이 서로 반대이 파동이 될 것입니다. 금방 앞에서 배운 정상파를 이루게 될 것입니다.

동영상을 보시죠. 두개는 같은 실험입니다.

(이건 움직이는 손이 보여서)

(이건 슬로우모션이 있어서)

앞에서 말한 정상파를 함수로 표현하거랑 유사하게 나오는 것 같습니까?
위에서 말한 것과 가장 큰 차이는 파장과 주기가 일정한 조건을 만족해야만 정상파가 가능하다는 점입니다. 한쪽으로 흔들어주기 위해서 한쪽을 고정 시킬 수 없었는데, 만약 양쪽을 모두 고정시키고 흔들수 있다면 더 설명하기가 편합니다.

(이건 기계가 흔들고 있어서 얼마나 열심히 흔들어주는지 감이 안 생깁니다.)

양쪽 끝은 고정이 되어 있는 곳에서 정상파가 생기면, 양쪽 끝이 곧 마디가 되어야 합니다. 줄의 길이가 이라고 하면, , , , , ,….. 인 정상파가 가능합니다. 조금 수학적으로 멋있게 표현하면 (n 은 자연수) 일 때 정상파가 가능합니다. 위의 관계식을 다르게 표현 하면 파동의 파장 이 되어야 할 것입니다.

n=1 일 때 진동을 기본진동이라고 하면 n=2 이면 2배 진동, n=3 이면 3배 진동 … 이라고 이름을 지으면 좋겠네요.

진동수와 파장은 파동의 속력과 관계가 있습니다.( ) 실험 상황에서 처럼 파동의 속력이 일정하게 정해진 경우에는 이 되어야 할 것입니다. n 이 커진 조건이 만들어지려면 진동수가 바뀌어야 합니다. 손이 보이는 동영상을 보면 진동 배수가 올라갈수록 (n 이 커질수록) 얼마나 열심히 흔들고 있는지 보이나요?

팽팽한 줄에서 파동의 속력 ( 는 장력, $ 는 선밀도 입니다. ) 그래서, 기계가 흔드는 실험에서는 추가 달려있는게 보이죠. 장력 T 를 조절해서 기계가 잘 흔들 수 있는 조건을 맞춰주려는 것입니다.

문제 풀어보기

공무원 7급 국가직 2012
공무원 7급 국가직 2013
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공무원 7급 국가직 2015

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이상 기체의 T-S도는 살짝 언급만 할 뿐 자세히는 소개하지 않습니다. 그래서, 제가 출제위원이라면 한 번 문제를 내어봐도 되겠다고 생각을 한 적이 있는데, 사람의 생각은 비슷한지 시험에서 출제된 적이 있더라구요. 이전에 배운 것들을 잘 정리하고 이해하면 내용자체는 어렵지 않습니다. T-S 도 자체가 어려운게 아니라, 그전에 배운 내용을 잘 정리하지 못하기 때문에 어려울 수는 있습니다.

이상 기체 T-S 도

이상 기체의 상태를 기술하기 위해서는 압력(P), 부피(V), 온도(T), 엔트로피(S) 의 상태값을 알고 있어야합니다. 이 상태값들은 이상기체의 경우 PV=nRT (n: 몰수, R : 기체상수) 의 관계를 가지고 있습니다. 상태가 변하는 과정은 여러방법이 있겠지만, 어느 한 변수를 고정시킨 상태변화에 대해서는 계산도 쉽게 할 수 있어 4가지 과정을 따로 배우고, 4가지 과정을 P-V 관계를 그려서 P-V 도라고 합니다.
물론 과정에서 T와 S도 변하는데, 이를 따로 계산한 바 있습니다.(이상기체 4대 과정 참조) 그 결과를 다시 그림으로 T-S 관계를 그릴 수 있습니다.

그림의 o-a 과정이 등적(정적) 과정, o-b 과정이 등압(정압)과정, o-c 과정이 등온 과정, o-d 과정이 단열과정입니다. ( 왼쪽과 오른쪽의 a,b,c,d 가 같은 상태는 아닙니다. 왼쪽은 그냥 Sf 가 같을 때의 T 를 비교하기 좋도록 그린 것입니다. 오른쪽은 Vf 가 같을 때 P 를 비교하기 좋도록 그린 것입니다. )

T-S도 와 열출입

P-V 도에서는 인 관계를 알고 있기 때문에 상태변화과정그래프의 아래쪽 면적이 기체가 한 일이 됩니다. 마찬가지고, T-S 도에서는 인 관계를 알고 있기 때문에 상태변화 과정 그래프의 아래쪽 면적은 출입한 열의 양이 됩니다.

단열과정을 제외하고는 열출입이 있습니다. o에서 a,b,c 로 가는 과정은 모두 열이 기체로 들어오는 과정입니다. 즉 적분했을 때, (+) 값이 나오면 들어온 열량이 됩니다. 등온 과정에서는 직사각형이 되므로 가 쉽게 구해집니다. 단열과정은 열출입이 없는게 그래프에서도 그대로 나타납니다.

P-V 와 달리, T-S는 관계 함수 자체가 복잡하기 때문에 이 면적을 직접 적분해서 구하라고 시험에 출제하기에는 부담스러운 부분이 있습니다.

T-S도 와 카르노 순환

T-S 도를 기억하면 가장 좋은 장점은 카르노 순환에서 열출입을 이해하기가 좋다는 점입니다.

그림은 카르노 순환의 T-S도 와 P-V도를 그린 것입니다. (이 예제는 시계 방향의 순환과정을 거칩니다.여기서든 각 점의 상태는 왼쪽,오른쪽이 같습니다.)
오른쪽은 자주 본 그림으로 회색으로 칠한 면적이 한 순환과정을 거친 동안 한 일의 양(W)을 나타낸것입니다. 하지만, 열출입양은 아주 이해하기가 어렵니다. 그러나, 왼쪽 그림을 보면 아주 단순합니다.
T2 에서 오른쪽으로 갈 때, 들어온 열량 Q2 는 T2*(S2-S1) 이 될 것입니다.
T1 에서 왼쪽으로 갈 때, 나간 열량 Q1 은 T1*(S2-S1) 이 될 것입니다.
한 순환과정에서 최종 출입한 열량은 Q2-Q1 일 될것입니다. 이 만큼이 기체가 한 일 W 와 같게 됩니다.

기체에 들어온 열량 Q2 와 나간 열량 Q1 의 비는 온도 T2 와 T1 의 비와 같습니다.
Q1 : Q2 = T1 : T2
란 관계를 억지로 외울 필요없이도 그림만 봐도 쉽게 이해 할 수 있습니다.

정리

T-S도는 이상기체의 상태를 표시하는 4개 변수중 T와 S 를 중심으로 살펴보는 것으로, 열출입을 이해하는데 도움이 됩니다. 특히 등온과정과 단열과정으로 이루어진 카르노순환을 쉽게 이해하는데 도움이 됩니다. 물론, 이 관계를 찾아내는데는 앞에서 배운 모든 지식이 잘 정리되어있어야만합니다.

기출문제

공무원 7급 국가직 물리학개론 문제에 2017년 출제된 적이 있습니다.

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파동에서 움직여 보이는 것은 무엇일까요?
파동을 진동이 퍼져나가는 것이라고 설명합니다. 지난번에 알게된 파동을 sin 함수로 표현하는 것을 보면 파동의 움직임은 자신의 위치에서 움직이고 있을 뿐 그 위치 자체는 바뀌지 않습니다. ( 지난번 자료 바로 가기)

하지만 우리 눈에는 파동을 보면 뭔가 위치가 바뀌는 현상이 분명히 보입니다.

위 그림에서 보면 파동의 마루가 시간이 지남에 따라 오른쪽으로 움직이고 있습니다.

파동

파동은 진동이 공간에서 퍼져나가는 현상입니다. 이 진동이 어떤 물질의 움직이라면 이 물질을 매질이라고 부릅니다. 진동을 매개하는 물질입니다. 소리라면 공기가 매질이 될것입니다. 줄의 흔들림은 줄 자체가 매질이 될 것입니다. 줄이 위 아래로 움직이는 예제에서 이 매질의 움직임은 처음의 그림과 같이 아래,위로 움직이기만 할 뿐 좌,우로는 움직이지 않습니다. 그런데, 두번째 그림과 같이 무엇인가가 오른쪽으로 움직이고 있습니다. ‘진동’이라는 현상이 오른쪽으로 퍼져나가고 있는 것입니다. 이런 진동이 있으려면 운동에너지가 필요하므로, 파동은 매질이 직접 움직이지 않으면서도 에너지는 퍼져나가게 하는 방법이라는 것입니다.

위상과 파동의 속력

위의 그림에서 하트와 번개그림이 표시하고 있는 지점을 마루라고 했습니다. 마루는 sin 함수에서 가 되는 지점들입니다. sin 함수안의 각에 해당하는 부분을 위상이라고 하고, 그림으로 표시하는 점은 위상이 같은 지점입니다.
결국, 진동이 퍼져나갈때 우리 눈이 쫓아가면서 보고 있는 점은 위상이 같은 점입니다. 위상이 얼마나 빨리 움직여나가는가를 표현하는 것을 파동의 속력이라고 합니다. 줄의 진동이 얼마나 빨리 퍼져나가는지를 표현하는 방법이 될 것이며, 이것은 곧 줄의 진동과 관련된 에너지가 퍼져나는 속력이 될 것입니다. 위 그래프에서 파동의 속력은 얼마인가요? 하트모양은 t=0 일 때 x= 1, t=0.5 일 때 x=2, t=1.0 일 때 x= 3, t=1.5 일 때 x=3 에 있습니다. 결국, t가 0.5[초] 변할 때, x 는 1[m]씩 증가합니다. 그러니까 2[m/s] 가 파동의 속력이 됩니다. 이것을 파동의 함수만 보고 구할 수 있을까요?
위 그래프는 을 그린 것입니다. 파장은 4[m], 주기는 2[초] 였습니다. 결국, 지금 구한 것을 보면 파동의 속력은 파장을 주기로 나눈것과 같은 값이 되었습니다.



에서 보았을 때,
파동의 속력 입니다. 속력은 거리 / 시간이니까, 당연히 파장 / 주기가 될것입니다. 이게 우연이고, 공식이라서 그렇게 구한 것이 아니라, 2번째 그림에서 나타난 현상을 보니 그 결과가 나온 것이었습니다.
그렇게 나올 수 밖에 없습니다. 하트를 보면 위상이 되는 점입니다. 함수를 보면 인 점을 살펴본 것입니다. 이 되는 점을 살펴 본것입니다. 되는 점을 살펴본 것입니다. 그러니 파동의 속력이 됩니다.
그럼, 또 다른 값들로 표현하면
가 될 것입니다.
(물론, 도 됩니다.)
모두 파동의 위상이 같은 점이 어떤 속력으로 움직이는가를 보는 것입니다.

파동의 에너지가 퍼져나가는 현상

파동의 함수에서 한 점의 움직임은 마치 단진동하는 물체의 움직임을 표현하는 것과 같은 모양을 가지고 있습니다. 이 움직임 즉 진동의 에너지는 에 비례할 것입니다.(단진동의 운동에너지 참조) 다시 말해 진폭의 제곱에, 진동수의 제곱에 비례합니다. 이런 에너지가 파동의 속력 v 로 퍼져나갑니다.

파동이 움직이는게 아직도 이해 되지 않는다면 눈으로 직접 봅시다.

sin 함수와 같이 표현되면 아무래도 움직이는게 뭔지 약간은 혼동스러울 수 있습니다. 그래서 준비했습니다.

이 동영상을 보면 딱 한 번만 용수철을 흔듭니다. 그러면 오른쪽으로 마루가 움직이다가 다시 왼쪽으로 오는 것이 보이지요. 자세히 보면 용수철은 아래,위로 움직입니다. 매질은 아래,위로 움직입니다. 좌우로 움직이는 것은 결국 에너지가 움직이는 것입니다.

이렇게 매질이 움직이는 방향이 파동이 움직이는 방향에 수직인것 (횡적인것) 을 횡파라고 합니다.
매질이 움직이는 방향이 파동이 움직이는 방향에 나란한 것(종적인것)을 종파라고 합니다.
한번 보는것이 최고죠

파동의 속력이 동영상에서 파동의 속력이 어떤 움직임에 대한 것인지 알 수 있다면 이글의 목표는 다한 것입니다. 그냥 열린 질문 하나 하고 마치겠습니다. 그럼 이 줄에서 파동의 속력은 어떻게 결정될까요? 우리가 흔드는 진동수?, 매질의 성질? 소리의 속력은? 빛의 속력은? …

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파동(wave)를 함수로 표현해 봅시다. 고등학교때까지 대략 어떻게 표현하는지는 배웠고, 문제도 풀어보았을 것이라고 생각합니다. (물론 다 까먹었겠지만..) 이제는 조금 더 전문가적으로 표현해 볼까합니다. 파동현상이 많은 예가 존재하겠지만, 여기서는 아~~주 기다란 줄정도로 생각해 봅시다. 한 쪽 끝을 잡고 규칙적으로 흔들어 줍니다. 반대쪽 끝은 너무 멀리 있어 생각하지 않겠습니다. 줄이 흔들거리는게 상상이 되나요? 이걸 수학적으로 표현하려고 합니다.

변수는 2개다

먼저 시간에 따라 계속 변하니까 사진을 한 장 찰칵 찍습니다. 물리적으로는 시간을 고정했을 때 모양을 보자는 것입니다.

대략 이런 모양일 겁니다. 그러면 우리는 수학적으로 의 함수라고 할 수 있습니다. 이것은 사진 한장만 표현한 것입니다. 시간이 흘러갈 때를 표현하지 못하고 있습니다. 이 모양이 시간이 흘러갈 때 어떻게 변하는지도 표현할 수 있어야 합니다. 그래서 (t는 시간, x,y는 위치) 와 같이 x, t 가 변할 때, y 도 변한다고 표현해야합니다. 변수가 2개짜리인 함수로 표현하는 것이 고등학교때는 잘 다루지 않았던 모양입니다. 대학교 수학시간에 배우는 편미분이란 개념도 이렇게 변수가 2개 이상이 될 때라는 새로운 세계가 열리는 거죠.

새로운거 나오면 왜 기가 죽는지. 뭔가 자신이 없어집니다. 우리가 어릴때는 그렇지 않았어요. 새로운 것들을 보면 재미있어 했는데…. 학교 다니다 보니 뭔가 새로운 것을 하나씩 배울 때마다 점점 어려운 것들이었습니다. 이제는 새로운 것은 어려운 것이란 것을 말을 안해줘도 알고 있지요. 어려우니까 나중에 가르쳐 주는 거고, 나중에 배우는 새로운 것은 당연히 어려울 것이란 것입니다. 하지만, 초등학교때 그 어렵던 구구단이 아직도 어렵게 느껴지시나요? 익숙해지고 나면 어렵다고 생각하지 않습니다. 새로운 것이 나오면 익숙해질 때까지 하는게 쉽게 느끼는 방법입니다. 이제는 새로운게 나오면 그게 익숙해지려고 시간을 들이지 않고 다른 익숙한 것을 즐기고 싶은게 문제죠… 여기서는 파동을 표현하는 함수와 익숙해지는 시간을 가지려고 합니다.

먼저 sin 함수랑 친해집시다.

파동함수가 2개의 변수를 가진 함수란 거에는 동의하는지요? 그럼, 어떤 함수일까요? 제목을 보아하니 sin 함수겠다고 생각하시겠지만, 사실을 전혀 그렇지 않습니다. 우리 주변에서 보는 파동 현상을 표현하는 함수는 딱 정해진 함수가 아닙니다. 그때 그때마다 그 상황마다 다 다릅니다. 피아노 건반을 두드렸을 때 나오는 소리의 파동모양과 바이올린에서 나오는 소리의 파동모양도 다르고, 피아노 건반을 어떤 것을 누르냐에 따라 다르고, 얼마나 오래 눌렀나, 얼마나 세게 눌렀나에 따라서도 다릅니다. 사람마다 목소리가 다른 것도 그렇구요. 우리가 파동이라고 부르는 것을 함수로 표현하면 가 끝입니다. 상황마다 함수 f 가 다 다릅니다. 그런데, 교과서에서는 sin 함수를 가지고 이야기를 합니다. 왜 그럴까요? 상황마다 다른 함수 f를 설명하기 쉽게 하기 위해서입니다. 이야기는 마지막에 다시하도록 하겠습니다. 일단 sin 함수랑 친해집시다. (중학교때 삼각함수를 배울때 이렇게 인연이 질길지 몰랐었죠? )

파동을 함수로 표현하는 가장 간단한 형태는

입니다. 이 함수와 친해집시다.

시간을 고정시키고 살펴 봅시다.

이런 이상한 모양이 나타나면 일단 겁을 먹으면 안됩니다. 우리가 순서대로 배우는 것은 이 쯤 되면 이런것은 알 수 있을 거야 하고 가르치는 순서가 있는 겁니다. 이런 것은 알 수 있으니까 소개하는 거니 겁먹으면 안됩니다.
처음에 줄을 흔들 때 모양을 사진을 찍었습니다. 사진 찍는 시간을 일정한 간격으로 몇 장 더 찍어 봅니다.

시간에 따라 모양이 바뀝니다. (t 의 단위는 생략했는데, 기본 단위인 [초] 라고 생각합시다.) 위의 수식에서 t에 0,0.5,1.0,1.5 를 넣으면 됩니다.
그래프는 위에서 부터 순서대로 , , , 를 그린 것입니다.

이중에서 가장 익숙한 것은 함수이네요. 이것만 다시 그려보겠습니다.

x=0,1,2,3 인 곳에는 눈에 띄게 색깔을 입힌 큰 점을 그려두었습니다.
그리고, 여러개의 화살표로 간격을 표시하고 있는 것이 있습니다. 이 화살표가 표시하는 것이 무엇인가요? 이 파동이 일정한 거리마다 반복해서 나타난다는 점을 강조하고 있는 것입니다. 어디를 기준으로 보는가는 여러분 마음입니다. 제 눈에는 사실 가장 높은 부분이 눈에 잘 뜨입니다. 가장 높은 곳, 가장 낮은 곳들은 마치 산마루와 골짜기처럼 보이지 않습니까? 그래서, 이름을 파동의 ‘마루’, ‘골’ 이라고 합니다. 중고등학교 때 배운 기억이 돌아오고 있나요?
그럼, 화살표로 표시한 길이를 뭐라고 하는지는 기억나시는지요? ‘파장’? ‘주기’? 영어로는 쉬운데.. wavelength 라고 합니다. ‘파의 길이’ 정도의 느낌인데 우리말로는 한자말이라서 조금 어렵네요. ‘파장(波長)’ 입니다. 한자를 보면 ‘파의 길이’란 뜻이네요. 지금은 사진을 찍어둔것이니까 이게 파의 길이입니다. 파가 최소로 반복되는 길이입니다.
그다음 남은 용어는 ‘진폭’입니다. 마루에서 골까지의 높낮이를 진폭이라고 하면 편할 듯한데, 그 길이의 절반입니다.
위 그래프에서는 x축(y=0)부터 마루까지 거리 또는 x축(y=0)부터 골까지의 거리를 진폭이라고 합니다. 이렇게 절반으로 정의를 해야 A 는 진폭이다라고 말하기 쉽거든요. 함수에서의 A 입니다.
이제는 정말 마지막입니다. 위 그래프로 볼 때 는 얼마일까요?
sin 함수는 마다 반복됩니다. 위 그래프는 x가 4 가 커지면 반복됩니다. 좀 어려우면 숫자를 직접 넣어 봅시다. x=0 이면 y = sin 0 = 0 이 됩니다. x= 4 가 되면 y = sin (4 ) = 0 이 됩니다. 그러니까, 가 정답이겠네요.
그래프에서 4란 길이는 파장 이란 이름을 가졌습니다. 파장이 4가 아니라 라고 하면 는 얼마일까요? 가 됩니다.
머리 아프니까 일단 여기까지만 해 둡시다.

눈에 띄게 색깔을 입힌 큰 점은 왜 그렸을까요?

이렇게 다시 그릴려고 표시한 것입니다. 보이시나요, 빨간 점은 아래위로만 움직일 뿐 좌우로 움직이지 않습니다. 이게 흔들고 있는 줄을 사진을 찍은 것을 생각하자는 것이었습니다. 줄이 옆으로 움직이는게 아니라 단순히 아래위로만 움직이는 것입니다. 그런데, 우리 눈에는 시간에 따라 좌 또는 우로 움직이는 것처럼도 보인다는 것이죠.
바닷가 파도를 생각해 봅시다. 파도가 막 밀려오지 않습니까? 사실은 물이 아래 위로만 움직이고 우리쪽으로 진행하지 않는다는 것입니다. ( 이건 개소리입니다. 파도는 파동은 맞지만 sin 함수가 아니기 때문에 좌우로도 움직입니다. 그러니까, 발밑에 물이 왔다가 갔다가 하는 것입니다.)
파동에서 좌우로 움직이는 것처럼 보이는 것은 다음에 설명하기로 하고, 지금은 색깔을 입힌 점들만 열심히 보자는 것입니다. sin 함수에서는 아래 위로만 움직이는 것은 분명합니다.

TV로 축구 중계를 보다가 파도타기 응원을 하는 것 보고 추가합니다. 파도타기 응원을 보면 축구장 관중들이 한번 일어났다 앉는 것을 볼 수 있습니다. 우리가 그 관중이라면 바로 옆사람이 일어나자 마자 나도 일어났다가 앉습니다. 내가 하는 것은 단지 일어났다가 앉는 움직이지만 전체적으로 보면 파도가 운동장을 한바퀴 도는 모습을 볼 수 있습니다. 사람이 직접 달려가는 것은 아니지만, 뭔가 달려가는 것을 볼 수 있습니다. 파동에서 움직임과 똑같은 현상입니다.

위치를 고정시키고 살펴 봅시다.

각 점의 색깔에 맞추어서 그래프의 색깔을 입혔습니다. 그냥 대충보고 ‘구불구불한 것들이 있네.’ 그러지 마시고 자세히 한 번 봐주세요. 색깔별로 함수가 다 다른게 보이나요? 시간 t = 0 일 때 빨간점, …., 보라색점 의 위치가 위의 그림과 같은 위치에 있나요? t= 0.5 일 때 각 색깔의 점들은 다 제자리에 있나요? 자꾸 들여다 보아야 익숙해집니다.

처음의 수식에서 x 에 0,1,2,3 를 넣어서 그린 그래프입니다.
그래프는 위에서 부터 순서대로 , , , 를 그린 것입니다.
인 것을 알고 있으니까, 다시 쓰면, , , , 와 같습니다. 제대로 그려진 것인지 다시 한 번 확인해 보세요.
이것도 함수가 복잡한 것은 싫으니까, 만 봅시다. x=0 이니까, 빨간점을 보겠다는 것이고, 시간에 따라 위치가 어떻게 되는가를 보겠다는 것입니다. t= 0 일 때, 원점, t=0.5 일 때 골, t=1.0 일 때 원점, t=1.5일 때 마루에 있었던 것입니다.

이 그래프가 그대로 표현하고 있나요? 여기서는 시간에 따라 표현하는 것이라 여기서 가장 높은 곳을 마루, 가장 낮은 곳을 골이라고 하는지 아닌지는 불확실합니다. 마루와 골은 위치에 따라 설명할 때만 사용해서, 시간에 따라 설명할 때도 그렇게 표현하는지는 잘 모르겠습니다. 이런 이름은 약속인데 시간에 따라 변하는 것을 이렇게 약속했는지는 확실치 않네요. 하지만, 저는 여기서 편의를 위해서 마루와 골이라고 하겠습니다. 시간이 0,0.5,1.0,1.5 일 때, 원점, 마루, 원점, 골을 지나가네요. 이게 정확히 2[초]가 되면 다시 반복하고 있는 모양입니다. 이렇게 시간에 따라 반복될 때 이 시간을 뭐라고 부르나~~~요. 이건 많이 해보았던 겁니다. 스프링에 묶여 있던 물체, 단진자, 원운동…. .
네, ‘주기(period)’ 입니다. 앞에서 본 그래프도 sin 함수 모양이고 지금도 sin 함수 모양이지만, 언제는 주기라고 그러구 언제는 파장이라고 합니다. 그 차이는 바로 수평축이 무엇이냐에 달려있습니다. 지금처럼 수평축이 시간(t) 인 경우가 주기이고, 거리(x) 인 경우가 파장입니다. (중고등학교때 틀렸던 분들은 다시 한 번 잘 살펴보세요.) 지금은 빨간점이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 살펴보는 것입니다.
그 다음 질문은 ‘ 는 얼마일까요?’ 입니다. 앞에서 했던 것 처럼 t=0 일 때, , t=2 일 때, 은 이란 뜻이겠네요. ( 가 아니라 마다 같은 모양이 반복됩니다. ) 정답은 입니다. 주기가 2 대신 T 라고 하면 입니다.
여기서 에서 귀찮게 sin 안에 (-) 가 들어 있습니다. 애시당초 라고 시작하는 바람에 이런 문제가 생겼는데, 생각하기 쉬우려면 t=0 일 때 보다는 t=1 부터 시작하면 그대로 sin 함수가 나오니까 잘 할 수 있겠죠?

sin 함수나 cos 함수나

금방 t=1 부터 시작하면 다시 sin 함수 모양이 나온다고 했는데, t=1.5부터 시작하면 cos 함수모양이 나올겁니다. 잘 알고 있다시피 sin 함수는 평행이동하면 cos 함수가 되고, cos함수는 평행이동하면 sin 함수가 됩니다. 그러니까, 제일 처음 sin 함수와 친해지자고 했는데, 그러고 나면 cos 함수로 써놓았다고 하더라도 무서울게 없습니다. 시작점만 달라질뿐 나머지는 같습니다. 시작점이란게 언제를 0초로 하고, 어디서 부터 거리를 측정하는가의 문제이므로, 물리적으로 파동이 sin 함수인지 cos 함수인지는 시작점을 어떻게 잡는가의 차이밖에는 없습니다. 파동함수는 sin 함수도 되지만, cos함수도 됩니다. t=0,x=0 일때 y=0 이라는 조건을 만족하는게 모양이 예뻐보여서 sin 함수를 쓰는 것 뿐입니다.

처음 함수를 다르게 표현해 볼까

에 우리가 구한 값을 쓰면 가 됩니다. 파장과 주기를 쉽게 알아 보려면 로 쓰면 어떨까요? x 를 4 로 나누고, t 를 1로 나눈 모양으로 표현하는 것입니다. x 가 4 만큼 더 커지면 sin 안의 값이 가 더 커집니다. 또는 t가 2 만큼 더 커지면 sin 안의 값이 더 커집니다. sin 안의 값이 커질 때 마다 모양은 반복됩니다. 길이가 반복되는 값을 파장이라고 하고, 시간이 반복되는 값을 주기라고 합니다. 4 는 파장, 단위는 길이니까 [m], 2 는 주기, 단위는 [초] 가 될 겁니다.
앞에서 , 라고 했습니다.
그러니까, 대신
라고 쓸 수 있습니다. 이 표현은 파장과 주기를 쉽게 찾을 수 있기 때문에 사용합니다.

이게 끝이 아니니 어렵네.

주기( )의 역수를 진동수 (frequency, ) 라고 합니다. 마찬가지로 파장( )의 역수에도 이름을 붙였습니다. 파수(wavenumber)라고 합니다. 기호로는 를 많이 씁니다. 진동수가 1초에 몇번이나 진동하는가에 대한 답이라면, 파수는 1m 에 몇번이나 진동하는가에 대한 답을 하려는 것입니다.
를 각진동수(angular frequency, ) 라고 하듯이 를 각파수(angular wavenumber)라고 합니다. 기호로는 를 많이 씁니다. (앞에서 보았죠.)
가 되듯, 가 됩니다.
앞의 기호가 k 로 보였다면 다시 한번 확인하세요. 어떤 책에서는 대신 k 를 쓰기도 하는데, 헷갈리지 않으려면 각진동수 가 그리스문자로 쓰고, 각파수도 그리스문자 로 쓰는게 좋습니다만, 그렇지 않은 책들이 많아요..ㅠ ㅠ

가 모두 같은 뜻입니다.

이제 그만 좀 합시다

뻥을 좀 섞으면 세상의 모든 함수는 sin과 cos 함수꼴로 나타낼 수 있다는 수학이 있습니다. (푸리에 변환) 그래서, 파동함수를 sin (또는 cos) 의 함수로 나타내는 법을 먼저 배워 두면, 모든 파동을 나타낼 수 있는 함수를 sin (또는 cos) 의 함수로 해석하겠다는 숨겨진 생각이 있습니다. 그래서, 먼저 sin 함수로 표현하는 법을 배우는데, 2개 변수함수라서 익숙하지 않습니다. 그리고는 다시 여러 정의들이 우르르 나옵니다. 그런데, 이게 어려운 내용이 아닙니다. 익숙하지 않아서 그런것입니다. 자꾸 보고, 자꾸 바꿔 써보고, 자꾸 값을 구해보면 구구단 같이 될 겁니다. 눈에 들어오기 쉬워라고 대칭적으로 비교하면서 써두었으니 다시 한 번 읽어 보십시오.

이것 만으로도 충분히 머리가 아프니 속력이야기는 다음에 하겠습니다. 파동의 중요한 성질과 (-)을 쓰게 된 이유를 알게 됩니다. 파동의 속력 바로가기

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이상 기체의 상태를 정하는 변수 4개(T,S,P,V) 중 엔트로피 S 는 변화하지 않는 경우입니다.

제가 생각하는 순서입니다.
0) 주어진 조건에서 = 0 입니다.
1) P-V 를 생각합니다. 가 0 이 아님을 확인합니다.
2) 이상 기체 상태 방정식 PV=nRT 를 생각하면서, 온도가 높아지는 쪽이 어디인지 확인합니다. 는 0 이 아님을 확인 합니다.
3) 열역학 1법칙을 생각합니다. ( = )
= – 가 됨을 알 수 있습니다.

P-V

가 일정한 선을 따라갑니다. 이것은 뒤에서 유도 하게 됩니다.

W

곡선의 아래 부분이 일입니다.

관계식도 복잡하고, 결과도 복잡합니다.
(온도 변화를 알면 내부에너지 변화량을 통해 찾을 수 있습니다.)

Q

열의 출입이 없습니다.

E

내부에너지의 변화량은 기체가 일을 한 만큼 감소합니다.
기체가 한 일을 계산 할 수 없어 못 찾을 것 같지만,
내부에너지는 상태 함수라, 내부에너지의 변화량은 등적 과정에서 얻은 값과 같습니다.
=
온도 변화를 알면 알 수 있습니다.

P-V 관계식

dT 를 소거하면,

,

V-T 관계식

를 이용하여 P 소거,

S

dQ가 0 이므로,

isentropic

iso + entropy 의 형용사를 isentropic 이라고 합니다. 엔트로피가 동일한 과정을 일컫는 말입니다. 

공학 전공 열역학에서는 isentropic이란 용어를 쓰는 것을 보았습니다. ( 물리쪽에서는 잘 쓰지 않습니다. ) 지금의 단열과정을 isentropic 이라고 부를 수 있는가가 약간 문제가 됩니다.  일반 물리에서는 기체의 팽창, 수축할 때 마찰력이 작용하지 않는 과정만을 가정하고 있기 때문에 단열과정이란 말이 곧 isentropic 과정이 됩니다. 그러나, 마찰력이 작용하는 경우라면 단열과정이 곧 isentropic 이라고 할 수 없습니다. 마찰에 의한 에너지 변화(마찰열)가 곧 엔트로피의 변화를 유발하기 때문에 단열을 하더라도 엔트로피가 변합니다. 

혹시 열역학 시간에 배우는 내용과 뭔가 충돌이 일어난다면 확인해서 살펴보시고, 문의사항은 게시판에 올려주세요. 

이상 기체 다른 과정들 보기

등적 과정 / 정적 과정

등압 과정 / 정압 과정

등온 과정

단열 과정

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이상 기체의 상태를 정하는 변수 4개(T,S,P,V) 중 압력 P 는 변화하지 않는 경우입니다.

제가 생각하는 순서입니다.
1) P-V 를 생각합니다. 가 0 이 아님을 확인합니다.
2) 이상 기체 상태 방정식 PV=nRT 를 생각하면서, 온도가 높아지는 쪽이 어디인지 확인합니다. 는 0 이 아님을 확인 합니다.
3) 열역학 1법칙을 생각합니다. ( = )
, , 모두가 변한다는 것을 확인합니다.
4) 가 어떻게 되는지 살핍니다.
정의에 의해
5) 다시 열역학 1법칙, PV=nRT 종합합니다.
P 가 일정하므로 d(PV) = P dV = nR dT

P-V

V만 변하고, P가 변하지 않으니까 P-V 가 이렇게 표현됩니다.

W

기체가 한 일은 P 가 됩니다.

Q

이상 기체 상태 방정식 을 보면 V 가 커지는 쪽이 T 가 커지는 쪽입니다. 열이 들어오는 방향은 어디일까요?
오른쪽방향으로 움직일 때 V 가 커지고 온도 T가 올라가는 것을 보면 기체가 일을 하면서, 내부에너지도 증가 시키니 열이 들어온다는 것을 알 수 있습니다.
< 비열 >
(단위 량에 따른) 온도에 따른 열량의 변화량이 비열입니다.
기체에서는 편하게 쓰려고 1mol 당 비열을 C 라고 정의하겠습니다.
부피가 변하지 않는 조건일 때의 비열을 등압(정압) 비열 이라고 합니다.

( 단원자 분자의 경우 )

E

내부에너지는 상태 함수라, 내부에너지의 변화량은 등적 과정에서 얻은 값과 같습니다.
=

PV 관계식

P와 V 사이에는 특별한 관계가 없습니다.

S

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등적 과정 / 정적 과정

등압 과정 / 정압 과정

등온 과정

단열 과정

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이상 기체의 상태를 정하는 변수 4개(T,S,P,V) 중 부피 V 는 변화하지 않는 경우입니다.

제가 생각하는 순서입니다.
1) P-V 를 생각합니다. = 0 임을 확인합니다.
2) 이상 기체 상태 방정식 PV=nRT 를 생각하면서, 온도가 높아지는 쪽이 어디인지 확인합니다. 는 0 이 아님을 확인 합니다.
3) 열역학 1법칙을 생각합니다. ( = )
= 가 됨을 알 수 있습니다.
4) 가 어떻게 되는지 살핍니다.
정의에 의해

P-V

P만 변하고, V가 변하지 않으니까 P-V 가 이렇게 표현됩니다.

W

이므로 기체가 한 일은 0 이 됩니다.

Q

이상 기체 상태 방정식 을 보면 P 가 커지는 쪽이 T 가 커지는 쪽입니다. 열이 들어오는 방향은 어디일까요?
위쪽방향으로 움직일 때 P 가 커지고 온도 T가 올라가는 것을 보면 열이 들어온다는 것을 알 수 있습니다.
< 비열 >
(단위 량에 따른) 온도에 따른 열량의 변화량이 비열입니다.
기체에서는 편하게 쓰려고 1mol 당 비열을 C 라고 정의하겠습니다.
부피가 변하지 않는 조건일 때의 비열을 등적(정적) 비열 이라고 합니다.

( 단원자 분자의 경우 )

E

내부에너지의 변화량은 들어온 열량 – 한 일 됩니다.
E = Q – W = T

PV 관계식

P와 V 사이에는 특별한 관계가 없습니다.

S

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등압 과정 / 정압 과정

등온 과정

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