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교과서에는 처음부터 무한한 평면의 경우를 가지고 설명하는데 비현실적인 결과들이 나오니까 잘 안 믿거나, 오해를 하는 경우가 많아 보여서 현실적인 유한한 평면에서 부터 접근해 나가도록 하겠습니다.

유한한 평면

전하량 +Q[C] 만큼이 한 변의 길이가 인 사각형의 평면으로 균일하게 펼쳐져 있는 경우에 전기장이 어떻게 되는지를 먼저 살펴 보겠습니다. 아래 그림과 같이 두께를 생각할 수 없는 사각형 모양의 평면에 전하가 분포해 있을 때 전기장의 크기와 방향이 어떻게 되는지 알아 보려고 합니다.

그림은 전하가 듬성듬성 있지만, 빽빽히 그릴 수 없기 때문에 이렇게 그린 것입니다. 전하가 듬성듬성있다는 뜻은 아닙니다.

평면 위의 전하들이 자유롭게 움직일 수 있다면 쿨롱의 법칙에 따른 서로 밀어내는힘(척력)을 받아서 그림과 같이 분포할 수는 없을 것입니다. 그러므로, 우리가 모르는 어떤 이유로 그런 힘을 받더라도 전하들이 자유롭게 움직일 수 없고 고정되어 있다는 가정이 들어 있습니다. (문제에서는 자유롭게 움직일 수 없다는 것을 표현하기 위해 전하가 부도체에 있다고 주어집니다.)

물리학 개론 수준에서는 이런 상황에서 전기장의 크기와 방향을 구하라고 묻지는 않을 것입니다. 그만큼 전기장의 분포와 방향이 복잡하고 그걸 구하는 수학도 아주 복잡합니다. 그렇지만, 한변의 길이 l 보다 아주 아주 멀리 떨어진 곳(거리는 대략 d)에서 전기장을 구하는 것은 여러분도 할 수 있습니다. 그런 상황이라면 아래와 같이 보일 것이므로, 전하 +Q 가 있는 문제와 다를 바가 없습니다. 그러면 그곳의 전기장의 크기 이고, 방향은 그 평면에서 방사형으로 뻗어나가는 모양이 될것입니다.

이고, 우리가 말한 평면은 점처럼 보이므로 아마도 우리가 그것이 평면인지도 모르고 그냥 전하 +Q 가 있나 보다라고 생각할 것입니다.

이번에는 반대쪽 극단을 생각해 봅시다. 평면에서 떨어진 거리가 d 가 l 보다 아주 아주 작은 경우( )입니다. 그런 상황이라면 아래와 같이 보일 것입니다. 무한의 평면에 전하가 분포하여 있고 이 때의 전기장의 크기와 방향과 같을 것입니다. 이 크기와 방향은 잠시 후 이야기 하겠습니다.

그렇다면 우리가 처음 이야기한 유한한 길이를 가진 평면의 전하분포가 만들어내는 전기장의 크기와 방향은 위치에 따라 크기와 방향이 바뀌는 값을 가지고 그 값이 아주 복잡하겠지만, 양쪽의 극단적인 경우의 결과는 잘 설명할 수 있는 값일 것입니다. 중간의 경우는 계산이 복잡하게 될 것이므로 생략하고 인 경우를 설명할 수 있는 무한한 평면의 경우 전기장의 크기와 방향이 어떻게 되는지를 살펴보도록 하겠습니다.

무한한 평면

전하의 면밀도

무한한 평면에서 전기장의 크기를 알기 위해서는 기존과 같이 전하량을 이용하지 않고 전하의 면밀도값을 알아야 합니다. 왜 면밀도를 이야기하는지 살펴봅시다.

유한한 평면에서 한변의 길이가 일 때, 면적은 이 됩니다. 그렇다면 전하의 면밀도는 전하량 / 면적 이 됩니다. 전하 +Q 만큼 있다면 면밀도는 일 것입니다. 앞에서 설명한 것처럼 유한한 평면이더라도 거리 인 경우 바라보는 평면은 무한한 평면과 같이 느껴질 것입니다. 이 무한한 평면의 전하분포는 전하량으로는 표현할 수 가 없습니다. 무한한 평면에 전하가 10C 이 들어있어도 면밀도는 0 이고, 무한한 평면에 전하가 20C 이 들어있어도 면밀도는 0 입니다. 거꾸로 면밀도가 10 가 있다고 해도 전하는 무한히 존재하고, 면밀도가 20 가 있다고 해도 전하는 무한이 존재합니다. 우리가 무한한 평면을 다룰 때는 그 전하량에 대해서 이야기하는 것으로는 그 평면에 있는 전하의 양을 설명하는데는 부족한 설명방법이되어 버립니다. 따라서, 무한한 평면의 전하 분포차이는 전하량이 아니라 면밀도를 가지고 이야기합니다.

전기장의 방향

전하의 면밀도가 인 경우 전기장을 알아 봅시다. 여기가 교과서에서 말하는 경우의 시작과 같을 것입니다. 이 문제를 풀 수 있으면, 위에서 말한 유한한 평면에서 인 극단의 상황의 답을 찾을 수 있는 것입니다.

전기장을 구하는 방법은 쿨롱의 법칙이나 가우스 법칙을 이용하는 것입니다. 쿨롱의 법칙과 가우스법칙은 결국 같은 법칙입니다.

이 법칙을 이용하여 수학적 계산을 하는 방법은 아주 다양한 기술들이 있습니다.

가우스 법칙을 이용하는 수학적 방법중 가장 기본적인 것이 전기 다발(전속, electric flux)을 구하여 푸는 방법입니다. 이 방법은 가장 간편할 수 있을지 모르나, 실제로 계산하는데는 아주 곤란한 경우가 많은 방법입니다. 특수한 경우들은 아주 간단히 전기장을 구할 수 있지만, 실제적인 문제에서는 하나도 도움이 안되는 방법이기도 합니다. 교과서에서는 아주 특수한 경우들만을 소개해주고 있습니다. 지금이 바로 그 아주 특수한 경우중 하나입니다.

먼저 곤란한 경우는 무엇을 말하는지 살펴봅시다. 가우스법칙을 적용하기 위해 아래와 같이 가우스면을 잡아 봅시다.

가우스면은 닫힌 면이고, 그 내부의 전하량이 가우면을 통하는 flux양과 비례관계를 가지고 있다는 것이 가우스 법칙입니다. 내부의 전하량이 0 이므로 flux 량은 0 일 것입니다. flux 가 0 이 되는 많은 경우를 flux 설명할 때 보았을 것입니다. 전기장이 0 이면 flux 가 0 이 되지만, flux 가 0 이라고 전기장이 0 인 것은 아닙니다. 그럼 전기장은 얼마인가요? … ‘아니 지금은 전기장이 얼마인지 알아보자고 시작한 것이잖아요!!!’ 네, 그러니 flux 를 이용해서 구하는 방법으로는 도저히 알 수가 없습니다. 지금이 바로 계산하는데 아주 곤란한 경우란 말입니다. 지금의 상태로는 가우스면을 어떻게 잡든 우리는 flux 의 값은 알 수 있지만, 전기장의 크기를 알 방법이 없습니다. ( 가우스 법칙이 틀렸다가 아니라, 가우스 법칙을 적용하는데 flux 를 이용하는 방법이 소용없다는 것입니다.)

그럼, 가우스법칙과 같은 법칙이라는 쿨롱의 법칙을 적용해 봅시다.

쿨롱의 법칙으로 전기장을 구하자는 말은 테스트 전하 +q (아주 작은 값) 를 놓고 전기력을 알면 전기장(E) 정의에 따라서 전기장의 크기와 방향을 알 수 있다는 것입니다.
위에서 거리가 d 만큼 떨어져 있다고 했지만, 쿨롱의 법칙에서 말하는 거리는 전하와 떨어진 거리 r이므로 같은 양이 아니란 것을 꼭 잊으면 안되고, 테스트 전하의 양 +q 는 알고 있지만, 평면에서 전하량은 면밀도를 통해서 값을 구해내야합니다. 뿐만 아니라, 그 전하들은 무한히 펼쳐져 있으므로 무한히 많은 전하들의 모든 값을 다 고려해 주어야 합니다. 쿨롱의 법칙을 통해 전기장의 크기와 방향을 구하는 것도 말은 쉽지 상당히 어렵기 짝이 없습니다.

하지만,

쿨롱의 법칙을 적용해서보자고 한 큰 이유는 전기장의 방향이 어떻게 되는지 알 수 있기 때문입니다. 아래와 같이 무한한 평면의 일부분만 고려한 전기장의 크기와 방향이 아래 와 같습니다.

정확히 반대편도 함께 고려하면 평면과 나란한 방향으로는 크기는 같고, 방향은 반대입니다. 전기장의 방향은 결국 평면의 수직 방향이 됩니다.

이런식으로 거리가 같은 모든점들을 고려해도 …

심지어 거리가 다른 점들을 고려해도..

그러므로, 무한한 평면의 경우 전기장의 크기는 계산이 어려워 모른다고 해도 전기장의 방향은 평면의 수직방향임은 분명합니다. 평면의 반대쪽의 경우 방향이 반대가 될 것입니다. 그러니까, 평면에서 멀어지는 방향일 것입니다.

여기서는 전기장의 방향을 살펴본 것입니다. 쿨롱의 법칙으로 크기까지 정확히 구하는 것에 관심이 있다면 다음을 살펴보십시오.

쿨롱의 법칙으로 무한 평면(부도체) 전하에 의한 전기장 구하기

전기장의 크기의 거리 의존성

전기장의 크기를 구하기 위해서는 모든 전하를 고려해야 하므로, 쿨롱의 법칙을 적용하면 모두 더해 주면 됩니다. 즉, 적분을 이용해줍니다. 하지만, 적분을 하지 않더라도 단순히 개념적으로 알 수 있는 사실이 하나가 있습니다. 거리 d 가 두배로 먼 거리가 되어 2d 이더라도, 3d 가 되더라도 … 얼마가 되더라도 전기장의 크기는 똑같다는 결과입니다. 왜냐면, 우리가 바라보는 평면이 무한이라고 했습니다. 따라서, 그 거리가 조금 늘어났다고 하더라도 평면입장에서는 아무런 변화가 없습니다. 느낌이 잘 안 오시나요?

아래의 그림은 거리가 d인 그림(위쪽)과 거리가 2d 인 것을 축소해서 그린 그림(아래쪽)입니다. 유한한 평면(오른쪽)의 경우는 분명 차이가 나지만 무한한 평면(왼쪽)은 아무런 차이가 나지 않습니다. 그러니, 무한의 평면에서 전기장이 거리에 따른 크기변화가 없다는 것이 놀라운 사실이 아닙니다. 무한이라는 가정때문에 생겨난 결과입니다.

이런 결과를 바탕으로 flux 를 이용한 가우스 법칙을 적용하는 연습을 해 봅시다. 지금은 전기장의 방향이 평면에 수직이다라는 사실을 이용하여 가우스면을 잡아봅시다.

위의 그림에서는 2개의 가우스면을 잡아보았습니다. 뚜껑에 해당하는 모양이 어떻게 되든. 옆면의 방향과 전기장의 방향은 서로 수직이므로 0 이 됩니다. 왼쪽 면의 전기장의 크기를 , 오른 면의 전기장의 크기를 이라고 하면 이 전기장의 방향과 가우스 면의 방향은 서로 나란합니다. 그런데 가우스면의 면적이 로 똑같습니다. 따라서, 전체 flux 를 구해보면
(가우스면은 닫힌 면으로 내부에서 외부로 나가는 방향의 가우스면 방향이 됩니다. ) 이 됩니다.
가우스법칙에 따라 이 flux 는 가우스면이 포함하고 있는 전하량과 비례합니다. 그런데, 이 경우에는 전하가 없으므로 flux 가 0 이 됩니다.

그러니 로 거리가 얼마이든 상관없이 전기장의 크기가 같다는 사실은 가우스 법칙으로도 확인 됩니다.

중요한 결과로 무한한 평면 전하에 의한 전기장의 크기는 거리 의존성이 없습니다.

전기장의 크기 값구하기

이제 그 전기장의 크기의 값을 구하는 일만 남았습니다. 그러기 위해서는 가우스면을 위에와 마찬가지로 방법으로 잡지만, 평면의 전하를 포함되도록 잡읍시다. 이제는 전기장의 크기가 거리에 상관없이 같다고 했고, 크기는 라고 합시다.

가우스면 뚜껑에 해당하는 모양은 위처럼 아무 모양이라도 상관없습니다만 편의상 사각형으로 그렸습니다.

flux 는 (가우스면은 닫힌 면으로 내부에서 외부로 나가는 방향의 가우스면 방향이 됩니다. ) 가 됩니다. 그 때 내부에 있는 전하량은 면밀도 곱하기 면적이 되므로 가 됩니다.
가우스법칙에 따라 flux는 인 것을 알고 있으므로

즉,

정리

전하가 무한한 평면으로 있을 때 전기장을 구했습니다. 전하의 면밀도가 일 때, 전기장의 방향은 그 평면의 수직이 되며 크기 로 거리에 상관없이 일정합니다. 이 값은 유한한 평면의 아주 가까운 곳에서의 값과도 같을 것입니다.

그럼, 만약에 처음의 가정과 달리 전하들이 자유롭게 움직일 수 있다면 어떻게 될까요? 예를 들어 약간의 두께를 가진 도체에 전하들이 있었다면요..

물리공부할 때 단순히 수식을 암기하지 마시고, 그 과정을 잘 알고 그 의미를 잘 파악하는게 중요합니다. 이 과정을 알고 있다면 몇 초도 안 걸리게 이 식을 찾을 수 있습니다.

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이 글은 flux 에 대한 세번째 글로 열린 면에서의 flux (1) , 열린 면에서의 flux (2) 다음의 글입니다. 앞의 두 글에 연속된 글입니다.

닫힌면에서 flux

닫힌면에서 flux 그 자체는 사실 몇 가지 사실만 주의하면 되는 내용입니다.

먼저 닫힌면이라고 표현하는 것은 우리가 생각하는 어떤 면이 완전히 어떤 부분을 둘러쌓았을 때 사용합니다. 구의 표면, 정육면체의 표면들은 그 안을 완전히 둘러쌓아서 그 면을 통과하지 않고서는 밖에서 안으로 들어갈 수 없습니다. 앞에서 배운 것들(열린 면)은 그 면이 안과 밖을 구분하지는 않습니다.

열린 면에서와 달리, 닫힌 면에서 flux 를 계산하라고 하면 그 면의 방향은 안쪽에서 바깥쪽으로 향하는 것으로 약속을 해두었습니다. ‘나는 반대로 하고 싶어’하고 정하시는 거야 여러분 마음이겠지만, 물리교과서에서 얻은 것과 항상 (-) 의 값이 나오는 문제가 생깁니다. 그러니, 여러분도 이 약속을 따르는 편이 공부하시기 편할 겁니다.

flux 를 계산할 때 사용하는 적분 식이 라고 말씀드렸던것은 기억하실 것입니다. 닫힌면에서 그 값이 바뀌는 것은 아닙니다만, 닫힌면임을 분명히 알려주기 위해서, 기호대신 란 걸 씁니다.

처음 보시는 거라 겁이 나겠지만, 닫힌면임을 알려주는 기호일 뿐이므로 부담갖지 말고 평소처럼 계산하면 됩니다.

여기까지가 닫힌면의 flux에 대한 설명 끝입니다. ‘이상으로 글을 마치겠습니다.’라고 말하고 나면 여러분이 겪게 될 어려움들이 눈에 너무 뻔히 보여서, 이제는 이 닫힌면의 flux 를 직접 계산한번 해보려고 합니다. 여기서 이렇게 따로 계산하려고 하는 이유는 flux 란 개념과 가우스법칙은 각각 별개의 개념으로 의미를 구분하여 생각할 수 있어야 하는데, 이걸 처음에 한꺼번에 배우기 때문에 너무 힘들어 하시는 것 같더군요.

일정한 흐름일 때 flux 계산하기

막상 계산을 해 보려고 하지만, 예제를 보여 주기가 너무 힘듭니다. 일단, 입체를 표현해야하는데 그걸 그리기가 만만치 않고, 둘째, 이게 실제로 계산이 만만한 모양이 그리 많지가 않습니다.

먼저 정육면체를 보겠습니다.

어떻게 생겼는지 돌려 보면 됩니다. (돌려보시려면 PC에서는 마우스 오른쪽 버튼, 휴대폰에서는 손가락을 이용하면 됩니다. 확대 축소는 여러분이 직접 찾아 보세요.^^)

한면의 면적이 A 인 정육면체이고, 물이 v 의 속력으로 흘러간다고 할 때 flux 를 계산해 보겠습니다. v 는 모든 곳에서 방향은 같고, 크기도 같습니다.

정육면체는 여섯면이 있습니다. 이것은 닫힌 면으로 내부와 외부가 명확히 구분됩니다. 약속에 따라 바깥쪽 방향을 면의 방향으로 잡아서 빨간 벡터 표시로 방향을 그려두었습니다. 물의 속도 방향과 나란한 방향(같거나 반대방향)은 2군데이고, 4군데는 완전히 수직입니다.

flux 를 계산하는 것은 각 면의 아주 작은 면으로 쪼개어 적분하듯이 생각하면 되는데, 여기서는 방향이 서로 같은 면 6군데로 쪼개어 생각하면 될 것입니다.

4군데의 면에서는 물의 속도 벡터와 면의 벡터가 수직으로 cos값은 0 입니다. 굳이 cos 을 생각하지 않더라도 4군데의 방향으로는 물이 전혀 들어가거나 나가는 것이 아니기 때문이라고 개념적으로 생각해도 됩니다.

나머지 두 군데만 생각하면 면과 물의 속도 벡터의 방향은 서로 나란하여 cos값이 1과 -1이 되고, 면적은 A, 속력은 v 이므로 flux 값은 Av, -Av 가 됩니다. 개념적으로는 물이 들어가는 면이 있고, 나가는 면이 있으니까, 한쪽은 Av, 한쪽은 -Av 입니다. 어느쪽이 (+) 가 될까요? 수학적으로 cos 값이 1 쪽이 (+) -1인 쪽이 (-) 가 될 것이고, 개념적으로는 흐름이 나가는 쪽이 (+) 가 되고 들어가는 쪽이 (-) 가 됩니다. (+)(-)는 열린면에서 설명드린 것 처럼 여러분이 정하기 나름인데, 닫힌면에서의 약속을 따르다 보니, 흐름이 나가는 쪽이 (+) 가 되었습니다.

마지막으로 쪼개어 생각해서 계산한 값을 모두 합칩니다. 4군데는 cos 값이 0 이구요, 2군데중 한군데는 +Av, 다른 한 군데는 -Av입니다. 그러니까, 0+0+0+0+Av-Av = 0 입니다.
네, 0입니다. 열심히 계산 했는데 허무하게도 0 입니다.

이번에는 정육면체의 방향을 45도 돌렸습니다. 이번에도 6면으로 쪼개어 생각하면 되는데, 물이 들어가는 것이 없는 두 군데가 0 이고 나머지 4군데가 물이 들어가고 나가는 것이 있으니 flux 값이 있을 것입니다. 이루는 각도가 45도, 135도, 225도, 315도로 모두 의 값이고, 부호만 (+)(-) 입니다. 그러니까 다 더하면, 입니다.

네, 0 입니다. 열심히 계산했는데, 허무하게도 0 입니다.

이게 0 인게 우연인가요? 개념적으로 확실하지 않습니까? 들어가는 양이랑 나오는 양이 같으니 0이어야지요. 사실 그 개념만 확실하면 계산 할 필요없이 0 이었던 것입니다.

이 개념이 확실한 사람은 아래 값을 계산하라고 하면 쉽게 답할 수 있습니다.

이번에는 반구입니다. 면의 방향은 여러분이 직접 돌려 보시면서 확인 해보십시오.

평면은 녹색, 곡면은 빨간색으로 구분해서 표시했습니다. 반지름이 R 이라고 하겠습니다. 물은 녹색의 면으로 들어가서, 빨간색 곡면으로 나옵니다. 시간당 녹색으로 들어간 물의 부피양(flux)이 시간당 빨간색으로 나온 물의 부피양(flux)과 정말 똑같다면 들어가는 양 (-), 나오는 양(+) 로 합하면 0 이 됩니다.

이게 자신이 없다면 직접 계산을 하셔야합니다. 들어가는 녹색면의 면적은 물의 속력 두 벡터가 이루는 각이 180 도 이므로 cos 값은 -1 따라서, 녹색면에서 flux는 가 됩니다.

빨간면에서는 ………

제가 …. 해 둔 이유는 아시겠죠^^, 조금 어려운 수학을 아는 사람은 좀 구해 볼만 합니다만 그렇지 않으면 x,y,z 를 넣어서 열심히 구해보십시오. 이거 할 일이 아닙니다. 제가 구한 결과로는 입니다. 그래서, 닫힌면의 flux 양은 0 입니다.

그래서, 모든 닫힌면의 flux 값은 0 이라고 생각하신다면 귀납법의 오류를 범하시는 것입니다. 정확히는 흐름에 해당하는 벡터(여기서는 v)가 크기가 일정하고 방향이 일정한 경우, 즉 모든 위치에서 일정한 흐름이 있는 곳에서는 닫힌면의 flux 값이 0 입니다.

일정한 흐름이 아닐 때 flux 계산값 느껴 보기

일정한 흐름이 아니면 즉 위치에 따라 v 가 값이 다르고 방향이 마구 바뀐다면 이건 정말 지옥이 됩니다. 계산을 할 수 없을 정도가 되니 이번에는 제목이 느껴 보기 입니다. 대략의 감만 가져 보자는 것입니다.

지난번 봤던 그림입니다. 이런게 이제 그리기도 어렵고, 말로 설명하기도 어렵고…그렇습니다. 병을 눕혀 놓은 것처럼 생겼으니 병 바닥과 병 뚜껑이라고 하지요. 병바닥으로 들어가는 흐름양이 병 뚜껑 쪽으로 나오는 양과 같다면 flux 값이 0 이 될 것 같지 않습니까?
들어간 면적은 넓고, 대신 속력은 느리고, 나오는 면적은 좁고, 대신 속력은 빠르고..
병의 옆면은 항상 흐름과 수직이라서 지나가는 양이 하나도 없으니 0 이고…

우리가 유체시간에 배우는 아주 이상적인 유체에서는 이 양이 0 입니다. (책을 찾아보니까, 유체가 압축이 되지 않는 경우에는 만족하더군요. 물리학 개론서에서 다루는 유체에는 압축되지 않는다는 이상적인 성질을 가정하고 있으니 물의 흐름에서는 flux 값이 0 입니다.)

이제는 병안에 또 다른 면을 두는 것인데 이것은 좀 더 추상적으로 그렸습니다. 이것도 이제는 대충 0 의 느낌이 있지 않습니까? 위와는 달리 바닥, 뚜껑의 면적이 같아서 그쪽으로 들어가고 나가는 양은 다르지만, 옆면으로부터 들어오는 양이 있습니다.

어떤 흘러가는 양을 이런식으로 선으로 표현하는 것을 본적이 있을 것입니다. 유선(流線, streamline) 이라고 하는데, 이런 선을 표현할 때, 물리적으로 어떻게 하자는 것을 제가 본적은 없습니다. 그러나, 흐름의 세기와 선의 밀도를 일치시킨다면 상당히 우리가 생각하기 쉽지 않을까요?

위 그림에서 보듯 유선(streamline)의 밀도를 흐름의 세기와 비례되게 잘 그린다면 열린면의 flux 값은 선의 숫자(갯수)를 세는 것과 같을 것입니다.

이런 그림을 생각해보면 flux를 선속(선의 다발)이라고 번역한 이유를 알것도 같습니다. 선속을 처음 번역해서 쓴 사람은 이런 느낌을 가지고 있었다는 말이기도 합니다. (그래도 저는 여전히 이걸 선속이라고 번역하는게 별로 마음에 들지 않습니다.)

0이 아닌 flux 계산값 느껴 보기

여태까지 계속 flux 가 0 인 경우만 보여드렸기 때문에 또 착각에 빠지면 안됩니다. 이상적인 유체의 흐름의 성질이 위치에 따른 속력과 방향 가 flux 가 0 이 되는 성질이 있었기 때문입니다. 이를 좀 직관적으로 생각해보면 물이 우리가 생각하는 면 안에서 생겨나거나(생성되거나), 사라지는게(소멸되는게) 아니기 때문에 ‘들어온것은 나간다의 법칙’정도가 되는 것입니다.

이제는 이렇게 좀 추상적으로 그려도 어떤 상황인지는 이해하실거라 믿고 그렸습니다. 왼쪽면, 오른쪽면 모두 flux 값이 (+) 가 되고 전부 나가는 양이 있는 경우입니다. 만약 이게 물이라면 이 상태가 계속되려면 가운데 지점에서 샘물’처럼’ 물이 솟아나고 있는 경우여야 합니다.

그림을 그리지 않았지만, 상상해보면, flux 값이 (-) 가 된다는 말은 하수도’처럼’ 물이 사라지고 있어야 된다는 것입니다. 비록 정확한 값은 모를 지라도 flux값이 (+)인가 (-)인가라는 것은 우리가 닫힌면 안에서 물이 생성되거나 소멸되는 것과 연관이 있다는 것입니다.

물론 이상적인 유체라하더라도 물의 흐름에서는 이런 것이 불가능합니다. 여기서 ‘처럼’이라고 쓴 것은 실제 샘물이나 하수도라면 공급하는 관, 빠져나가는 관의 flux 값 때문에 결국 0 이 되고 말기 때문입니다.

정리

세 글을 연달이 읽으신 분은 많이 힘드셨겠습니다. 계산을 잘하는 것도 중요하겠지만, 저는 flux가 의미하는 이 느낌을 강조하고 싶습니다. 사실 flux 를 제대로 이해하려면 고등학교 때 배운 미적분학보다는 어려운 미적분학을 배워야 합니다. 수학없이 설명한다는게 쉬운일이 아니라서, 저의 부족함을 너그러이 봐 주십시오.

p.s. 수학시간에 발산정리(divergence theorem) 배우게 되면 닫힌 면의 flux 가 언제 0 인지 정확하게 알게 됩니다. 그리고, 곧 flux 값을 구하는 게 하나도 궁금하지 않게 됩니다. 발산정리(divergence theorem)를 안 배운 상태에서 개념적으로 접근하기 위한 수단으로 flux 를 배운다고 생각하는게 맞는 거 같습니다. 그러니, flux를 느끼는게 쉬운 일이 아닌 것은 분명합니다. 좀 힘들더라도 이리 저리 시도는 많이 해보십시오. 우리가 뭐 잘 알아서 안다고 생각하는 것 보다는 익숙해서 안다고 생각하는 것들이 훨씬 많습니다. 제가 알고 있다 생각했던 물리는 사실 잘 아는게 아니라 익숙한 것들이더라구요…. 요즘 글쓰면서 새삼 느끼고 있습니다.

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열린 면에서의 flux (1)에서 연속된 글입니다.

열린 면에서의 flux (1)에서는 흐름이 일정한 곳에서 어떤 평면에 들어가는 양에 관심을 가질 때 flux 란 개념을 쓸 수 있고, 어떻게 값을 구하는지를 살펴보았습니다. 이제는 흐름이 일정하지 않을 때, 평면이 아니라 곡면일 때 어떻게 다룰 것인지를 살펴보려합니다. 이제는 좀 더 수학적 도구를 잘 사용하려는 데 목적이 있습니다.

흐름이 일정하지 않은 곳의 평면

이제 개념을 좀 더 엄밀히 살펴볼 텐데요. 아래그림은 어떤 관을 지나는 물의 흐름이 있는 곳에서 뜰채를 그린 것입니다.

물이 흐르는 관이 갑자기 좁아지면 물의 흐름이 더 빨라지는 것은 잘 알고 계시죠? 굳이 유체역학을 동원하지 않더라 세수하다 수도꼭지에서 나오는 물을 손가락으로 반쯤만 막아도 물이 더 세게 나오는 것은 경험을 통해서 잘 알고 있을 것이라고 생각합니다. 관의 폭이 넓은 곳에서 보다 좁은 곳에서 훨씬 물의 속력이 더 빨라지는데요. 입체적 그림이 그리기 어려워서 이제는 평면으로 옮겨 그리고 설명하려고 합니다.

입체로 그린 관의 한 가운데를 기준으로 싹둑 잘라서 그리면 위의 그림처럼 될 것입니다. 세부분의 영역으로 쪼개어서 왼쪽 부분이나 오른쪽 부분에서 생각하는 법은 앞에서 설명을 잘 드렸습니다. 그런데, 그 때에 개념을 더 중시하다보니 대충 설명드린 것이 있습니다. 왼쪽, 오른쪽 부분에서는 그 부분 내에서는 어디든 물의 속도는 일정하여 화살표 즉, 벡터표시를 대충 그렸습니다. 물의 속도를 모든 부분에다가 표시하면 온통화살표만 보여서 아무것도 알아볼 수 없기 때문에 관심 있는 부분만을 그린 것인데요. 아래처럼 좀 더 화살표를 더 그리려면 왼쪽 부분 모두 같은 크기와 방향을 그리면 됩니다. (이것도 듬성듬성 그린 것입니다.) 일반적인 벡터표시에 쓰이는 화살표보다 점이 하나 더 붙어 있는데, 그 점이 화살표가 표시하고자 하는 곳이 어디인지를 나타내는 곳입니다.

초록색으로 표시한 것처럼, 평면에서 flux양을 구할 때, 내적해야하는 흐름에 해당하는 벡터는 평면에 해당하는 값을 구하면 되는데, 그림처럼 같은 영역에서 흐름이 일정할 때는 굳이 그 평면에 해당하지 않더라도 값이 같아서 대충그렸던 것입니다.

하지만, 가운데 영역에서는 위치마다 화살표의 방향과 크기가 다 다를 수 있습니다. 그러면 어떤 화살표를 사용해야하는가를 신경써야합니다. 결국, 관심을 가지는 평면에서의 흐름값을 써야합니다. 평면마다 흐름에 해당하는 값이 조금씩 다를 때는 어떻게 처리하면 될까요?

지금 그림은 벡터의 방향과 크기가 평면의 일정 부분에서는 같을 때, 같은 것끼리 쪼개어서 생각하면 됩니다. 이런 식으로 생각하면 벡터의 방향과 크기가 평면의 쪼갠 부분마다 다 제 각각이더라도 제 각각 마다 쪼개어서 생각하면 결과를 알 수 있습니다. 이게 우리가 적분을 처음 배울 때, x축을 잘게 쪼개어 값을 구한뒤 다시 합쳐서 생각하는 것과 똑같이 설명하고 있는 것입니다. 어떤 함수 가 마다 조금씩 다른 값을 가졌더라도 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 확대해서 적분 를 통해 면적을 구할 수 있는 것과 같은 생각입니다. 즉 flux 에 대해서는 조금 낯설기는 하겠지만 같은 사고 방식으로 아래와 같이 표현 할 수 있습니다.

곡면에서 flux

이제는 관심을 가진 면을 잘게 쪼개어 생각하면 된다고 알았기 때문에 곡면이라도 계산을 어떻게 하면 되는지는 알게 되었습니다. 아래 그림은 흐름의 벡터가 제 각각일 뿐만 아니라 곡면의 방향도 제 각각인데요, 그렇더라도 각 면을 쪼개어 생각하면 됩니다. 그리고 여전히 흐름의 벡터는 면에서의 값을 써야한다는 것도 잊으면 안됩니다.

개념은 확실해졌지만, 이 값을 정말로 구해라 그러면 이건 쉬운 문제가 아닙니다. 대충 몇개의 평면과 대충은 비슷비슷한 흐름을 가진 경우에나 손으로 계산이 가능하지, 정말 구불구불한 곡면인 경우에 흐름도 제각각이면 이건 컴퓨터를 동원해서 일일이 각 값을 구하여 더하는 수 밖에는 없습니다. 그것 보다 조금 나은 경우가 곡면이 수학적으로 명확히 알려진 원통, 구, 뿔모양 이런 것들일 텐데요. 물리학 개론을 공부하는 대학 1학년의 경우, 이런 것을 처리하기 쉬운 어려운 수학들을 배운 바 없기 때문에 x,y,z 만을 사용해서 그 값을 구하려고 하면 그것은 정말 고통입니다. 저도 그런 방법으로 구하라고 하면 계산 열심히 하다가 펜을 집어던질지도 모릅니다.ㅋㅋ

이런 말도 곡면의 방향이 잘 상상이 되는 사람들에게 적용가능한 이야기입니다. 제 경험으로는 입체에서 방향을 따지는 문제에 대해서 상상 자체가 잘 안되는 것이 일반적이더군요. 물리하는 사람들이 그런 사람들을 위해 입체적인 모양을 알려주어야 하는데, 기존의 책에서는 한계가 있지요. 요즘은 기술들이 좋아져서 컴퓨터에서 입체적 그림을 그리는 것이 좀 쉬워졌습니다. (그래도, 이렇게 하려고 한시간 이상 시간을 들였어요. ㅠㅠ )

아래는 반구에서 각 위치 별 면의 방향입니다. 열린 면이라고 했기 때문에 앞뒤가 있고, (앞이냐 뒤냐는 여러분이 정하는 것입니다.) 그 중의 한면을 그린 것입니다.

잘 돌려가면서 살펴 보십시오. 까만 점 하나가 있을텐데, 그게 구였다면 중심이었을 위치입니다. 열린 면에서는 앞뒤가 있으니까 반대편 방향도 그렸습니다. 이 그림이 위의 그림과 비교해서, 크기는 같고 방향이 반대 방향인 벡터를 그린 것입니다. (모든 위치에서 그리면 아무것도 알아 볼 수 없어서 위치는 듬성 듬성하게 그린 것입니다. 그것도 잊지말기를)

대략 여기까지 하면 자기장에서 패러데이 법칙같은거 쓸데 사용하는 flux 에 대해서는 문제를 풀수가 있을 것입니다. 하지만, 전기장이나 자기장에서는 닫힌면에서의 flux에 대해서 알아야 가우스법칙을 적용할 수 있기 때문에 그 다음 내용도 알아야합니다. 다음은 닫힌면에서의 flux 에 대해서 올리겠습니다.

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flux란 용어

flux 는 영어에서 흐름(flow)의 의미를 나타내는데, 이를 번역하는 선속(線束) 이란 단어에서 그런 의미가 없습니다. 선속은 오히려 선들의 묶음의 의미로 번역하고 있습니다. (속(束)은 묶다라는 의미) flux 를 다 이해하고 나면 그런 번역이 어느 정도는 받아들일만 하지만, 처음 접근하는 사람한테는 너무 이해하기 어려운 용어임에는 틀림 없습니다. electric flux 는 전속, 전기 선속, 전기 다발, magnetic flux 는 자속, 자기 선속, 자기 다발 이라고 번역합니다.

저는 흐름의 의미를 강조하기 위해서 flux 란 용어를 그대로 사용하겠습니다. 필요하신 분은 스스로 선속이라고 번역해서 읽으셔도 상관없습니다. 어차피 그 단어가 @# 라고 하더라도 상관없습니다. 우리에게 중요한 것은 그것이 ‘어떤 의미인가’이니까요.

flux 가 쓰이는 곳

이 용어가 드러나게 쓰이는 곳은 전기장과 자기장을 배울 때입니다. 전기장과 electric flux(전기선속), 자기장과 magnetic flux(자기선속)입니다만, 또, 전류밀도와 전류에도 숨겨져 쓰이고 있습니다. 그 뿐만 아니라, flux 개념을 쓸 곳이 많이 있는데, 하필이면 물리에서 명시적으로 처음 flux를 배우는게 가우스 법칙을 배울 때입니다. 가우스 법칙이 잘 이해가 안되는 분은 사실 flux를 제대로 이해하지 못했을 가능성이 큽니다. 가우스 법칙은 flux 개념이 가장 복잡하게 적용되고 있는 경우입니다.

flux를 좀 쉽게 이해해 보자.

이 글은 사실 거의 넉달째 고민하다가 시작하고 있습니다. 입체적 표현을 해야지 이해하기 좋은데, 제가 그림 솜씨가 나쁘고, 동영상을 만들기에는 아직 실력이 부족합니다. 그래도, 조금 나은 환경을 찾아서 이제는 설명을 시작해 볼까합니다.

먼저, 크게 두 부분으로 쪼개겠습니다. 닫힌 면에서의 flux 와 열린 면에서의 flux 입니다. 닫힌 면에서 flux는 열린 면 보다 더 생각할 것이 많기 때문에 어려울 수 밖에 없는데, 하필 가우스 법칙에서 electric flux (전속, 전기 선속, 전기 다발)는 닫힌 면에서의 flux 입니다. 교과서 흐름상 이게 먼저 나옵니다. 열린면의 flux 는 magnetic flux (자속, 자기 선속, 자기 다발)나 전류를 설명할 때 쓰입니다.

각 쓰임새은 그 때 이해하면 되고, 우리는 여기서 오로지 flux란 개념만을 먼저 알아 보려고 합니다. 그래서, 아주 쉬운 초등학교 때의 이야기부터 시작하겠습니다.

청사진 만들기

저는 초등학교때 감광지 위에 나뭇잎을 올려 놓고 빛을 빛추면 한참 뒤에 파란 사진을 얻는 실험을 배우고 직접해봤습니다. 지금도 이런 것을 하는지 모르겠는데, 저는 배운지 너무 오래 되어서 빛을 가린 부분이 파란색이었는지, 빛을 맞은 부분이 파란색이었는지도 기억이 안 나는 군요.ㅠㅠ

청사진 만들때 햇볕을 몇 분이나 쪼여 주었나요? 잘 기억은 안 나는데요. 아마 설명서에 5분쯤 쬐여 주면 청사진을 얻을 수 있을 것이다라고 했더라도, 그대로 잘 되지는 않았을 겁니다. 그 시간이 그리 중요하지는 않았습니다. 훨씬 더 긴 시간을 쬐여 주고 확실히 나뭇잎 모양을 얻을때까지 기다리면 되는 것이니까요.

그래도 빨리 끝내고 싶다면 정확한 최소 시간을 알고 있으면 좋은데, 설명서에 적힌 시간대로 빨리 끝내기가 쉽지 않았을 것니다. 아마도 설명서는 햇살이 쨍쨍한 날을 기준으로 최소시간을 적었을 가능성이 큰데요. 우리가 밖에 나가보면 구름낀 날도 있으니 쉽지 않지요. 하지만, flux에서는 구름 한 점 없는 날의 햇살을 기준으로 이야기를 하려고 합니다.

안타깝게 햇살이 쨍쨍한 날이라도 청사진 만들기는 그 시간이 일정하지 않습니다. 왜냐면 해는 시간에 따라 높이가 다르고, 계절에 따라 높이가 다릅니다. 여기서 높이가 다르다는 말은 정확히는 우리가 청사진을 땅바닥에 두었을 때 햇살이 빛추는 각도가 다르다는 것을 일상생활에서 표현하는 말입니다. 이 말을 바로 이해할 수 있는지 없는지에 따라 flux 란 개념을 알고 있는지 모르는지가 판명됩니다.

아~~ 시간이 다르겠구나 하시는 분은 가볍게 빨리 넘기시면 돼고, 왜~? 하시는 분은 이제부터 천천히 잘 따라오시면 됩니다. 저는 왜? 라고 생각하는 분을 위해 이 글을 준비했습니다.

빛의 세기

해가 정확하기 머리 위 수직에 있는 경우를 생각해 봅시다. 우리나라에서는 절대 있을 수 없는 현상이겠지만, flux를 생각하기에는 그런 경우가 가장 편합니다. 그림과 같이 감광지를 놓고 청사진을 땅바닥에 둔 경우입니다. 딱 5분 걸린다고 합시다.

만약, 두 배로 넓은 청사진은 몇 분이 걸릴까요? 5분? 10분? 아마도 초등학생도 5분이라고 할 것입니다. (이게 10분 걸린다고 생각하시는 분은 별도로 연락을 주십시오.) 그러니까, 청사진을 만들때 걸리는 시간은 햇살이 총 얼마 만큼 비추었는가가 아니라, 면적당 얼마만큼 비추는가가 중요합니다. 햇살의 양을 어떻게 잴까가 문제가 되는데, 우리는 햇살이 주는 에너지 양으로 대신하겠습니다.

햇살이 알갱이라고 생각하는 분은 한개당 에너지를 알면 알갱이의 갯수도 셀 수 있을 것입니다. 물론 햇살이 파동이라고 생각하시는 분은 이게 뭔말임니? 하시겠지만…

햇살이 청사진에 닿는 총에너지 양을 Q 라고 하고 특별히 머리 꼭대기에서 비출 때는 E 라고 합시다. 청사진의 넓이(면적)을 A 라고 하면 청사진을 만드는 데 걸린 시간은 E/A 가 얼마인가에 따라 결정될것입니다. E가 아니라 E/A 가 그 시간을 결정합니다. 그러니까, 우리가 청사진을 만드는데 걸린 시간을 알기 위해서는 햇살이 주는 에너지 양을 아는 것보다 단위 면적당 에너지양을 알아야 합니다. 빛의 세기는 E 가 아니라 E/A 가 크고 작은가를 말하는 것입니다.

예를 들면 햇살이 주는 에너지 E는 2J (엄청난 양인가요?), 청사진의 넓이 A는 0.01m^2
단위 면적당 에너지양, 이런 것도 어렵게 만들면 새로운 용어를 만들 수 있습니다. 햇살 밀도!!
장난 같지만 실제로 이런 유사한 개념을 지구과학시간에 태양상수라고 배웁니다.

좀 더 정확히는 E/A 는 빛의 노출량(dose) 라고 하고, 빛의 세기는 여기서 다시 시간을 나누게 됩니다. 그래서 태양상수의 단위는 J/m^2 이 아니라 W/m^2 가 됩니다. 편의상 빛의 노출량을 세기라고 표현하겠습니다.

각도의 영향을 받는다. (흐르는 양이 일정, 면은 평면일 때 flux)

이제는 감광지의 면적은 A로 고정시켜놓고 생각을 해봅시다. 시간도 5분이라고 정해놓고 봅시다. 계절과 시간에 따라 해의 높이가 달라지면 그것 때문에 청사진에 닿는 에너지 양이 E (= E/A * A )가 아니라는 점이 flux를 배우는데 있어 첫 장애물입니다. 청사진에 닿는 에너지 양을 Q 라고 합시다. 일단, 햇살이 머리 꼭대기에서 비출 때는 Q = E 가 맞습니다.

햇살의 각도가 바뀌더라도 청사진 만드는 데 걸리는 시간이 달라지지 않을 거란 생각을 하는 분은 아래의 경우의 그림자를 생각하기 때문입니다. 아래 동영상에서 햇살의 각도가 바뀌더라도 그림자의 크기에는 전혀 변화가 없습니다. 아무리 각도가 바뀌더라도 청사진 면적과 그림자의 면적은 같고, 그림자 면적은 A 이고, 햇살의 세기는 E/A 로 바뀔 일이 없으므로, 햇살이 감광지에 주는 에너지 양 Q 는 E(=E/A * A) 와 같을 거라고 생각하고 있을 것입니다.

하지만, 이것을 제대로 생각하려면 다음과 같은 동영상을 생각해야합니다. 청사진을 만드는 데 같은 조건이라면 햇살의 각도가 바뀔 때 청사진의 각도도 항상 햇살의 방향에 따라서 바꿔주는 경우입니다. 감광지가 받는 에너지 Q = E 가 되는 경우입니다. 이런 경우라면 그림자의 크기가 처음보다 훨씬 커지는 것을 볼 수 있습니다. E 만큼의 에너지가 훨씬 넓은 그림자 넓이(B) 만큼을 비추고 있습니다.(B>A) 햇살의 세기는 E/A 로 변화는 없지만 땅바닥에 도착한 빛은 햇살이 기울어지면서 점점 약하게 비추게 된다고 생각할 수 있습니다. (E/B < E/A ) 각도를 바꿔주는 감광지는 E/A 의 세기의 빛을 받지만, 땅바닥에 놓인 청사진은 E/B 의 세기로 빛을 받게 됩니다.

처음 동영상에서 그림자만 보기 때문에 놓친 것이 하나 있는데, 감광지를 비추는 햇살의 폭이 점점 바뀌고 있다는 사실입니다. 그림자는 똑같은 넓이이지만, 햇살의 폭은 점점 줄어 들고 있다는 것입니다.각도가 기울면서 햇살의 세기는 여전히 E/A 이지만, 햇살의 폭이 줄어서 감광지가 받는 에너지 Q 양이 점점 줄어들고 있습니다. ( 다시 한번 보신 다면 햇살이 어떻게 되는지를 꼭 확인하십시오.) 결국 아래와 같은 경우라면 감광지에는 햇살이 전혀 닿지 않게 됩니다.

결론적으로 햇살 비추는 각도가 기울게 되면 땅에 놓인 감광지에 도달 한 에너지 양 Q 도 바뀌게 되고 청사진 면적 A 에는 머리 꼭대기에서 비출때 받던 E 만큼의 양이 도달 하지 않습니다. 아래와 같은 관계를 가지게 됩니다.

이 양을 생각하는 방법은 두 가지 다른 길이 있습니다. 사람 마다 생각하는 방식이 다르기 때문에 편한 쪽으로 생각하시면 됩니다. 예를 들면 아래 와 같습니다.

* 햇살의 세기는 땅에 도착할 때 효과는 달라진다. 땅에 수직으로 도착한 경우 그대로 E/A 유지 할 수 있지만, 각도가 기울어지면 땅에 도착할 때 로 약하게 되므로, 면적 A 인 감광지가 받게 되는 빛의 양 Q 는 가 된다.

* 햇살은 머리꼭대기에 있을 때나 기울어 질 때나 항상 E/A 의 세기로 비추고 있는데, 감광지가 기울어졌기 때문에 A 만큼 빛을 받지 못하고 만큼 받게 된다. 그러므로, 감광지에 받게 되는 빛의 양 Q 는 가 된다. (저는 이쪽이 쉬워서 위쪽의 표현이 잘 안나오네요.)

그림에서 E/A 를 J라고 하기로 하고 그린 것입니다.

갑자기 의 등장해서 놀라셨지요. 는 방향을 어떻게 정의하는가에 따라 사실 가 될 수도 있고, 도 될 수 있는 것입니다. 그러니까 방향을 정할 때 교과서대로 하지 않는다면 전혀 다른 식을 얻게 되니 주의를 요합니다. 결론부터 이야기 하는 이유는 교과서와 같은 결론을 얻는데 필요한 방향 정하는 법도 할 얘기가 많기 때문입니다.

방향을 정하는 법

햇살의 세기 (E/A) 의 방향을 정하는 것은 쉽습니다. 해가 그림자를 만드는 방향대로 비추고 있고 그 방향이 햇살의 세기 방향입니다. 문제는 감광지의 방향입니다.

넓이가 방향이 있다니!! 일단 이게 문제입니다. 이게 생전 처음 들어 보는 이야기입니다. 그냥 숫자인데 방향이 있다고 하는 것이 이해가 안될 것입니다. 이렇게 넓이에 방향의 개념을 도입하는 이유를 알아 봅시다.

우리가 궁금해 하는 감광지에 도달한 빛의 양 Q 는 분명 방향이 없는 양입니다. 그런데, 햇살의 세기 E/A 를 다시 J 라고 할 때 이 J가 방향이 있는 양입니다. 이제는 J 를 이제 벡터 라고 합시다. 감광지의 넓이 A 뿐만 아니라, 감광지의 방향에 따라 빛이 도달한 양 Q 이 달라지므로, 단순히 이제는 그냥 크기가 A 가 아니라 감광지도 벡터 로 생각해 보자는 것입니다.

의 방향은 빛을 받으면 색깔이 바뀌는 면(앞면)과 반대면(뒷면) 이 있을 수 있습니다. 이 둘 중의 하나를 쓰자는 게 교과서 생각입니다. (만약에 이 벡터를 감광지위에 있는 화살표로 생각하면 이제 식은 교과서와 달라집니다.)
그러면, 위에서 표현한 감광지에 도달한 빛의 양 로 벡터의 내적으로 표현할 수 있습니다. 특히나 Q 가 (+) 가 되려면 감광지 뒷면에서 그림자로 가는 방향을 잡아야 합니다.

그러면, 와 가 이루는 각도 가 위에서 햇살이 감광지 위에 놓인 각도입니다. 수학적으로도 벡터에서 배운 내적과도 결과가 같아집니다.

머리위에서 빛을 비출 때는 와 는 나란하고, 그러면 Q = J * A = E/A * A = E 로 앞에서 말한 것과 같습니다.
감광지 옆에서 빛을 비출 때는 와 는 서로 수직이고, Q = 0 이 됩니다.
중간 쯤에 있을 때는 가 됩니다.

제가 교과서에서는 설명하는 것과 반대의 순서로 설명했지만 결론은 같게 됩니다. 그러니까, 넓이도 방향이 있는 벡터로 쓰면 Q 를 손쉽게 수학으로 표현할 수 있기 때문에 flux 개념을 다룰 때는 특별히 넓이를 방향을 가진 벡터량으로 취급합니다.

는 빛이 흘러가는 방향과 빛의 세기를 표현하고 있고, 감광지의 방향에 따라 도착하는 빛의 양이 달라지는 특성을 반영하기 위해 ‘방향을 가진 넓이’ 를 생각하면 도착하는 빛의 양 Q 는 두 벡터의 내적으로 구할 수 있고, 빛이 표면 위로 흘러가는 것을 나타내는 양이 됩니다. 이 Q 가 바로 flux 입니다.

뭔가 흘러가는 양이 있는데, 흘러가는 양보다는 어떤 면에 도착하는 양에 더 관심을 가지고 있을 때, 면에 도착하는 양을 flux 라고 합니다. 흘러간다는 표현이 더 적합한 것은 물의 흐름입니다.

물의 흐름에서 flux

조금 감이 잡히나요? 흘러가는 물에서 설명하겠습니다. 물이 개울을 흘러갑니다. 개울의 흘러가는 물은 속도가 라고 합시다. 여기에 뜰채를 넣습니다. 뜰채의 테두리 안에 들어가는 물의 양은 얼마인가를 알고 싶다면 바로 flux에 대해서 궁금해 하는 것입니다. 뜰채도 마찬가지고 방향을 가진 양을 임의로 도입하면 쉽게 그양을 구할 수 있습니다. 뜰채의 넓이는 A 이고, 방향은 앞뒤가 있겠지만, flux 양이 (+) 이 될 수 있는 면을 뜰채의 방향이라고 합시다. 그리고, 라고 방향이 있는 넓이를 새로운 양으로 도입하는 것입니다.

0도, 30도, 90도를 기울였을 때

flux 양 여기서 점은 그냥 곱하라는 뜻이 아니라, 벡터의 내적을 구해라는 것입니다. 속도는 시간당 물의 이동 거리이므로, 이 flux 양은 시간당 물의 이동거리 * 뜰채 넓이 = 시간당 물이 뜰채를 지나간 부피 가 됩니다.

궁금해 하는 것이 ‘물이 뜰채를 지나간 시간당 질량이다.’ 그러면, 위의 값에다가 밀도()를 곱하면 되니까, 흘러가는 양을 속도 를 쓰는 대신 를 쓰면 되겠네요. 만약 교과서에서 쓴다면 처음에 란게 있는데, 여기서 flux 를 구하면 시간당 뜰채를 지나간 물의 질량을 알 수 있다고 하겠지만, 사실은 다 앞뒤를 맞춰둔 것입니다. 여기서 왜 여기서 이렇게 정의하지 하고 어리둥절하겠지만, 그냥 편하게 살자는 단순한 생각입니다.

flux (선속)

이렇듯, 어떤 흘러가는 양이 어떤 면적을 지나간 것이 얼마인가를 궁금해 할 때 쓰는 것이 flux 입니다. 딱히 어디 정해 놓고 쓰는게 아니라 그 때 그 때 비슷한 개념이 필요하면 쓰게 됩니다. 전류와 전류밀도라든지, 전기장과 전기다발(electric flux), 자기장과 자기다발(magnetic flux) ……

앞에서 예를 든 청사진 만들기 같은 경우는 태양광 발전을 할 때 햇빛과 태양광 패널에서도 써먹으면 됩니다. 그러니까, flux 는 딱 이것이고 저것은 아니다라고 말하는 개념이 아니라 여기~저기~ 써먹을 수 있으면 적용되는 개념입니다.

넓이에다가 방향 개념을 집어넣어서 벡터로 만들어 버리면 궁금해 하는 양(flux)을 수학적으로 쉽게 표현할 수 있겠다라는 생각이 들어있는데 처음에는 좀 억지스럽게 느껴지지요.

그 다음은 이제 흘러가는 양이 일정하지 않거나, 궁금해 하는 면적이 평면이 아니라 곡면을 이루는 경우입니다. 좀 쉬었다 가야겠습니다. 열린 면에서의 flux (2) 를 쓰면 링크를 달아 두겠습니다. (읽는 데 몇 분 안 걸렸겠지만, 자료 준비하느라 며칠이 지났습니다 . ㅠㅠ )

열린 면에서의 flux (2)

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