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>> 이글은 [관성 모멘트/회전관성 값구하기 (1) – 네모난 것들 )]을 읽으신 분들이 보는 글입니다. 거기서 했던 이야기에서 연속해서 이야기합니다.

이제는 둥근 것들에 대해서 이야기합니다. 지난번 서두에 말한 것같이 쉽게 계산할 수 있는것이 아닌데도 굳이 계산을 하려고 하는 이유는 구르는 물체에 대해서 이야기하는데 꼭 등장하는 모양이기 때문입니다. 따라서, 둥근 물체중에서 굴림운동에 필수적으로 등장하는 3가지 모양에 대해서만 다루겠습니다. 그 세가지 모양은 고리모양, 원판 모양, 공모양입니다.

고리모양

실제 세상에서 부피가 없는 물체를 생각할 수 없겠지만, 그 폭은 무시할 만큼 좁은 고리모양의 관성 모멘트를 구해봅시다. 고리모양은 도우넛 모양, 반지모양, ring, hoop 형태를 말하는 것입니다.

질량을 \( M \) , 회전축에서 떨어진 거리 \( R \) 이라고 합시다. 밀도는 일정합니다.앞서 말한 것과 같이 회전축이 질량 중심을 지나는 경우에 대해서만 구하겠습니다. 고리를 이루는 원의 중심이 곧 질량 중심이며, 회전축은 질량 중심을 지나며, 그림처럼 고리가 이루는 원의 수직방향입니다.

뭐 이건 아주 간단하게 해결됩니다. 일정한 간격으로 n 개로 잘라놓은 것들을 생각해보면 각각의 질량은 \( M/n \) 이 되고, 회전축으로 부터 떨어진 거리는 \( R \)로 동일하므로 각 조각들의 회전관성은 \( (M/n) R^2 \)이 될텐데 모두 n 개가 있으므로 \( M R^2 \) 이 됩니다.

>> 이게 뭔지 잘 모르겠다면 지금 당장 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 살펴보십시오.

굳이 어려운 적분을 할 필요도 없지만, 꼭해야겠다면 하셔도 상관없습니다. 앞서 말씀드린대로 저는 데카르트좌표계에서 x, y 를 써서 적분하는 것은 안한다고 말씀드렸으니 님이 직접해보시면 됩니다. 대신, 다음 주제뒤에 극 좌표계(polar coordinate)로 한 번 해보기는 할 것입니다.

원판 모양 (원기둥 모양)

[관성 모멘트/회전관성 값구하기 (1) – 네모난 것들 )]의 직육면체에서 이야기를 한 것의 결론에 따라, 원판 모양이든, 원기둥모양이든 식의 결과는 같습니다. 그러니, 여기서는 그냥 원판 모양만 다루겠습니다.

질량을 \( M \), 반지름이 \( R \) 이라고 합시다. 계산의 편의상, 문제를 쉽게 풀 수 있는 경우로 이 물체의 밀도는 일정한 경우만 다룹니다. 그리고, 굴러가는 문제를 다루기 위해 계산하는 것이므로 회전축은 원의 중심을 지나며, 원이 이루는 평면에 수직인 경우입니다.

\( I = \int r^2 \, dm \) 이런 형태의 적분을 해야하는데, 이게 x,y(데카르트 좌표계) 로 놓고 계산하는게 좀 만만하지 않습니다.

>> 저는 예전에 해보았던 것이므로 두번다시 하지 않습니다. 여러분은 한번쯤 고생해보시면 좋은 추억이 될 것입니다.

그래서, 우리는 \(r\) , \( \theta\) (극좌표계) 를 이용해서 적분을 할 것입니다. 굳이 극좌표계란 이름을 쓰지 않았지만, x,y 로 쓰는 좌표계를 \(r\), \( \theta\) 로 쓰는 것은 함수나 복소수를 배울 때 해 보았을 것이므로 굳이 설명은 안합니다.
앞의 글에서 말한바와 같이 면밀도 \( \sigma \) 는 \( M / (\pi R^2) \) 이 되므로
\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sigma \, dr d\theta \)
로 쓰면 될 것 같지만, 그렇지 않습니다.

나중에 극좌표계, 원통좌표계, 구좌표계에서 적분하는 방법을 배우게 되면 명확히 알게 되겠지만, 지금은 대충이야기 하자면, \(\theta\) 가 변할 때에는 \(r\) 에 따라 변하는 거리가 다 다릅니다. \(r\) 이 크면 클수록 길이가 더 많이 변하므로 그에 대한 가중치를 부여해야합니다. \( d \theta\) 만큼 각이 변한다면 길이는 \( r d \theta\) 만큼 변합니다. 따라서, 우리가 구하려는 적분은

\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sigma \, r dr d\theta \)

이 됩니다. 그러므로

\( = 2\pi \int_{0}^{R} r^3 \sigma \, dr \)

\( = 2\pi \cdot M / (\pi R^2) \int_{0}^{R} r^3 \, dr \)

\( = 2M / ( R^2) \frac {R^4}{4} \)

\( = \frac {1}{2} M R^2 \)

이란 값이 아주 쉽게 나옵니다.

물론 우리는 이 값이 얼마인가 보다 이것이 의미하는 물리가 중요하므로, 앞에서 나온 고리 모양과 값을 비교해봅시다. 고리가 2배나 더 크게 나옵니다. 이게 두배인지 세배인지 정확하지는 않아도 고리모양이 더 크게 나오는게 당연하다고 생각이 되니까 제대로 구했을 가능성이 크군요.

>> 제가 이걸 당연하다고 하는데 왜 이게 당연하지? 라고 반문하시는 분은 이글을 읽으시면 안됩니다. 꼭 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 읽으러 가십시오.

고리모양 적분으로 풀기

앞서 고리모양의 경우도 굳이, 꼭 적분으로 푸는 것을 보아야 겠다는 분은 아래를 보시면 됩니다. 그냥 극좌표계 적분하는 것을 한번 더 보여드리는 것인데, 이게 고리모양 전하에 의한 전기장을 구할 때로 사용할 것이므로 미리 적응차 보여드리는 것입니다.

고리모양은 1차원적으로 변하므로 \( dr \)은 필요없고 \(d\theta \) 만 있으면 됩니다.
\( \int_{0}^{2\pi} R^2 \lambda \, R d\theta \)

앞서 말한 가중치 r 도 R 로 고정이 되었고, 밀도도 선밀도가 적용되어 \( \lambda = M / 2 \pi R
\) 입니다. 넣고 계산하면 당연히 값은 위에서 구한 거과 같습니다.

축방향으로 두꺼워진 고리, 원판

고리가 축방향으로 두꺼워진 모양을 원기둥 껍질 모양으로 좀 어렵게 불러봅시다.

>> 이 사이트는 한국어를 사용하는 사람을 우선하기 때문에 용어가 좀 낯설지만 가급적 한국어를 우선 사용하려고 노력하고 있습니다.  음…. 근데 사이트는 한국어가 아니군요….

물론 아래 원기둥 껍질 모양도 고리모양과 똑같은 형태의 값인 \( M R^2 \)을 가질 것입니다.

 원판이 두꺼워지면 원기둥이 됩니다.
이제 반지름은 R인 원이 회전축의 방향으로 두께가 d 가 되도록 길쭉한 원기둥을 봅시다.
당연히 이것도 d 랑 상관없이 \( \frac {1}{2} M R^2 \) 일것입니다.

>> 이게 당연하지 않으면 그만 읽고 앞에 올렸던 글을 읽어야합니다.

>> 다시보니 그림에 d가 표시가 안되어 있네요.. 시간될때 교체해두겠습니다.

 

d가 2R 이라고 해봅시다. 그래도, \( \frac {1}{2} M R^2 \) 일것입니다. 반지름이 R 인 구를 생각해보면 구는 이것보다 값이 작게 나와야 할 것입니다. 감이 오나요? 이 감을 가지는게 중요합니다.
사실 이것만 알았다면 굳이 더 계산할 필요는 없지만, 그래도, 하다말면 좀 찝찝하니까 값을 한 번 구해는 봅시다.

>> 이런 감이 안온다면 그만 읽고 앞에 올렸던 글을 읽어야합니다.

>> 다시보니 그림에 d가 표시가 안되어 있네요.. 시간될때 교체해두겠습니다.

구

이제는 반복하기 귀찮긴하지만, 밀도는 일정하고, 회전축은 구의 중심을 지납니다. 어차피 구의 대칭성때문에 방향은 말안해도 상관은 없겠네요. 그냥 아래 그림과 같은 경우를 만합니다. 구의 반지름은 R 입니다.

저의 악몽은 이것의 회전관성을 구하는 것이었습니다. 그리고, 딱 1년 선배는 이걸 1분안에 풀어내는 것이 신선한 충격이었습니다. 그 비결은 구면좌표계(球面座標係, spherical coordinate system)라는 \(r\),\( \theta \),\(\phi \) 로 표현하는 좌표게를 도입하는 것이었습니다. 앞서 말한것과 비슷하게 적분할 때는 각 위치에 따른 길이 변화에 가중치를 부여해야하기 때문에 우리가 구하려는 관성 모멘트는
\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \rho \, dr d\theta \phi\) 가 아니라 가중치를 부여한 \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \rho \, r^2 \sin \theta dr d\theta \phi\) 입니다.

>> 상세한 것은 구면좌표계를 직접 검색해서 찾아보시고, 잘 이해안된다면 내년쯤에 배울 일이 생길 것이니 그 때 잘 배우시면 됩니다.

>> 제가 말한 악몽은 여러분도 경험해보시길 바랍니다. 그래야 감사의 마음이 확 가슴속에 꽂히고, 구면좌표계를 배울 때 어렵고 복잡해서 짜증나기보다는 감사의 마음을 갖게 됩니다. 

\( \rho\) 는 (부피) 밀도도 \( M / ( 4 \pi R^3 / 3 ) \) 를 말합니다.
위의 식을 후다닥 정리하면

\( 3 M / ( 4 \pi R^3 ) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 \, \sin \theta dr d\theta \phi\)

\( = 3 M / ( 4 \pi R^3 ) 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 \sin \theta \, dr d\theta \)

\( = 3 M / ( 4 \pi R^3 ) 2\pi 2 \int_{0}^{R} r^4 \, dr \)

\( = 3 M / ( 4 \pi R^3 ) 2\pi 2 \frac{R^5}{5} \)

\( = \frac{3}{5} M R^2 \)

어랍쇼? \( \frac{3}{5} \) 은 \( \frac{1}{2} \) 보다 크잖아!!!

뭐가 잘못되었지?

그래서,
[관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]에서 제가 몇번이나 강조했습니다. r 은 (….)이 아니라 (….)라고 ..

>> … 처리한 것은 이래야 앞으로 돌아가 조심 다시 읽어볼 것이기 때문입니다. 제 경험상 컴퓨터나 휴대폰처럼 화면에 표시된 글은 종이책 글보다 대충읽는 경향이 있더라구요.

우리가 구해야 하는 것은
\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} ( r\sin \theta)^2 \rho \, r^2 \sin \theta dr d\theta \phi\) 입니다. 차이를 찾으셨나요?

\(= 3 M / ( 4 \pi R^3 ) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 ( \sin \theta ) ^3 \, dr d\theta \phi\)

\( = 3 M / ( 2 R^3 ) \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^4 (\sin \theta)^3 \, dr d\theta \)

\( = 3 M / ( 2 R^3 ) (4/3) \int_{0}^{R} r^4 \, dr \)

\( = 2 M / R^3 \frac{R^5}{5} \)

\( = \frac{2}{5} M R^2 \)

로 교과서처럼 같이 나오고,
앞에서 얻었던 결론처럼 1/2 보다 작은 값이 나왔습니다.

이렇게 값을 구하는 가장 큰 이유는 고리, 원기둥, 구의 관성모멘트의 크기 비교를 감으로 하던 것에 대해서 확신을 가지자는 의미가 가장 큽니다. 그러면서, 굴러갈 수 있게 생긴 3가지 모양을 경사면에 가만히 놓으면 어떤 모양이 가장 빨리 바닥에 도착할 것인지를 이해할 준비를 해가고 있습니다.

다른 모양

다른 모양은 안합니다. 산수문제니까 열심히 계산해서 푸시면 됩니다.

>> 일단 이 부분을 읽고 있다는 것에 먼저 박수를 보냅니다. 보통 이 앞에서 많이들 포기합니다. 힘내세요.. 조금만 더하면 일반 물리에서 배워야하는 회전문제는 끝납니다.

>> 등산해 보셨나요? 올라가는 사람들이 힘들때 하산하는 사람들이 말합니다.  “이제 거의 다왔어요.~~~” ^^;   

 

 

 

 

 

 

 

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>> 이글은 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 읽으신 분들이 보는 글입니다.

여기서는 회전관성/관성모멘트란 개념을 적용하여 회전관성을 숫자로 값을 구해 봅니다.

미리 말씀드리지만 쉽지 않습니다. 적분을 해야하기 때문입니다. 물론 적분이 자신있는 분도 있을겁니다. 그러나, 공간에 대한 적분이기 때문에 다변수 함수를 적분해야합니다. (제 기억으로는 대학교 1학년 2학기 때 배운 것같습니다. 교육과정상 일반적으로 물리가 수학보다 진도를 먼저 나가는 경향이 있습니다.) 따라서, 한 개의 변수만 적분하는 것에 비해 어렵습니다. 또한 회전이란 문제의 특성상 둥근모양을 많이 다룹니다. 기초적인 미적분학에서는 데카르트 좌표계 (Cartesian Coordinate)만을 배웠기 때문에 둥근 모양을 계산할때는 아주아주 불편합니다. (제기억으로는 대학교 2학년때 드디어 데카르트 좌표계 가 아닌 직교좌표계를 배웠던 것 같습니다.)

그래서 어떻게 할까 고민이 많았습니다. 네모난 모양은 데카르트 좌표계 에서 차근 차근 자세히 계산과정을 따라 가겠지만, 둥근 모양은 원통, 구 좌표계를 사용하지만 자세한 설명없이 결과만 알려 드려야 할 것 같습니다. 둥근모양을 직교좌표로 계산하는 것은 제도 처음 배울 때 한 번 해보았는데 너무 괴로운 일이라 다시 하기가 싫네요.

>> 제가 배울때 사용한 교재가 Halliday/Resnick 2판이었던 것으로 기억합니다. 그 때는 구 모양의 관성모멘트를 직접 구하는 과정이 들어 있었던 것으로 기억합니다. 그런데, 그 이후 후배들이 배우는 책에서는 삭제되었습니다. 저자도 이부분이 너무 힘든걸 동의했나봅니다. 그렇게 어려운 것들은 선배들은 구 좌표계로 아주 간단히 계산하는 법을 보여줘서 구좌표계의 효용성을 실감하게 해 주었습니다. 여러분도 두 방법 모두 해 보신다면 쓸데 없이 왜 원통, 구좌표계를 배우는가란 말은 절대 하지 않을 것이라 믿습니다.

이번에는 데카르트좌표계를 적용하여 비교적 쉽게 구할 수 있는 것들에 대해서만 이야기 하겠습니다.

한점 취급 (0차원)

실제 세상에서 부피가 없는 물체를 생각할 수 없겠지만, 시험 문제에는 잘 나옵니다. 일종의 약속입니다. 부피에 의한 영향은 거의 없다고/무시하자고 하는 약속입니다. 모든 질량은 한 점에 존재합니다. 아래와 같이 어떤 물체가 실에 매달려 돌고 있을 때, 질량과 질량 중심까지의 거리만 알려줍니다. 그런 경우는 물체의 크기에 의한 영향은 거의 없다/ 무시하자라는 시험시간의 약속입니다.

질량을 \( M \) , 회전축에서 떨어진 거리 \( r \) 이라고 합시다. 앞서 말한 관성 모멘트/ 회전 관성값을 구하는 법에서 작은 조각 하나만 있는 경우로 취급합니다.
한조각의 회전 관성값 \( I \)는 \( M \cdot r^2 \) 입니다.

>> 뭐 이건 아주 간단하게 해결되지요. 이게 뭔지 잘 모르겠다면 지금 당장 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 살펴보십시오.

선처럼 취급 (1차원)

이번에도 앞에서와 마찬가지로 부피가 없는 물체는 없겠지만, 선처럼 취급하는 가정을 합시다. 폭과 두께가 길이보다 아주 작은 경우에는 부피까지 고려해서 열심히 계산해 보더라도 길이가 긴 쪽 만 고려(폭과 두께를 무시)하고 계산한 것과 비교해보면 아주 작은 차이가 밖에 나지 않습니다. 그러니 굳이 폭과 두께까지 고려해서 계산하지 않아도 문제가 생기지 않습니다.

>> 나중에 다 읽어 보신 후 직접 숫자를 넣어서 계산해 보십시오. 그다지 큰 차이가 나지 않습니다.

질량을 \( M \), 긴 길이를 \( L \) 이라고 합시다. 계산의 편의상, 문제를 쉽게 풀 수 있는 경우로 이 물체의 밀도는 일정하다고 합시다.

그리고, 가장 중요한 사실 하나!!

지금 계산하려는 회전 관성값은 그림과 같이 회전축이 길이가 긴 쪽에 수직이면서, 질량 중심을 지나고 있는 경우입니다. !!!!!
왜 중요하다고 할까요? 회전축이 길이가 긴쪽과 나란한 방향이라면 앞서 말한 가정대로 폭과 두께가 0 이니까 다음 이야기와 상관이 없습니다. 또한 회전축이 질량 중심을 지나지 않는 경우에는 절대로 지금 계산한 값이 되지 않는다는 말입니다. 회전 관성은 회전축으로 부터 얼마나 떨어졌는지를 말해주는 거리를 가중치를 부여한 값이기 때문에 그냥 모양이 똑같다고 같은 값이 나오는게 아니라, 축에서 부터 떨어진 거리에 따라 어떻게 질량이 분포해 있는지에 의존합니다. 회전축이 어디인지 이야기 하지 않고 관성 모멘트를 구하라는 질문은 그자체로 잘못된 질문입니다.

그래서 지금 구하려고 하는 것을 다시 이야기 해야합니다. 회전축이 질량 중심을 지나는 경우, 밀도가 일정한 질량이 \( M \), 길이가 \( L \) 인 물체의 관성 모멘트값을 구하려고 하는 것입니다.

이 물체의 밀도는 일정하므로 축에서 부터 왼쪽 끝과 축에서부터 오른쪽 끝까지의 거리는 똑같으면 축이 곧 질량 중심을 지나가게 됩니다.

100등분 쯤 해 봅시다.
그러면, 질량이 \( \frac{M}{100} \) 인 물체가 \( \frac{L}{100} \) 간격으로 놓여있는 것의 관성 모멘트를 구하는 것입니다. 제일 끝에 있는 것은 \( \frac{L}{2} \), 그다음 것은 \( \frac{L}{2} – \frac{L}{100}\)
그 다음 것은 \( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{100}\), \( \frac{L}{2} – 3 \times \frac{L}{100}\)…
\( 2 \times \frac{L}{100}\), \( \frac{L}{100}\) 0, …\( \frac{L}{100}\), \(2 \times \frac{L}{100}\),…,\( \frac{L}{2} – 3 \times \frac{L}{100}\), \( \frac{L}{2} – \frac{L}{100}\),
\( \frac{L}{2} \) 이렇게 놓여 있을 것입니다.
>> 이게 101 개 아니냐고 시비걸지 맙시다. 100등분 “쯤” 해 두었다고 했으니 .

그러면 각 회전관성값은 각각

\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{100} \)

\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

…

\( ( 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

\( (\frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

0

\( (\frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

\( ( 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{100})^2 \times \frac{M}{100} \)

\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{100} \)

이 되고 이것을 더하면 우리가 구하고자 하는 값이 됩니다.

1000등분 쯤 해봅시다. 저도 계속 쓰고 있기 힘드므로 중간 과정생략하면

\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{1000} \)

\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

…

\( ( 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

\( (\frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

0

\( (\frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

\( ( 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{1000})^2 \times \frac{M}{1000} \)

\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{1000} \)

을 다 더해준 값이 됩니다.

그 다음 10000등분쯤 해봅시다. 저도 계속 쓰기가 귀찮으므로 뭔가 다른 방법을 생각해 보아야겠습니다.

\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{n} \)

\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

…

\( ( 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

\( (\frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

0

\( (\frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

\( ( 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

\( ( \frac{L}{2} – 2 \times \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

\( ( \frac{L}{2} – \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

\( (\frac{L}{2})^2 \times \frac{M}{n} \)

을 다 더한 값인데, n = 10000 이면 됩니다.

이제는 10000000등분쯤 해봅시다. 그럼, 위의 값을 n = 10000000 인 경우로 더하면 됩니다.
이렇게 자꾸 작게 쪼개어서 값을 계산해서 더하는 것을 [구분구적법]이라고 하고, 이 n 값을 무한으로 늘리는 것을 적분이라고 합니다. 결국, 거리의 제곱 가중치로 질량을 적분해가는 것입니다.
왜 이뻔한 것을 쓰냐고요? 거리의 제곱 가중치로 질량을 적분하는 것이란 말을 했으면 검색을 안해도 계산할 수 있어야 되는데, 그게 뭔말인지 모르겠다고 하니 이렇게 길게 쓸 수 밖에 없습니다.

제가 너무 무시했나여? 그게 문제가 아닌가요?
그렇습니다. 문제는 수학시간과는 좀 다른 문제가 들어 있습니다. 함수 \( f(x)\) 를 x 로 적분하는 것은 문제가 없지만, 물리시간에는 \( I = \int r^2 dm \) 이라고 하는데 (\( r(M) \)) 은 안 가르쳐 주고 구하라고 하니까요.
그러니까, 뭔일을 해야하는지 다시 확인 시켜드리기 위해 위에 처럼 쓸데 없어 보이는 것을 쓴 것입니다.
이제는 구할 수 있습니까? 아직도 모르겠나요?
그럼 천천히 다시 봅시다.
우리가 구하려고 하는 것은

\( \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \frac{L}{n})^2 \times \frac{M}{n} \)

n 등분을 하게 되면 작은 조각이 하나 생깁니다. 그 길이는 \( \Delta L = L/n \) 이 됩니다.
그러니까, 이 식은 곧

\( \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \Delta L)^2 \times \frac{M}{n} \)

이 됩니다.
이것을 정적분으로 바꾸려다 보니 어? 어디 익숙한 모양 하나가 없네요…뒤쪽에\(\Delta L \) 이 없습니다.
그러니, 뒤의 n 자리에 \( n = \frac{L}{\Delta L} \) 을 넣어주어야 겠네요.

\( \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \Delta L)^2 \times \frac{M}{L} \Delta L \)
이 됩니다.
자 이제 이걸 n 이 무한히 될때의 값을 구하면 되는 것이니
우리가 구하고자 하는 관성 모멘트는

\( \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} (\frac{L}{2} – k \Delta L)^2 \times \frac{M}{L} \Delta L \)

이고 이를 적분으로 표현하면

\( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 (M/L) \, dx \)

([구분구적법] 마지막 줄 참조)
이고 즉, \( \frac{1}{12} L^2 M\) 이 되고, 단위는 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)] 에서 이야기 했습니다.

뭐 이렇게 복잡하게 해야할까요? 저처럼 수학이랑 담 쌓은 사람은 이렇게 생각합니다.

>> 저도 한때는 수학을 잘한다고 생각했는데, 정수론 책을 몇 장 넘긴뒤부터, “내가 지금까지 하던 것은 수학이 아니라 산수였구나”하고 책을 덮었습니다. 그 뒤로 수학이랑 별로 친하지 않고, 산수를 수학이라고 부르면 수학자들에게 미안한 생각이 듭니다.

막대의 길이가 L 이라고 하고, 작은 조각들을 \( \Delta L \) 의 길이를 가진 조각으로 생각하면, 회전축을 원점으로 두면 위치 x 가 -L/2 부터 L/2 까지 변하는 질량 \( (M/L) \Delta L \) 이 빼곡히 들어차 있네. 위치 \() x = k(\Delta L) \)가 곧 거리 r 이 되니까, 그러니까, \( (k \Delta L) ^2 \times (M/L) \Delta L \) 을 -L/2 부터 L/2 더해나가는 것이니, \( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 (M/L) \, dx \) 라고 생각하고 끝냅니다.

그러나 이렇게 되기까지 아주 오랜 시간이 걸렸습니다.

여기서 한가지 짚고 넘어가야하는 것이 M/L 입니다. 질량을 부피로 나누면 밀도라고 하듯, 질량을 길이로 나누는 것을 선밀도라고 합니다. 교과서에서 선밀도가 갑자기 튀어나와 이건 뭐지 했던 기억이 있어서 한번 짚어드립니다.
예전에 써둔 글이 있으니 [선밀도, 면밀도]부분을 참고 하십시오.
보통 선밀도를 \( \lambda \)로 잘 표시하니 앞의 식은 \( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda \, dx \) 로도 표현할 수 있을 것입니다. 이 표현을 소개시켜드리는 이유는 밀도가 바뀔때의 문제를 풀기 위함입니다. 지금은 밀도가 일정한 (균일한 물질인) 경우였지만, 실제로는 밀도가 위치에 따라 바뀔 수 도 있을 것입니다.
그렇다면 \( \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda(x) \, dx \) 를 계산해야겠지요. (회전축의 위치는 중요합니다. 밀도가 바뀌면 질량중심은 다른 어딘가에 있을 것입니다. 회전축과 질량중심이 꼭 관계가 있는 것은 아닙니다. 질량 중심이 중요한 것은 균일한 밀도를 가졌을 때입니다. 나중에 할 이야기가 있어서…)

아까 중요하다고 했던것 까먹지 않았나요? 우리가 구한 것은 회전축이 질량 중심을 지나는 경우입니다. 그렇지 않고, 막대기 끝이라면 값이 바뀝니다. 이것은 다른 주제를 소개할 게 있어서 따로 글을 쓸 예정이니 그 때 연결해드리겠습니다.

그리고, 마지막 식에서 x 라고 쓸 때, 회전축을 좌표계의 원점으로 잡았기 때문에 거리가 x (위치)로 표현되는 것입니다. 까먹지 마시길 …. 앞서 적용했던 정적분으로접근하면 문제가 없겠지만, 간단방법은 부정적분으로 접근한 것이라, 좌표계를 잡은 다음 꼭 거리는 얼마인지 다시 생각해야합니다. 좌표계(회전축이 아니라)의 원점이 어디에 있든 관성모멘트 값이 같게 나와야 합니다. 보통은 회전축에 좌표계원점을 두어야 계산이 쉽습니다.

면처럼 취급(2차원)

선처럼 취급에서 한 말을 또 반복합니다. 부피가 없는 물체는 존재하지 않겠지만, 이런 가정을 합니다. 두께는 길이와 폭보다 아주 작은 경우입니다. 길이와 폭은 서로 비슷하여 선처럼 취급하기에는 애매한 경우입니다. 앞에서 말한 것 처럼 부피까지 고려해서 열심히 계산해 보더라도 두께에 의한 영향은 거의 무시할 정도가 되기 때문에 우리는 굳이 그렇게 엄밀하게 따질 필요가 없습니다. (심지어 균일한 밀도를 가진 물체에서는 두께가 얼마이든 상관없이 같은 값을 가지기도 합니다만 그이야기는 좀 있다가 하겠습니다.)

앞에서 처럼 자세히 하기 보다 마지막 적분 부분을 바로 적용하면 (아직도 잘 이해가 안된 사람은 앞에서 처럼 단계별로 해서 앞에서 말한 것 처럼 계산해야 이해가 됩니다. )
이제는 선밀도가 아니라 면밀도가 필요합니다. 그리고, 적분도 x 하나만 하는게 아니라 x, y 두개를 해야합니다. 음…. 이게 2학기 때 배우는 거란 말이지….
그러므로, 우리는 그냥 믿어 주십시오. x 를 적분할 때 y값에 영향을 주지 않고, y를 적분할 때 x에 전혀 영향을 주지 않는 경우만 하겠습니다. (데카르트 좌표계이고, 밀도도 일정합니다. )

질량을 \( M \), 한쪽 길이를 \(a\) 다른 한쪽은 \( b \) 인 직사각형모양의 물체가 있다고 합시다. 물론 두께는 아주 얇아서 그냥 무시해도 되는 경우라고 했습니다. 계산의 편의상, 문제를 쉽게 풀 수 있는 경우로 이 물체의 밀도는 일정하다고 합시다. [선밀도, 면밀도]를 읽고 오신 분이라면 면밀도는 \( \sigma = \frac{M}{ab} \) 라고만 말해도 쉽게 알아 들을 것입니다.

야매 수학을 하면 우리가 구하려는 관성모멘트

\( I = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2}r^2 \, dm \)

\( = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} (x^2+y^2) \, \sigma dxdy\)

가 됨을 알 수 있습니다. (물론 좌표축 x, y 방향은 a, b 길이를 재는 방향입니다. 원점은 회전축과 일치 시켰습니다.) 이게 바로 안된다면 다시 앞으로 가서 다시 손으로 직접 쓰면서 천천히 생각을 하면서 읽어보시길…

>> 제가 야매 수학이라고 했지만, 앞에서 살펴보았듯이 수학에서 엄밀하게 접근하는 방법과 결과적으로 같기 때문에 모든 물리학 교과서에서도 이런식으로 접근합니다.야매 수학이란 표현은 일종의 수학자들에 대한 존경의 표시 입니다.

계산하면 \( \int_{-b/2}^{b/2} \frac{1}{12} a^3 + a y^2 \, \sigma dy \)

뭐 이중으로 적분한다고 크게 바뀌는 것은 없고, x가 변한다고 y가 변하지 않으므로 그냥 차근 차근 순서대로 하면 됩니다. 나중에 미적분학 수업시간에 잘 들으시길…

\( = \frac{1}{12} ( a^3 b + a b^3) \sigma = \frac{1}{12} ( a^2 + b^2) M \) 이 됩니다.

자, 많은 사람들이 공식이라고 부르는 복잡한 산수가 중요한게 아니라, 우리는 물리가 중요합니다.

>> 왜 물리에서 공식을 찾는지 잘 모르겠습니다. 물리에는 공식이라고 할 만한게 몇 개 없습니다.

이렇게 계산한게 앞에서 말한 선모양을 포함할 수 있을까요?

길이 a 는 L 이고, b는 0 으로 가까워지는 상황을 생각해 봅시다. 그러면 우리의 판모양의 직사각형은 결국 선모양이됩니다. 그러면 결과값도 같나요? 이 때 우리가 면밀도라고 부르던 것은 어떻게 되나요? 선밀도와 면밀도의 차이는 구분하겠습니까?

앞에서 말한 것 처럼 선모양이라고 무시했던 폭이 실제로는 존재하므로, 아주 작은 값을 넣어 보십시오. (아직 두께는 둘다 무시하고 있으므로 폭만… ) 얼마나 큰 영향을 주나요?

만약 지금의 직사각형이 밀도가 균일하지 않다면 수식을 어떻게 고쳐 쓰면 될까요?

>> 저도 여러번 똑같은 말하는 것이 귀찮습니다.

입체 (3차원)

이제는 완벽하게 다 이해했고, 무시하던 두께도 고려해봅시다. 물론 밀도가 일정하다고 합시다. 그리고, 처음 말한 대로 3개의 축이 서로 영향을 주지 않는 x,y,z 로 만들수 있는 쉬운 모양만 합니다.

즉, 각 변의 길이가 a,b,c 이고 질량이 M 인 밀도가 일정한 직육면체의 관성모멘트를 구하는 것입니다. 물론 회전축이 질량 중심을 지나는 경우입니다.

이제는 수식을 적지 않아도 쉽게 알 수 있겠지요?

결과는 예상처럼 \( \frac{1}{12} ( a^2 + b^2 + c^2) M \) 이 됩니다.

뭐 이걸 계산해야할까요? 물론입니다. 계산해야합니다.

\( I = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} r^2 \, dm \)

을 구하는 것입니다. 그러면 같은 값이 나오겠네요.

“그럼 이만” 하고 끝낼줄 알았습니까? [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)]을 제대로 읽은 분은

\( I = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} (x^2+y^2) \, dm \)
임을 알고 있습니다. 그러므로,

\( = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} (x^2+y^2) \rho dV \)

\(\rho = M/(abc) \)로 (부피)밀도 입니다. V는 부피

\(= \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-c/2}^{c/2} (x^2+y^2) \rho \,dx\,dy\,dz \)

\( = \int_{-c/2}^{c/2} \frac{1}{12} ( a^3 b + a b^3) M/(abc) \,dz \)

\(= \frac{1}{12} ( a^2 + b^2) M \)

됩니다. (물론 좌표축 x, y, z 방향은 a, b, c 길이를 재는 방향입니다. 원점은 회전축과 일치 시켰습니다.)

r 은 (….. )거리이지 (….)에서 부터 거리가 아니라고 [관성 모멘트(moment of inertia)/ 회전 관성(rotatioanl inertia)] 에서 몇번을 반복했었습니다.

그러니, 밀도가 균일한 경우, 면처럼 취급에서 했던 것을 회전축 방향을 따라 길게 늘어난 모양의 경우는 두께는 전혀 중요하지 않다는 점입니다. 적분 과정을 보면 두께에 의한 항(z, c) 는 전혀 없게 됩니다. 물론 밀도가 같은 물체에서 두께가 두꺼워지면 질량 M 이 증가합니다. 두께에 의한 영향은 질량 M 에 들어 있습니다. 그럼 면밀도란 걔념도 다시 곱씹어 보면 됩니다.

>> 그럼, 어디가 a, b, c 인지 구분하는 것은 중요한 문제가 되겠네요. 이거 시험에 내면 무지 많이 틀리겠군요.~~~ 맨날 공식만 찾으니…

결론적으로 밀도가 일정한 물체를 질량은 동일한 상태로 회전축 방향으로 아무리 길게 늘어당기든지, 꾹 눌러 압축을 시키는지 아무런 상관이 없이 회전관성값은 일정합니다. 이것은 원기둥 경우라도 마찬가지가 되는 것입니다.
회전축으로 부터의 거리가 동일한 모양이라면 언제든지 적용되는 것입니다. (회전 관성 정의에 따른 결과입니다.)

원기둥에 회전축이 어디에 ,어느 방향으로 있을때 그런가요?

>> 그림을 그리기 싫어서 질문으로 대체합니다. 답을 찾으신분이 예쁜 그림을 그려서 게시판에 올려 주시면 이자리에 그림을 넣어 드리게습니다. 원하시면 이름도 ~~~

그리고, 다음 그림의 결과는 잘 찾을 수 있을까요?

회전축이 바뀌니 값이 다른 것도 확인했나요?

dm

수학시간에는 전혀 해보지 않았던 이상한 적분입니다. 물리에서 이렇게 쓰는것은 아주 작은 조각의 질량들이란뜻으로 쓴것입니다. 수학시간의 적분을 적용하기 위한 거리에 대한 식이 없습니다. 이제 거리의 적분으로 수학을 적용하려면 밀도라는 개념이 필요합니다

1차원(선) 이라면 질량들은 거리에 따라, 2차원은 면적에 따라, 3차원은 부피에 따라…

즉 dm은 선밀도(\(\lambda\)) x 작은길이(\(dL\)), 면밀도(\(\sigma\)) x 작은 면적(\(dA\)), (부피)밀도(\(\rho\)) x 작은 부피(\(dV\)) 로 바꿀 수 있습니다.

>> 제가 야매수학이라고 하던 그 부분이야기 입니다. 예전에 초안으로 썼던것이 남아 있는데 지우기 아까워서 올립니다.

 

Next

다음은 둥근 것들에 대한 이야기 입니다. 

 

 

 

 

 

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장력에 대해서는 굳이 할말이 많지 않다고 생각해서 글쓰기를 미루고 있었는데, 최근 게시판에서 몇 가지 질문들을 받다가 보니 공통적으로 해야하는 이야기들이 있어서 정리하는 글을 올립니다. 글을 쓰기 전에 교과서를 잠깐 보았더니, 제 기억과는 달리 실에 대한 장력을 이야기하는 부분이 아주 짧게 기술되어 있더군요. 아~ 그래서 질문들이 많이 나오나 보다 생각하게 되었습니다. 뭔가 특별한 이야기를 하려는 것은 아닙니다. 우리가 알고 있는 것들을 잘 조합하는 것입니다.
공부하면서 스스로 생각해 낼 수 있으면 좋겠지만, 그렇지 못한 경우를 생각해서 글을 씁니다.

팽팽한 실은 양쪽에서 잡아 당기는 경우입니다.

보통 문제에 나오는 상황에서 실의 장력은 실의 양쪽에서 잡아 당기는 것를 말하는 것입니다. 그렇지만 우리는 아주 기본적인 것부터 확인하기 위해서 먼저 실의 한 쪽 끝만 잡아당기는 경우를 생각 해봅시다. 실의 한쪽 끝을 F의 힘으로 잡아당기고 실의 질량이 m 이라고 합시다. 그 이외에는 아무런 힘도 가해지지 않는다고 합시다. 그러면
처음 상태에서 모양이 살짝 변할 수는 있겠지만, 이것도 F=ma 에 따라 a 란 가속도를 가지고 움직입니다. 이런 상황을 물리 문제로 낸 것을 본 적은 없습니다.

보통은 아래와 같이 실이 팽팽하게 직선으로 뻗어져 있는 경우입니다.
실의 장력이 F 라고 이야기 할 때는 실 양쪽을 F의 힘으로 잡아당기고 있는 것을 이야기 하는 것입니다. 위에서 한쪽만 잡아당기면 이렇게 팽팽한 상태가 되는게 아닌 것을 먼저 보여드렸으니 지금은 양쪽을 잡아당기고 있다는 것을 쉽게 이해할 수 있으리라고 생각합니다.

보통의 물리문제에서 다루는 경우는 이렇게 팽팽하게 잡아당겨진 실의 모양일 때를 이야기하는 것입니다. 물체에 힘을 가할 때 미는 것은 주로 접촉된 물체로 그리지만, 물체를 당기는 것은 이렇게 실을 이용합니다. 뿐만 아니라 실을 이용하면 힘을 가하는 방향을 쉽게 표현 할 수 있기 때문에 실을 이용하여 힘을 가하는 문제가 많이 나옵니다. 그래서, 접촉된 물체를 밀 때 수직항력을 고려하는 것 만큼이나 물체를 당길 때 장력을 고려해야하므로 물리교과서 앞부분에서 설명이 한 번 나오게 됩니다.

장력의 방향은 실을 당기는 방향입니다. 영어로는 tension 이라고 합니다. 물체에 가해지는 힘의 크기는 뉴턴 제 3법칙(작용 반작용의 법칙)에 따라 장력의 크기와 같고, 방향은 반대 방향이 됩니다. 그래서 흔히들 물체에 장력이 가해졌다고 하지만, 엄밀히는 실을 잡아 당기는 힘을 장력이라고 하는 것이고 물체가 받는 힘은 이 장력의 반작용력입니다. 이렇게 실에 매달린 물체의 움직임만을 중요하게 생각하므로 자꾸 실의 한쪽만 생각하다 보면 실을 양쪽에서 잡아당기고 있다는 사실을 깜박하게 되어 나중에 이상한 결론이 나올 수 있으니 주의하자는 의미로 첫 주제를 잡았습니다.

두 물체를 실로 묶어서 움직이고 있을때, 이 실이 팽팽하게 있다는 상황은 실을 양쪽에서 힘을 주어 당기고 있기 때문임을 잊지 마십시오.

>  이 정도 그림이 무슨 뜻인지는 충분히 배운 분들이 읽고 있다고 생각해서 설명은 생략합니다.

아주 특별한 경우에만 실의 양쪽 장력의 크기는 같고 방향이 반대입니다.

많은 문제가 이렇게 생각하면 풀리는 문제이기 때문에 아무런 의심없이 장력은 크기가 같고 방향이 반대로 잡아 당기는 것이라고 생각하게 됩니다. 하지만, 이런 생각을 고집하다보면 언젠가 문제 풀이를 틀리는 경우가 생깁니다.

실 양쪽의 장력의 크기의 같고 방향이 반대라고 하는 것은 사실은 아주 특별한 경우입니다.

먼저, 정지된 두 물체 사이에 실을 매달아 둔 경우를 생각해 봅시다. 아래 그림과 같은 것은 현실에서 아주 자주 보는 경우입니다. 지금의 그림은 쇠사실과 같이 무거운 물체이지만, 가벼운 실도 사실 이렇게 묶어 둘수 있습니다.

[현수선 그림 저작권 알림]

>  이렇게 쇠사슬이나 실이 이루고 있는 모양의 형태를 현수선(懸垂線, Catenary)이라고 합니다.
( 현수선은 懸 달 현, 垂 드리울 수 로 줄을 매달아 드리우고 있을 때 나타나는 선 모양을 말합니다. 현수교란 다리는 이렇게 줄을 메달아 드리우고 있는 다리를 말합니다. )

실의 양쪽을 가만히 메달아 주는 경우 작용하는 힘을 고려해보면 실에는 장력 뿐만 아니라 중력도 작용하고 있습니다. 그래서, 실 양쪽을 당기는 장력의 크기가 같고 방향이 같아서는 절대로 이런 모양이 나올 수 없습니다. 기본쪽으로 장력의 크기와 방향을 정확히 아는 것은 쉬운 일이 아닙니다. [현수선의 함수구하기](https://blog.naver.com/wlsthf9401/60167207959)를 보시면 상당히 어렵게 느껴질 것입니다.

보통의 물리 문제에서 보이는 팽팽한 선도 중력이 있는 경우 값이 아주 작지만 약간은 아래로 쳐져 있을 수 밖에 없습니다. 이렇게 복잡한 경우를 처음 배울 때부터 다룰 수 없습니다. 뿐만 아니라 잘 다룰 수 있더라 아주 그 값이 작기 때문에 그런 것까지 신경 쓸 필요가 없습니다. 때문에 보통은 실의 질량은 무시한다. 실의 질량은 0 이라는 가정이 주어지는 것입니다.

자, 이렇게 실의 질량이 0 이라 가정하여 중력은 고려하지 않아도 되는 경우 팽팽한 선을 봅시다.
우리가 알다시피 정지되어 있는 물체의 알짜힘은 0 이므로 , 실의 양쪽을 잡아 당기는 힘이 같고 방향은 반대가 되어야 가능합니다. 이것은 단순히 실의 양쪽 끝 뿐만 아니라 실이 있는 어떤 위치든지 모두 만족해야하는 것입니다.

그림을 그리기 힘들어서 두군데 정도만 표시하였지만, 사실은 실의 모든 점에서 마찬가지 입니다.

실의 질량을 0으로 가정하는 또 다른 이유

실의 질량을 0 으로 가정하는 것은 중력의 영향을 무시하고 싶어서이지만 또 다른 이유가 있습니다.
중력을 고려하지 않아도 되는 무중력상태인 공간에서 물체 두 개를 실에 묶어 움직이는 경우를 봅시다. (무중력 상태는 우주 정거장 같은 곳에서 구현 가능합니다. 하지만 중력이 0 인게 아니라 중력이 0인 것처럼 보이는 상태를 말하는 것입니다.)

어떤 힘을 가해서 그림과 같이 팽팽한 직선이 되도록 움직일 수 있을 것입니다. 이렇게 힘을 가해주면 가속도 운동을 하고 실의 질량이 있기 때문에 장력이 같을 수 없습니다. F = ma 에 따라 한쪽의 장력이 실의 질량 m 에다 실의 가속도 a 만큼 더 커야 당연합니다.

그러면 실제로는 두개의 큰 물체에 대한 문제를 다루고 싶은 것인데 실이란 물체까지 고려해야하는 상태가 됩니다. 그리고, 장력이 다른 것을 고려한다고 하더라도 실의 질량이 아주 작으므로 양쪽의 장력 차이도 아주 작기 때문에 뭐 그런 것 까지 생각하고 싶지 않은 것입니다. 그래서, 실의 질량을 0 으로 가정하여 두면 실제로는 장력이 아주 미세하게 작은 값으로 좀 다르긴 하겠지만 거의 같은 것을 그냥 같다라고 두고 생각할 수 있게 됩니다.
따라서, 가속운동할 때 아주 작은 값을 무시하기 위해서도 실의 질량을 0 으로 가정하는 것이 훨씬 간단합니다.

이렇게 실의 질량을 0 이라고 두면 장력의 크기는 같고 방향은 반대라고 생각할 수 있습니다.

도르래에 걸쳐 있는 실에 미치는 장력

어떤 분이 도르래에 걸쳐 있는 실의 장력의 크기가 왜 같냐고 질문하셨습니다. 위에서 실의 질량을 0 으로 두면 장력의 크기는 같다고 했으니까 당연히 도르래도 그렇다고 생각하시는 분이야 이 질문이 이상하게 보이겠지만, 제가 보기에는 오히려 이 분의 질문이 오히려 더 당연한 것입니다.

물리를 암기과목처럼 생각하시는 분들이야 실에 미치는 장력의 크기는 같고 방향은 반대라고 외어 풀면 이런 질문이 나올 수 없습니다. 하지만, 앞에서 말한 것들은 모두 **팽팽한 직선** 의 모양을 가진 경우에 적용되는 것인데 도르래에 걸쳐있는 실은 팽팽한 직선이 아니라 원의 모양을 가지고 있습니다. 그러니, 이 때도 과연 그런게 의심을 가지는 것이 당연합니다. 그 질문에 답을 할 때 제 기억에는 어디선가 도르래에 걸쳐있는 실의 장력의 방향에 대해서 본것 같은데, 막상 교과서를 찾아 보니 잘 못 찾겠군요. 제 기억이 잘못된 것일 수 있으니 도르래에 걸쳐있는 실의 장력에 대해서 그림으로 그려 살펴 보겠습니다.

앞서서 먼저 살펴보아야 하는 것이 있습니다. 우리가 앞서 본것과 같이 팽팽한 실의 이루고 있는 모양이 바로 장력의 방향이라는 것입니다. 우리가 가해주는 힘의 방향을 바꾸면 실이 이루고 있는 방향도 바뀝니다.
>  이게 왜 그래야만 하는지에 대해서 저 스스로 약간 확신이 안 드는 점도 있습니다….

 

그래서 직선의 형태가 아니라 곡선의 형태라면 아래 그림과 같이 아주 조그만한 영역으로 쪼개어 살펴 보야야 합니다.

그림과 같이 도르래와 같이 원의 둘레를 따라가는 실에 미치는 장력은 서로 크기가 같게 됩니다. (실의 질량은 0 이라 가정, 도르래와 실 사이에는 마찰력이 없다는 가정이 있을 때입니다.)

이렇게 도르래와 실 사이에는 마찰력이 없고, 실의 질량이 0 이라고 두면 실의 양쪽에서 잡아 당기는 장력의 크기는 같다는 결과를 얻을 수 있습니다.

아직까지는 장력은 크기가 같고, 방향이 반대다라고 생각해서 문제를 풀수 있는 경우입니다. 하지만, 이것들은 모두 특별한 가정들이 들어 있다는 것을 잊어서는 안됩니다.

실 양쪽 장력이 같다고 생각하면 틀리는 경우

어디선가 지나가다 본 문제에서 장력이 같다고 놓아서 틀렸다는 문제를 본 적이 있었는데, 저도 장력이 같다고 생각했다가 아닌 것을 깨닫게 된 경우가 있었습니다. 이와 유사한 그림을 한 번 그려 보겠습니다.
바로 아래와 같이 날카로운 물체 끝에 실이 걸려 있는 경우입니다. 물론 아주 확대 해보면 결국 둥그름한 형태가 되니 도르래와 같지 않냐고 생각할 수도 있겠지만 여기서는 물체 끝에 걸려 움직이지 않는 경우를 말하는 것입니다. (여기서 움직이지 않는다는 상황은 마찰력이 존재한다는 것을 숨겨둔 것입니다.)

왼쪽 그림과 같은 경우 삼각형 양쪽의 두 줄의 장력을 같다고 가정하면 안 됩니다. 오른쪽은 당연히 두 줄의 장력은 다른 값을 가진다고 생각하시나요? 뾰족한 물체를 이용해서 걸어둔 물체가 움직이지 않는 경우라면 오른쪽 그림과 마찬가지로 두 줄의 장력은 다른 값을 가지는 게 마땅합니다. (왼쪽그림이나 오른쪽이나 모두 아래쪽으로 늘어진 실은 위쪽 줄과 마찰력이 작용하여 움직이지 않습니다. )

이런 경우를 생각해보면 역시나 마찰력이 없는 도르래에 걸려 있는 실의 장력이 같은 것은 아주 특별한 경우인게 분명합니다. (실제 도르래도 마찰력이 아주 작은 베어링을 사용하여 거의 장력이 같게 되긴 합니다.)

실이 도르래를 잡아당기는 힘

또다른 주제로 실이 미치는 장력이 크기가 같고 방향이 반대라면 어떻게 실이 어떻게 도르래를 잡아당기냐는 질문도 받는 적이 있습니다.

양쪽에 각각 10N 으로 잡아 당기고 있으니까 모두 합쳐서 20N 으로 당기고 있습니다. 그런데, 도르래는 그자리에 그대로 있으므로 도르래에 미치는 알짜힘은 0 이므로 도르래를 당기는 힘이 20N 인것은 알겠는데, 실의 장력의 방향으로 볼 때 서로 상쇄되어 도르래를 20N으로 당기고 있는 것이 이해가 안되는 것이지요. 심지어 마찰력이 없다고 했으니 더욱더 이해가 안되는 것입니다. ( 여기서 도르래 질량은 0 이라고 가정합니다.)

그럼 또 기본으로 돌아가서 봅시다. 이번에는 오롯이 도르래를 빼고 실만 바라봅시다.(오른쪽 그림) 이 실이 20N의 힘을 받는데 왜 가속 운동을 안하고 있는 것일까요? 어디선가 20N의 힘으로 반대방향으로 실을 밀어 주고 있기 때문일 것입니다. 왼쪽그림을 보면 노란색의 힘은 도르래에 미치는 힘이므로 실에 미치는 힘은 아닙니다. 실에 미치는 힘이 빨간색만 있다면 분명 F = ma 에 따라 가속운동을 해야하겠지만, 움직이지 않는다는 것은 실에 미치는 힘이 또 있다는 것입니다. 그것을 따로 오른쪽에 그려보면 녹색의 힘이 20N으로 작용하고 있다는 것이 확실하며, 이렇게 작용하는 힘은 도르래가 접촉하고 있으므로 이 힘을 수직항력이라고 부르면 되는 것입니다. 도르래가 실을 20N 의 수직항력(녹색의 화살표)으로 밀어 주고 반작용으로 실이 도르래를 20N 의 수직항력으로 밀어 주고 있는 것이지요.

그럼 90 도로 걸쳐 있는 경우는 아래그림과 같겠죠.

각도를 점점 줄여서 생각해보아도 마찬가지로 수직항력은 존재해야 함을 알 수 있습니다. (그림을 그리기가 너무 어려워 생략했습니다. 양해바랍니다. )

각 점마다 결국 크기가 얼마인지 잘 몰라도 도르래에 걸쳐서 수직항력이 존재하고 있다는 사실을 유추해낼 수 있을 것입니다.

> 앞의 그림에서는 점으로 취급해서 수직항력같은 것은 고려의 대상이 되지 않았지만, 사실은 수직항력도 함께 생각을 해야한다는 것을 알 수 있습니다. 물론 저도 이번에 처음 생각하게 된 것이라 구글링을 하게 되었습니다. 그랬더니 기계공학쪽에서 다루는 주제로 보이는 글들을 찾았습니다.

> https://en.wikipedia.org/wiki/Capstan_equation
(마찰력이 존재하는 경우에 장력이 달라지는 관계식을 구한 사람이 있습니다.)

> https://doubtnut.com/question-answer-physics/suppose-we-consider-friction-between-string-and-the-pulley-while-still-considering-the-string-to-be–32506518
(Capstan 식이 어떻게 나왔는지 상세한 과정입니다. 각 지점별 수직항력의 관계를 알 수 있네요.)

> 물론 이 글들을 읽고 이해하시라고 올려둔 것은 아닙니다. 결국 이런 문제들을 풀기 위해 지금의 공부를 하고 있는 것이란 것을 보여드리는 것입니다.

그러니까, 질문의 발단은 실에는 장력만 있다고 생각했기 때문입니다. 도르래와 실 사이에 수직항력도 있을 수 있는 것이고, 실이 도르래를 당기는 것은 수직항력입니다. (도르래가 실을 미는 것도 수직항력입니다.)

마찰력이 있을 때 도르래

위의 참조 링크로 걸어둔 사례는 생각하기 좀 어려운 경우입니다만, 물리 문제에서도 실과 도르래 사잉에 마찰력이 있는 문제에 대해 다룹니다. 실을 감아두었다가 잡아당기면 도르래가 돌아가는 현실적인 문제(유사하게는 팽이에 실을 감아 당기는 경우)를 다를 수가 있어야 하니까요. 이 부분은 회전운동에서 다루게 됩니다. 그 주제는 다음에 글 쓰면 링크 걸어두겠습니다.

글을 마치며

여태껏 만나본 여러 장력에 대한 질문들에 대한 답을 위해 필요한 것들을 모아서 정리해 보았습니다. 모든 학문들이 다 그렇지만, 물리는 특히나 생각을 하지 않고 단순히 외어서만 풀 수 없습니다. 제발… 공식을 외어서 푸는게 아님을 깨닫기 바랍니다.
(그리고,,,, 물리에는 공식이란 게 거의 없습니다. 대부분 자연 법칙을 수학적으로 표시한 것입니다. 주위를 둘러 보면 공식이 어떻다고 말씀하시는 분들이 많은데, 공부하실 때 어떤 식을 잘 푸는게 중요한게 아니라 알고 있는 자연법칙을 그 상황에 알맞게 적용시킬 것인가를 생각하는 것, 즉 식을 잘 세울것 인가를 고민해야합니다. )

이 글은 게시판에 있는 아래 질문들에 대해 답하기 위해서 썼습니다. 질문하기를 꺼려하는 한국 문화에서 용기 내어 질문하신 몇몇분들의 덕분입니다. 여러분들의 질문 덕분에 저도 많은 것을 배우고 있습니다. 질문주셔서 감사합니다.

 게시판 질문 1

게시판 질문 2

게시판 질문3

헉 ~ 도르레가 아니라 도르래가 맞는 표현이라구하네요… 왜 난 평생을 도르레라고 알고 있었는지… 그래서 고친다고 고쳤는데,,,, 놓쳤더라라도 양해 부탁드립니다.

 

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빛의 성질중에 가장 먼저 배우는 것이 직진한다는 점입니다.
중학교 과정에서는 아주 간단히 다루고 있는 것([ 빛의 직진 ])으로 보아 아마도 초등학교때 배운 것 같습니다.

여러분이 빛의 직진성에 대해 잘 알고 있다고 생각하시나요?
이 글을 읽어보시면 내가 모르는게 많구나란 생각을 하게 될 것입니다.

빛의 직진성 증거

빛이 직진한다는 여러 증거가 있겠지만 아래 그림과 같이 바로 눈에 보이는 것 만큼 확실한 것은 없죠.

 

> 이 그림의 저작권에 관해서는 [레이저 사진 저작권]를 참조하십시오.

이 그림은 레이저라는 빛이 나오는 것을 사진으로 찍은 것입니다.
갖가지 색깔의 빛이 직진하는게 명확히 보이니 반론의 여지가 없습니다.

이 그림을 올려놓은 중요한 이유는 이 사진이 빛의 직진성을 보여주긴 하지만, 빛이 직진만 하는 것이 아닌 증거이기 때문입니다.

만약에 빛이 직진만 했다면, 빛의 경로에 있지 않는 카메라에는 빛이 도달할 이유가 없기 때문에 절대 사진에 찍힐 수 없습니다.
빛이 직진하는 중에 일부는 꺽여서 카메라에 도달했기 때문에 이런 사진을 얻을 수 있습니다. (다음 그림 참조)

그림과 같이 빛이 가는 경로 ‘중간에 어떤 일’이 일어나서 카메라쪽으로 빛이 튀어나오기 때문에 사진에 찍히는 것입니다.  보통은 레이저에서 나아가는 빛의 경로가 잘 보이지 않기 때문에 향을 피우거나 물을 뿌리거나 해서 ‘중간에 어떤 일’이 잘 일어나도록 도와줍니다. 아마도 이 사진을 얻기 위해서도 그런 일을 했을 가능성이 큽니다.  우리가 사람들 앞에서 발표할 때 사용하는 레이저포인터에서 나오는 레이저도 직진하는 경로가 잘 보이지 않는 것이 대부분입니다.

이렇게 직진만하지 않고 반사, 굴절, 회절등으로 빛의 경로가 바뀝니다. 물리시간에는 경로가 바뀌는 현상들을 주로 배웁니다. 이렇게 경로가 바뀌는 현상도 사실 직진성과 관계가 있습니다. 이 이야기는 나중에 하도록 하고…

사람들이 이 레이저 사진을 보면서 가지는 가장 큰 착각을 먼저 지적하려고 합니다.

 

위의 그림과 같이 등대에서 나오는 빛은 퍼져서 나옵니다. 뿐만 아니라 우리가 경험하는 대부분의 경우에 등대에서 나오는 빛과 같이 퍼져서 나옵니다. 이렇게 퍼져서 나오는 빛도 직진하는 것입니다.  워낙에 위의 레이저 그림에 익숙한 나머지 평행광만이 빛의 직진인 것처럼 착각하는 것 같습니다.  이렇게 평행광을 만들어내는 것은 렌즈와 같이 광학장치를 동원해서 평행의 빛이 나오도록 조절했기 때문이며 (영어로는 collimation 이라고 합니다.) 우리가 경험하는 대부분의 빛은 등대 그림과 같이 퍼져서 나옵니다.  물리시간 렌즈 작도하는 법을 제대로 이해 못하는 이유 중하나가 이렇게 빛의 직진성과 빛이 퍼져서 나오는 현상을 제대로 구분하지 못하기 때문입니다.

** 빛이 퍼져서 나오는게 기본입니다. **

빛이 퍼져서 나온다고 직진하지 않는게 아닙니다.

여전히 직진하는 것입니다.

빛의 경로 원리 – 최소 시간 원리

빛의 직진성이 깨어지는 경우의 중요한 예 중의 하나가 빛의 반사와 굴절입니다. 그런데, 이런 반사와 굴절의 속성마저도 빛의 직진성과 한꺼번에 설명하는 방법이 있습니다. 놀랍지 않습니까? 하나는 빛이 직진한다는 성질이고 다른 하나는 직진을 방해하는 성질인데 말이죠.

> 이렇게 좀 더 심오한 경지에 이르는 설명법을 원리라고 합니다.

바로 빛의 경우 ‘최소 시간 원리’로 설명하면 빛의 직진성 뿐만 아니라, 반사와 굴절을 설명할 수 있습니다.

그림처럼 두 점 사이에 빛이 갈 수 있는 수 많은 경로가 있습니다. 하지만 빛의 속도는 일정하므로 수 많은 경로마다 걸리는 시간은 다 다를 것입니다. 실제로 빛의 경로는 이중에 가장 시간이 최소로 걸리는 경로간다는 것입니다.

이런 원리로 반사를 살펴보면 (아래 그림에서 수평선의 위는 공기중이고 아래는 물입니다.)

어느 한점에서 빛이 물 표면을 거쳐서 가는 방법이 여러 가지가 있을 수 있겠지만, 실제 빛이 가는 경로는 입사각과 반사각이 같은 경우가 가장 시간이 최소로 걸리는 방법입니다.

이런 원리로 굴절을 살펴보면 (아래 그림에서 수평선의 위는 공기중이고 아래는 물입니다.)

 

빛이 공기중에서 물속으로 들어갈 때, 물속에서는 속력이 작기 때문에 시간이 오래 걸립니다. 따라서, 가급적이면 물속에서 적은 시간을 보내는 것이 좋겠지만, 그러면 공기중에서 걸리는 시간이 더 오래 걸립니다. 그러면 어느 정도 각을 이루면서 들어가는 것이 가장 짧은 시간만에 도달하는 방법이 됩니다. 실제로 빛이 들어가는 입사각과 굴절각이 시간이 최소로 걸리는 방법입니다.

잘 못 믿겠다면 몇 가지 경로마다 빛이 한점에서 다른 한점으로 가는데 걸리는 시간을 한번 비교해보십시오. 아주 정확히 잘 맞습니다. (특히 굴절에서 정확하게 계산하기 위해서는 물의 굴절율과 빛의 속력에 대한 정확한 값을 사용해야합니다.)

이런 경로를 찾는 법에 대한 수학은 좀 많이 많이 많이 어렵습니다. 그래서, 특별히 소개는 안하도록 합니다.

빛은 이렇게 최소한의 시간이 걸리는 경로로 가려는 성질이 있습니다.
이런 성질이 진공이나 균일한 물질속에서 나타나면 직진성을 보이는 것이며, 균일하지 않은 다른 물질을 만나게 되면 반사와 굴절의 성질을 보이게 됩니다.

> 사실 이런 최소 ** 원리는 빛의 성질뿐만 아니라 물질의 운동을 설명하는 등 현대의 물리 현상을 설명하는 기본적 방법입니다. (물리를 아주 아주 아주 아주 많이 배웠을 때)

직선의 정의

뭔가 신기한가요? 직선의 정의가 무엇인지 다시 돌이켜 보면 사실 신기할게 없을 수도 있습니다. 직선의 정의가 무엇인가요? “두 점 사이를 가장 짧은 거리로 연결한 선” 아닙니까? 거리를 최소로 하는 선이 직선이라는 점은 속력이 일정한 경우에는 시간을 최소로 하는 선과 같은 말이 됩니다.
그러니 빛이 직진하는 것을 최소 시간 원리로 설명하는 것은 직선의 정의와 아주 잘 들어 맞습니다.

자~~~ 그러면

지구 위에서 직선을 그어 봅시다. 예를 들어 서울에서 미쿡 시애틀까지 직선을 그어 봅시다.

> 이 지도는 구글의 허락없이 가져왔습니다. 구글씨 양해해주세요. 대신 광고해드릴게요.

> 광고 : 구글 지도 주소는 https://www.google.co.kr/maps 입니다.

그림의 직선이 과연 정의에 맞게 그린 것일까요?
직선의 정의대로 두 점 사이의 가장 짧은 거리라면 비행기는 가장 연료를 아끼기 위해서는 직선으로 날아가는 것이 가장 좋습니다. 그러니까 비행기에는 최소 연료 원리를 따라 날아가는 게 맞습니다. 그런데, 비행기는 대략 점선과 같은 경로로 날아갑니다. 물론 최소 연료 원리에 따라서만 날아가지는 않을 것입니다. 다른 나라 위를 날아갈때 돈도 내야하고 다른 문제도 있기 때문이죠. 그래서, 저는 어릴때 비행기가 바다에 빠지면 곤란하니까 혹시나 큰일이 생기면 비상착륙해야하니까 태평양 가장자리로 날아가는줄 알았습니다.

그런데, 사실은 지구본 위에서 비행기 경로를 보면 생각이 바뀝니다.

> 이 그림은 구글의 허락없이 가져왔습니다. 구글씨 양해해주세요. 대신 광고해드릴게요.

> 광고 : 구글 어스 주소는 https://www.google.co.kr/intl/ko/earth/ 입니다.

지구본 모양을 본따서 그린 지도에서 그린 직선은 위 지도의 점선과 아주 비슷합니다. 그러니까, 사실 비행기도 최소 연료 원리에 가깝게 날아가고 있었던 것입니다.

지구 표면에서 가장 짧은 거리로 연결한 선은 우리가 기존에 알고 있던 직선과는 성질이 완전히 다릅니다.

(그림의 처음) 정의에 따라 직선을 그리면 (중심이 지구의 중심인) 원의 형태가 됩니다.

> 아까 말씀 드린대로 이런 경로를 찾는 법에 대한 수학은 좀 많이 많이 많이 어렵습니다.  지구본위에 두 점을 실로 연결한 다음 그 실을 팽팽하게 만드는 법을 생각하면 도움이 될 것입니다.

뿐만 아니라, (그림의 중간) 두 직선을 평행선이라고 그리면 결국 두점에서 만나는 현상도 생깁니다.
뿐만 아니라, (그림의 마지막) 세 직선으로 삼각형을 그리면 내각의 합이 180도 보다 큰 현상도 생깁니다.

직선의 정의가 잘못된 것이 아니라, 기존에 알고 있던것과는 완전히 다른 기하학을 경험하게 되는 것입니다. 이를 구별하기 위해서 예전에 배웠던것을 유클리드 기하학이라고 하고, 유클리드 기하학이 아닌 것을 비유클리드 기하학이라고 합니다.

비유클리드 기하학에서도 여전히 직선의 정의는 동일합니다.

비행기는 어떻게 보면 지구의 곡면을 따라 휘어져 날아가니까 휘어져 날아가는 것이라고 말할 수도 있지만, 또 어떻게 보면 지구표면으로 날아갈 수 밖에 없다는 가정아래에서는 직선으로 날아가는 것입니다.

휘어져 날아간다고 말하는 것은 아까 말한 유클리드 기하학적인 관점이지만, 비유클리드 기하학 관점에서는 여전히 직선으로 날아가는 것입니다.

빛이 휘어진다구요? – 그래도 빛은 직진한다

빛의 직진성을 열심히 배웠는데 일반상대성이론이란 이야기에서는 빛이 휘어진다는 이야기가 나와서 위에서 지구위의 비행기 이야기를 꺼냈습니다.  일반 상대성 이론에 따르면 빛이 중력이 강한 곳에서는 측정가능할 만큼 빛이 휘어지는 것을 목격할 수 있다는 것입니다. 그럼, 빛의 직진성이 깨어진 것인가요?

비행기의 경우 지구 표면은 2차원의 공간이므로 3차원 공간에 사는 우리는 지구 표면을 휘어가는구나 알 수 있었지만, 우리가 2차원 공간만 인식할 수 있는 존재라면 정말로 지구가 휘어져 있다는 것을 절대로 알아챌수 없습니다. 실제로 비행기를 타고 날아가더라도 아~~ 지구 중심을 원으로 하는 곡선을 날아가는 구나라고 알지 못하기도 합니다. 만약 이런일이 3차원 공간에서 일어난다면 이제는 도저히 우리는 상상조차도 힘들어지는 것은 당연합니다. 그래도, 우리는 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 알고 있으니 (여기서 우리란 인간을 지칭합니다.) 측정을 통해 3차원 공간의 특성을 파악할 수 있습니다.

멀리 떨어져 있는 별에서 오는 별빛이 직선으로 오는 것은 알고 있는데, 태양근처를 지나면 (당연히 낮이니까 별빛이 보이지 않습니다. 대신 일식이 일어나면 별빛이 보일 때가 있습니다.) 평소에 있어야 되는 자리와는 약간 다른 자리에 나타나는 것을 측정할 수 있습니다. 평소에 있을 것이라 생각되는 자리와 다르게 나타나는 것이 빛이 휘어져서 그렇게 보이는 것이지요.

하지만, 물리학자들은 빛의 직진성이 깨어졌다고 생각하지 않습니다.
여전히 빛은 직진하는 것이고 공간이 휘어졌다고 생각하는 것입니다.

> 빛은 질량이 없기 때문에 중력이 있다고 힘을 받지 않습니다.

이렇게 태양의 중력이 공간을 휘게 할 수 있다는 결론을 이끌어낸 이론이 일반상대성이론입니다.

> 물론 저는 개론만 알고 있는 것이지 일반상대성이론을 잘 모릅니다.

> 지구의 중력도 휘게 할 수 있겠지만 값이 작아서 측정하기 어려울 뿐인 것입니다.  지구가 아무리 둥글다고 하더라 우리가 보기에는 평평해 보이는 것 처럼…

지구위의 비행기는 직진하고 있으며 다만 지구위를 날아갈 뿐입니다.
빛은 직진하고 있으며 다만 공간이 휘어졌을 뿐입니다.

빛이 휘어진다는 것은 우주 공간이 휘어질리가 절대 없다는 유클리드 기하학 신봉자들이 하는 말입니다.
비유클리드 기하학을 아는 사람은 “그래도 빛은 직진한다.”라고 할 것입니다.

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> 구심가속도 값을 구하는 것은 다른 곳에서 자료를 찾아보라고 했지만,
제가 찾아보니 마음에 드는게 없었습니다. 게다가 제가 일반 원운동의 구심가속도 크기를 구하는 법에 걸어둔 링크를 자꾸 클릭해서 조회수가 올라가서 급히 이 글을 쓰게 되었습니다. 물론 구글 검색 1등에서 2등으로 밀려난게 더 큰 이유입니다. 많은 분들이 구심가속도 유도를 검색하시더군요.

등속원운동의 구심가속도 크기를 구하는 방법을 크게 두 가지로 설명 드립니다. 하나는 기하학적인 방법이고 하나는 해석학적 방법입니다. 쉽게 말해 그림으로 구하는 것과 수식을 풀어서 설명하는 것입니다.
그럼, 그림으로 설명을 먼저 합니다.

> 당연히 [등속원운동과 구심력, 구심가속도  L5 ]에 대해서 잘 알고 있다고 가정하고 있습니다.

평균 속력

>모든 것을 다 까먹었다고 가정하고 설명하겠습니다. 아는 이야기가 나와도 참아주세요.

중학교때 접선을 배웠는데 기억나시나요?

원에서 두 점을 지나는 선을 살펴볼 때 두 점이 점점 가까워지면 결국 한점에서 만나고 이 선을 접선이라고 한다는 거….

평균속력을 중학교때 배웠지만 ( [운동의 기술 기초  L1  ]참조)

다 까먹었으니까 다시 한번 살펴 보지요.

어떤 물체가 등속원운동한다고 합시다. 여기서 등속은 속력이 일정하다는 것입니다.  즉 빠르기가 일정합니다.

그림에서와 같이 어느 두 순간의 평균속력을 구하라고 하면 (두 지점 사이를 이동한 거리)를 (이동하는데 걸린 시간)으로 나누어 주는 것입니다. 따라서, 호의 길이를 이동하는데 걸린 시간으로 나누어 줍니다.
그림과 같은 경우에는 시간을 잘 알 수 없으므로 한바퀴도는데 \( T \)만큼의 시간이 걸린다고 합시다.
그러면 이동거리는 호의 길이이므로 \( r \theta \) 걸린 시간은 \( \frac{\theta}{2 \pi} T \) 일 것입니다. (각도의 비례관계로 찾으면 됩니다.) 거리를 시간으로 나누어준 \( \frac{2 \pi r}{T} \) 이 평균 속력입니다. 다시 쓰기 귀찮으므로 \( v \) 라고 합시다.

> 각도 \(\theta\)는 물론 호도법(radian)을 썼습니다.

수식을 다시 천천히 생각해 보면 원을 한 바퀴 돌 때 거린 거리= 원의 둘레 \( 2 \pi r\) 를 원을 한바퀴 돌때 걸린 시간 \( T \) 로 나누어 준 것입니다. 속력이 바뀌지 않는 운동이므로 앞에서 처럼 복잡하게 계산할 게 아니라 지금 처럼 간단하게 계산하는게 훨씬 쉽지요.

그리고, 한바퀴돌고 나면 다음 바퀴는 처음 한바퀴돌때와 똑같은 운동을 하고 있습니다. 이런 것을 주기적인 운동이라고 하지고, 시간이 \(T\) 마다 반복되는 주기 운동입니다.
그 다음 각속도란 개념이 있습니다. 속도, 속력이 일정한 시간 동안 얼마의 거리가 변하는 가에 관심이 있다면 각속도는 일정 시간동안 얼마의 각이 변하는 가에 관심을 가질때 쓰는 개념입니다.

> 각을 표현하는 단위는 라디안을 쓰는게 기본입니다.
> 회전운동을 배울때 [회전에 사용되는 변수들  L7 ] 로 다시 배우게 됩니다.

그럼 등속원운동의 경우는 일정시간 T 동안 \(2 \pi \) 만큼 움직이므로 각속도는 각을 시간으로 나누어준 \(\frac{2 \pi}{T}\)가 됩니다. 속력을 \(v\) 라고 하듯, 각속도도 기호로 표시할 수 있는데 보통 \( \omega\) 를 잘 씁니다.

> 여기서는 각속력이라고 하는게 나을 것 같은데 이상하게도 한번도 각속력이란 말을 들어 본적이 없어서 그냥 각속도라고 하겠습니다.

그러면 평균 속력 \( v \) 는 \(r \omega\)가 됩니다.

각속도란 개념이 처음 나와 익숙하지 않은 분을 위해 다시 천천히 따져 보면

위의 그림 처럼 \( t \) 란 시간동안에 각이 \(\theta\) 변하면 호의 길이는 \( r \theta\)가 변합니다.

등속원운동이므로 각의 변화(빠르기)인 각속도는 \(\omega\) 로 일정하고 길이의 변화(빠르기)는 \(v\) 로 일정합니다.

그 값을 구해보면 각속도 \( \omega = \frac{\theta}{t} \) 가 되고 \( v = \frac{r \theta}{t}\)가 됩니다.

한바퀴 도는 데 걸린 시간이 T라고 하면 각은 \(2\pi\) 만큼 변하고 길이는 \( r 2 \pi \) 만큼 변하며

여전히 각속도는 \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) 이고 길이의 변화 즉 속력은 \( \frac{2\pi r}{T} \) 입니다.

그러니까 각과 호의 길이 간에는 서로 r을 곱하고 나누는 관계입니다.

\(v = r \omega\) 인 관계입니다.

평균 속도

> 속력과 속도는 구분하실 수 있으시지요? 다음 내용을 읽어 보다가 자신의 없으면 [운동의 기술 기본  L3 ]을 보시고 난 다음 다시 읽어 보시기를 …

이제는 등속원운동에서 평균 속도를 구해 봅시다.

이제는 평균 속도를 구하려고 하는데, 원운동은 2차원 평면에서 일어나는 일이기 때문에 직선에서 움직이는 식으로 생각하면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다.

그림에서 보듯, 호를 이동하는 것으로 생각하는 것이 아니라 현을 생각해야 합니다.
왼쪽의 검은 화살표는 두 순간의 변위를 표시한 것입니다. 물론 크기를 구할 수는 있겠지만, 복잡하므로 생략하겠습니다.

> 변위가 무엇인지 잊어 버렸다면 [운동의 기술  L5 ] 참조

평균속도를 구하라고 하면 이 변위를 (이동하는 데 걸린 시간)으로 나누어 주는 것입니다.
그값이 얼마인지 알 수 없으므로 오른쪽 녹색 화살표와 같이 됩니다. 물론 길이가 더 짧을 수도 길수도 있지만 편의상 길게 그린 것입니다. 방향은 검은색 화살표와 같습니다.

> 검은색 화살표와 녹색화살표는 서로 다른 차원의 물리량이므로 둘사이의 길이를 비교하는 것은 아무런 의미가 없습니다.

왼쪽은 변위, 오른쪽은 평균 속도를 화살표로 표시한 것입니다.

위쪽 그림 보다 아래쪽 그림은 이동하는 데 걸린 시간이 더욱 줄어 들었습니다. 그렇다면 왼쪽 검은색 화살표 길이가 짧아집니다. 하지만, 걸린 시간도 짧아지기 때문에 오른쪽 화살표의 길이가 많이 짧아지는 것은 아닙니다.
검은색 화살표(변위)의 길이가 바뀐 정도가 시간과 정비례하는 것은 아니므로 똑같지는 않을 것입니다. \( v_1 \neq v_2\)

> 검은색 화살표의 길이 (현의 길이)를 구하려면 복잡해서… 계산하기가 싫어요… 누가 대신좀 계산 해주면 고맙겠군요..

(순간) 속도

이제 어느 한 점, 어느 한 시각의 순간적인 속도를 구해 봅시다. 우리가 보통 속도라고 하면 바로 순간속도를 말하는 것입니다. 그러니까 순간이란 말은 처음 배울 때만 쓰는 말입니다.

먼저 위의 경우보다 더 짧은 시간의 평균 속도를 생각해 봅시다.

이제는 아주 짭아져서 두선으로 그리던 반지름이 결국 하나가 되어 버렸습니다.

그러면 왼쪽 화살표길이는 0 이 되겠지만, 위에서와 마찬가지로 오른쪽 녹색 화살표는 어느정도 길이를 가지고 있을 것입니다.

> \( v_1 \neq v_2\) 이야기를 한 이유는 순간이 되면 변위가 0 이 되더라도 속도는 0 이 되지 않는다는 이야기를 하기 위함이었습니다.

즉 속도의 크기는 어떤 값을 가지고 있을 것입니다. 이 속도의 크기는 절대 변하지 않는 등속원운동이라고 했으므로, 일정할 것입니다.

순간 속도의 크기를 보통 순간 속력이라고 합니다. 물론 처음 배울때에만 순간이란 말을 쓰지 나중에는 쓰지 않습니다. 순간 속도의 크기 즉 순간 속력이 변하지 않는 특성 때문에 이것은 평균 속력과 값이 같겠군요. 따라서, 속력은 위에서 말한 \(v\)가 됩니다.
물론 각속도로 표현하면 \( v = r \omega \)입니다.

속도는 방향을 가진 벡터량이므로 방향도 생각해야합니다. 그림에서 보는 그 방향입니다. 말로 표현하면 접선 방향입니다. 원의 중심방향과는 직각을 이루고 있습니다.
> 접선이란 말을 쓰기 위해 처음에 중학교 수학 이야기를 잠시 했습니다.

(구심) 가속도

이제 가속도를 구해 봅시다. 이게 원운동일 때는 특별히 구심 가속도라고 한다고 이름지었지만 뭔가 특별한 것은 아니라는 것을 한 번 더 강조 합니다.

> [등속원운동과 구심력, 구심가속도  L5 ]

(속도) 속도를 표시하던 화살표를 모두 하나의 점으로 모으면 오른쪽 그림 처럼 됩니다.

> 벡터량은 화살표와 달리 시작점, 끝점이란 개념이 없습니다. 위치를 바꾸어도 상관없는 양입니다.

화살표의 그 끝이 운동하는 것도 원운동하는 것과 똑같이 생각하면 가속도 문제를 풀 수 있겠네요. 위치의 변화를 시간으로 나누어준 것이 속도이듯이 속도의 변화를 시간으로 나누어 준것이 가속도이기 때문입니다.
그렇다면 똑같은 방식으로 아래 그림과 같은 결과를 얻게 됩니다.

물론 이번에는 가속도를 빨간색으로 그렸고, 길이는 짧게 그렸습니다. 앞에서 말한 것처럼 그 길이는 짧을 수도 길수도 있습니다. 아무런 의미는 없습니다. 그 길이는 가속도의 크기에 맞게 그리면 됩니다.

여기에 반대하시는 분 아무도 없으시죠?

그럼 그 가속도의 크기는 어떻게 구할까요? 바로 위 그림과 아래 그림은 크기는 다르지만 닮은 도형이란 점을 이용하면 됩니다.
걸린 시간은 똑같기 때문에 위 그림의 r과 v 의 관계는 아래 그림의 v와 a 와 관계와 같습니다.
따라서, r:v = v: a 입니다.
이것은 초딩 수학입니다. \( a = \frac{v^2}{r} \)이 됩니다.

그럼 방향은 어떻게 될까요? 그림에서 보는 그 방향입니다. 말로 표현하면 어떻게 되나요?

잘 표현하기 힘들다면 아래 그림을 보시지요.

원의 중심방향입니다.

그래서, 이 가속도를 특별히 이름 짓기를 구심가속도라고 합니다. 구심은 원의 중심을 향한 방향이란 뜻입니다.

이렇게 구심가속도의 크기를 구할 수 있습니다.

물론 각속도로 표현하면 즉, v 를 쓰지 않으면 \( a = r \omega ^2 \) 입니다. \(v\) 자리를 위에서 얻은 수식 \( v = r \omega\) 로 바꾸어 준것입니다.

이렇게 대입하기도 싫다면 이렇게 생각하면 더 쉽습니다.
원운동에서 속력값은 반지름 \(r\)에 \(\omega \) 를 곱해서 구할 수 있었습니다. 위의 닮은 도형의 관계를 생각하면 가속도 값은 속력에 \( \omega \) 를 곱해주면 됩니다. 즉 \( r \) 에 \( \omega \) 를 한번 곱하니 속도의 크기 (즉 길이의 순간 변화값) 또 한번 곱하면 가속도의 크기 (즉 속도의 순간 변화값).

> 제발 수식을 외우려 하지말고 물리현상에서 나타나는 의미를 파악하시기를 … 

해석학적으로 구하기

> 그림 그리고 설명을 길게 하느라 시간을 많이 소모했습니다. 뿐만 아니라 여러분이 해석학적으로 접근하는 것을 좋아하지 않을 것이므로 설명은 단순화 하고 과정만 쓰겠습니다.

원의 중심을 원점으로 삼은 좌표계에서

원운동하는 물체의 위치를 벡터 (\( x\), \(y\) ) 라고 하면 이것은 (\( r \cos \theta \), \( r \sin \theta\))

속도는 위치의 미분 (\( dx / dt \), \(dy / dt \))

즉 ( \(- r \sin \theta d\theta /dt\),\( r \cos \theta d\theta / dt\) )

\( d\theta / dt \) 가 바로 각속도 \(\omega\) 로 일정하므로

( \( – r \omega \sin \theta \),\( r \omega\cos \theta \) )

크기는 \( r \omega \) <– 벡터의 크기 구하는 법을 잘 안다고 가정.

방향은 위치벡터에 수직. <– 위치 벡터와 속도 벡터의 내적값을 구해보면 0 이므로 서로 수직임이 확실.

가속도는 속도의 미분이므로

미분한 값은 ( \( – r \omega \cos \theta d\theta / dt \) , \( – r \omega \sin \theta d\theta / dt \) )

즉 , ( \( – r \omega ^2 \cos \theta \) , \( – r \omega^2 \sin \theta \) )

크기는 \( r \omega ^2 \) <– 벡터의 크기 구하는 법을 잘 안다고 가정.

방향은 원의 중심 방향. <– 위에서 구한 값이 ( \( – \omega ^2 x \) , \( – \omega^2 y \) ) 즉 위치벡터에 – 를 곱한값이므로

해석학으로 구한 속도,가속도의 결론은 앞에서 기하학적으로 구한 것과 동일.!!

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고등학교 물리라면 여기까지가 끝이지만, 대학 물리는 그 다음 내용도 있습니다.

여기서 구한 값은 일반적인 원운동에서 구심가속도라고 말하는 것과 같습니다. 다른 것이 있다면 일반적인 원운동에서 \(\omega\)값이 시간에 따라 변하지만, 등속 원운동에선 시간에 따라 변하지 않는 일정한 값이란 차이가 있습니다. 그래서 일반적인 원운동의 구심가속도 구하는 것보다 훨씬 수식이 간단합니다.

> 일반적인 원운동에 대해서는 [일반 원운동에서 구심력, 구심가속도  L7 ]
를 참조하십시오.

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원래 할 얘기가 많이 없어 미루고 있었던 주제인데 오늘 너무 어이없는 걸 봐서 이렇게 글을 쓰게 되었습니다. 어느 초등생 교육 관련 회사 광고를 보았는데 딱지치기를 하면서 힘을 세게 주어 칠수록 딱지를 치면 상대방 딱지가 더 높이 튀어 오른다며 이게 작용 반작용의 원리랍니다. 뭐 이정도야 일상생활에서 많이 벌어지는 일이라 웬만해서 놀라지 않습니다. 그런데, 그 광고제목이 과학교실( 과학원리? 정확히 기억은 나지 않습니다.)라는것을 본 순간 실소를 금할수 없었습니다.

우리가 뭔가를 하면 다른 뭔가를 얻게 되는 것을 작용과 반작용이고 일상 생활용어에서도 많이 사용합니다. 뭔가 크게 하면 뭔가 큰 거를 얻을수 있다라는 곳을 알고 있습니다. 그러나 물리시간에 말하는 작용-반작용의 법칙은 이 보다는 훨씬 엄격헙니다. 이 엄격한 것을 묻는 물리 질문에 생활용어로 대답하면 그걸 틀렸다고 하는것입니다

뉴튼의 운동 3법칙이라고도 하는 작용-반작용의 법칙에서 작용과 반작용의 관계는 알고 나면 아주 찾기 쉽습니다. 완전히 국어문제일뿐입니다. 어떤 물체에 힘을 가하면 힘을 가한 물체가 있을 것입니다. 힘을 받는 물체를 A 라고 하고, 힘을 가하는 물체를 B라고 합시다. 힘에 해당하는 표현을 C 라고 합시다. A 물체에 B 란 물체가 C 란 힘을 가하고 있는 상황을 작용이라고 한다면 B 란 물체에 A 물체가 C 란 힘을 가하고 있는 것을 반작용이라고 합니다. 주어와 목적어를 서로 바꿔 쓰면 됩니다. 물론 상황에 따라 C 힘의 표현을 좀 예쁘게 다듬을 필요가 있습니다.

작용-반작용의 법칙은 작용에 해당하는 힘의 크기와 방향은 반작용에 해당하는 힘의 크기는 같고 방향은 반대가 된다는 법칙입니다. 이 법칙의 내용이 어렵기 보다는 반작용에 해당하는 힘이 무엇인지 찾는게 어렵습니다. 위에서 이 반작용에 해당하는 힘을 찾는 방법을 설명한 것입니다. 특히, 반작용과 힘의 평형을 헷갈리기 때문에 틀린 답을 내 놓는 경우가 많습니다. 아무 생각없이 주어 목적어를 바꾸어 준 다음 힘에 해당하는 부분을 좀 예쁘게 다듬게 되면 정답이 됩니다.

자 그러면, 딱지치기에서 작용-반작용을 살펴봅시다. 반작용을 설명할 때 관심을 가져야 할 주어, 목적어부분을 강조하기 위해 A,B를 적어 두었습니다. 목적어에 해당하는게 A, 주어에 해당하는게 B 입니다.

딱지치기와 작용 반작용 1

상대편 딱지가 땅에 놓여 있습니다. 상대편 딱지는 중력을 받지만 정지 상태에 있는 것으로 보아 상대편 딱지는 또 다른 힘을 받고 있는게 분명합니다. 이 힘을 수직항력이라고 합니다. 이 두 힘이 크기는 같고 방향은 반대로 주어지기 때문에 알짜힘은 0 이고 정지상태에 있는 것입니다. 이를 힘의 평형이라고 합니다. 두 힘의 관계는 작용 반작용이 아닙니다. 힘의 크기는 같고 반대방향이라고 작용 반작용의 관계에 있는 것이 아니라 작용반작용의 힘의 성격이 힘의 크기는 같고 반대방향이라는 것입니다. (수학적으로 역의 관계에 있는 말이고 역의 관계의 말은 반드시 동치가 아닙니다.)

상대편 딱지가 중력을 받는 것을 작용이라고 한다면 반작용에 해당하는 힘을 찾아 봅시다.
앞에서 말한 것과 같이 주어 목적어를 찾아서 바꿔주는 일을 하는 것입니다. 상대편 딱지 A 는 중력 C를 받습니다. B 란 물체가 무엇인지가 빠져 있습니다. 이 B란 물체를 찾아야 합니다. 그냥 중력이라고만 했지만 정확히는 지구가 딱지를 당기는 힘이므로 B란 물체는 지구입니다. 그러므로
작용은 엄밀히 상대편 딱지(A)를 지구(B)가 당기는 힘(중력,C)을 말하는 것입니다.

이 작용에 대한 반작용을 찾아 봅시다. 주어와 목적어를 바꿉니다. 지구(A)를 상대편 딱지(B) 가 당기는 힘(C)이 반작용에 해당하는 힘입니다. 이 힘은 작용에 해당하는 힘과 비교하면 크기가 같고, 방향은 반대방향입니다. 이런 관계는 항상 성립한다는게 뉴턴의 운동 3법칙, 작용-반작용의 법칙입니다.

자 그럼, 앞에서 평형을 이루고 있던 또 다른 힘 수직항력을 봅시다. 상대편 딱지(A)를 지구(B)로 부터 떠 받치고 있습니다. 이게 작용이라고 한다면 반작용은 지구(A)를 상대편 딱지(B)가 누르는 힘입니다. 위에 있는 물체가 아래 물체를 떠 받친다고 하는 게 표현이 안좋으므로 예쁘게 다듬은 것으로 누른다고 표현한 것입니다.

여기서 벌써 4개의 힘이 나왔습니다. 목적어에 해당하는 A 부분과 주어에 해당하는 B 부분을 가려서 다시 한 번 써 봅시다.

상대편 딱지(A)를 지구(B)가 당기는 중력 —- 1
상대편 딱지(A)를 지구(B)가 떠 받치는 힘 (수직항력) —-2

지구(A)를 상대편 딱지(B)가 당기는 중력 —-3
지구(A)를 상대편 딱지(B)가 누르는 힘 (수직항력) —- 4

> 4번 힘이 수직항력이라고 표현한게 이상하게 보이시는 분은 반드시 수직항력 편을 읽어 보십시오.

힘의 평형은 1,2 사이의 힘의 크기가 같고 방향이 반대인 것입니다. 평형은 A 가 같은 물체일때만 생각하는 것입니다.

1 과 3 은 힘의 크기가 같고 방향이 반대이지만 작용-반작용의 관계에 있는 것입니다. 서로 주어, 목적어를 바꿔쓴 힘입니다.
2 과 4 도 작용-반작용의 관계에 있는 힘입니다.

> 그럼 3,4 도 힘의 평형을 이루고 있나요? 예 여기서는 우연히도 목적어(A)에 해당하는 물체가 같아서 평형을 논의 할 수 있습니다. 두 힘의 크기가 같고 방향이 반대이고 다른 힘이 없다면 평형이라고 말할 수 있을 것입니다.

딱지치기와 작용 반작용 2

내 손에 쥐어진 딱지(A)를 내 손(B) 힘(C1)을 주어 땅쪽을 향합니다. 이게 작용이라면 반작용에 해당하는 힘은 내 손(A)을 딱지(B)가 밀어내는 힘(C2)입니다. ( 이렇게 접촉에서 밀어 내는 힘을 수직항력이라고 했습니다. )

내 딱지(A)는 지구(B)로 부터 중력(C3)을 받습니다. 이게 작용이라면 반작용은 내 딱지(B)가 지구(A)를 당기는 힘(C4)입니다. (일부러 조사를 바꿔 써 보았습니다. A(목적어) B(주어)를 순서를 바꿔 쓴 것입니다.)

힘의 평형을 따질때는 A 부분이 같은 힘을 따지는 것입니다. 그러니 C1과 C3 만 따져야지 C2, C4 번이 들어 오면 안됩니다. C1,C3 이 힘의 크기가 같고 방향이 반대인가요? 아닙니다. 그러니 평형상태가 아닙니다. 평형이 아니니 가속운동을 할 것이고 내 손의 힘을 받는 딱지는 땅쪽으로 가속 운동을 하게 됩니다.

그러나, C1,C2 의 힘은 작용-반작용의 관계에 있어서 힘의크기는 같고 방향은 반대입니다. C3,C4 의 힘도 작용-반작용의 관계 있고 힘의 크기는 같고 방향은 반대입니다.

힘의 평형과 작용-반작용을 구분할 수 있는지를 확인하기 위해 썼습니다.

딱지치기와 작용 반작용 3

내손의 쥐어진 딱지가 내 손을 떠나면 이제는 중력만을 받게 됩니다. 주어, 목적어만 바꿔쓰면 작용-반작용을 찾을 수 있을 것입니다.

이제 내 딱지가 상대편 딱지에 부딪히게 됩니다. 내딱지가 상대편 딱지에 부딪힐때 여러 힘을 받겠지만 정확히 닫는 면의 수직으로만 힘을 받는다고 해봅시다. (즉 수직항력만을 고려해 봅시다.) 내 딱지(B)가 상대편 딱지(A)를 누르게 되는 힘(수직항력)에 대해 반작용에 해당하는 힘은 상대편 딱지(B)가 내 딱지(A)를 밀어내는 힘(수직항력)입니다. (이번에도 일부러 주어 목적어 순서를 다르게 써 보았습니다.)

상대편 딱지는 원래 중력과 수직항력을 받아 평형 상태에 놓여 있었지만 지금은 내 딱지가 새로운 힘을 가했기 때문에 더 이상 평형상태가 아닙니다. 그러나, 아래 지구가 가속운동을 못하도록 방해 하고 있는 것으로 보아 지구가 상대편 딱지를 밀어내는 힘(수직항력)이 더 커졌을 것을 생각할 수 있습니다. 그래서, 내가 딱지를 내리치면 상대편 딱지가 위로 올라올 수도 있게 됩니다.

내가 더 세게 내리치면 내가 더 센 힘을 가해서 지구가 더 큰 힘으로 상대편 딱지를 밀어 올리는 것이 아닙니다. 내가 더 세게 내리치면 내 딱지는 더 큰 가속운동을 하게 되고 이렇게 더 빨라진 속도로 상대편 딱지와 부딪히게 되면 운동량의 변화가 커져서 = 즉 충격량이 커져서 = 힘을 더 크게 가하게 되고, 그 힘이 커진 만큼 결국 지구가 상대편 딱지를 밀어 올리는 힘도 더 크게 되기 때문입니다. (물론 충돌의 순간 가해지는 힘을 정확히 분석하는 것은 쉬운 일이 아닙니다.)

> 물리시간에 딱지치기를 설명하면 이렇게 말이 길어집니다.

딱지치기와 작용 반작용 정리

내 손(B)이 내 딱지(A)에 더 세게 힘을 가하면(작용) 반작용으로 내 딱지(B)가 내 손(A)을 더 세게 힘을 가하게 됩니다. 물리 시간이라면 그렇습니다.

하지만 일상 생활속에서는 내 손으로 딱지를 더 힘껏 내려치는 것을 작용, 지구가 상대편딱지를 더 세게 밀어올리는 수직항력이 커지는 것을 반작용이라고 하지만 물리시험 문제에서 이렇게 말하면 틀렸다고 합니다. 시험 문제에서 묻고 있는 것은 일상생활 속에서 쓰고 있는 작용과 반작용을 묻는게 아니라 뉴턴 운동 제 3법칙에서 작용과 반작용을 알고 있는가를 묻고 있는 것이기 때문입니다.

> 작용-반작용의 법칙이 항상 맞는 것일까요? 전자기학책 아래쪽 각주에서 전자기학중에 운동에서는 안 맞는 경우가 있다는 구절을 본 적이 있습니다. 그냥 설명이 없이 각주처리 되어 있었습니다. 그냥 갸우뚱한 적이 있었는데, 아직도 정확히 짚어본 적은 없습니다. 아마도 전하가 가속운동을 하는 경우에는 안맞는 경우도 있을 법하긴 합니다. (전하의 가속운동은 물리학 대학원생이 다루는 주제입니다.) 보통은 항상 맞는 법칙이라고 생각하시는 게 나을 것 같습니다. 전자기학 배우더라도 대부분 정전기,정자기를 배우므로 틀릴 일이 없습니다. 전하 2개 사이 쿨롱의 힘을 보아도 서로 크기는 같고 방향은 반대입니다.

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물리하면 생각나는 식인데, 이것부터 잘 모르면 앞으로 이야기하는데 많은 것들이 엉키게됩니다. 게시판에 질문을 하나 받은게 있어 어떻게 답을 해야하나 많이 고민하다가 살펴보니, 제가 쓴 글이 없군요. 내용은 [힘과 뉴턴의 법칙], [뉴턴의 법칙]에서 잘 배웠다고 치고, 그렇게 잘 배웠는데도 제대로 이해가 안 된 분들을 위해 이야기 하도록 하겠습니다.

관성의 법칙이 필요없는거 아닐까?

F=ma 에서 F=0 이면 a = 0 이 되므로, F=ma만 있어도 충분히 뉴턴의 1법칙이라고 부르는 [관성의 법칙]을 설명할 수 있습니다. 근데 왜 굳이, 귀찮게, 관성의 법칙을 따로 부르고 있을까요? 제가 대학교 1학년일 때 문득 든 생각입니다. 궁금해서 누군가에게는 물어보기에 너무 창피한 질문같아서 그냥 혼자 생각만 했습니다. (왜 우리나라 사람들은 모르는 것을 물어보는게 창피하고 부끄럽다고 생각할까요?)

가장 중요한 것이 관성의 법칙에는 질량(m)이란 개념이 전혀 필요없다는 점입니다. 다시 말하면 질량이란 개념은 뉴턴의 2법칙 즉, F = ma 에서 처음 등장한다는 것이지요. F=ma 를 배우기전 관성의 법칙을 배울 때면 운동을 어떻게 기술하는지 (즉, 시간, 위치, 속도, 속력, 가속도가 무엇인지) 알고 있어야 합니다. 그리고, 힘이 무엇인지도 알고 있는 상태입니다. (관성이란 것을 배웠지만) 아직 질량이 무엇인지에 대해서만 모르고 있는 것이죠. F = ma 에서 단순히 힘을 가하면 가속도가 생긴다고만 알고 있다면 반쪽만 배운 것입니다. 또 확실히 알아야 하는게 질량이지요. 즉 질량은 가해준 힘에 따라 가속도가 큰 것이 있을 수도 작은 것이 있을 수도 있는데, 만약 동일한 힘을 가했을 때 가속도가 크다면 질량이 작고, 가속도가 작다면 질량이 크다는 것도 말해준다는 것입니다. 교과서 순서로 따진다면 질량이 무엇인지를 처음 이야기 하는 것이고 질량 m = F / a 란 의미입니다.

> 그런데,  F=m a 이런식으로 표현이 너무 익숙해서 너무 중요한 사실을 잊고 있어서 일부로 좀 다시 써 보았습니다.  그와 더불어  F=m a 는 잘못된 것이고  a = F / m  이 맞다고 주장하는 사례를 많이 보았는데 글쎄요… 저는 거기에 동의하기 힘듭니다. 그 주장은 반쪽만 강조하는 것으로 보입니다. 

F = ma 란 법칙이 존재한다는 말에서 항상 ‘힘을 가하면’ 이란 조건에만 익숙한 것 같은데,  가속 운동을 하고 있는 어떤 물체가 있다면 그것은 어떤 힘을 받고 있다라고 말할 수 있다는 점을 잊으면 안됩니다. ‘힘’을 물체의 운동의 변화나 상태 변화를 일으키는 원인으로 배웠으니 운동이 인과관계가 있는 것 처럼 생각하지만 F=ma 만 보면 거꾸로 운동의 변화가 있다면 힘을 받는다고 생각할 수 있습니다. ‘운동의 변화’ 와 ‘힘’이 인과관계인가요? 그냥 동시 관계아닌가요?

> 운동의 변화는 가속도를 대체한 말이기도 합니다. [관성의 법칙]에서 ‘운동의 변화가 없다’란 말이 등속운동 즉, 가속도가 0 인 운동이라고 아주 강조해서 이야기 했습니다.

> 제가 여러군데에서 이야기하고 있는데,  물리를 처음 배우기 때문에 힘을 중요시 여기지만 물리학자들은 별루 힘에 대해서는 관심없습니다. 대략  200년 전 쯤에 힘 개념없이도 물체의 운동 문제를 잘 풀 수 있게 이론 정비를 해두었습니다. (심지어 제가 어디서 전해들은 바로는 뉴턴도 F=ma 라고 말한 적이 없다라고 하더군요. 사실인지는 모르겠지만… 또한 양자역학 배우면 아시겠지만 그 세계에서 힘에 대해서 물어보는 일이 없습니다.) 그러니,  제가 물음표 던진 질문에 대해서 너무 고민할 필요없습니다.

질량과 무게

자 질량이 뭔지는 정확히 모르겠지만 질량의 크기를 구하는 법은 이제 알게 되었습니다. 물체가 가속운동을 하고 있다면 그 물체는 반드시 힘을 받고 있습니다. 거꾸로 그 물체가 힘을 받는다면 가속도값을 가지게 될 것입니다. 그러니 그 값을 나누어 주면 즉, F/a 를 하면 질량값을 구할 수 있습니다.

교과서 순서는 분명 그러합니다. 그러나, 가속도의 크기를 구하는 방법은 앞의 시간에서 배운 바와 같이 시간과 위치를 잘 분석하면 알 수 있는데, 힘의 크기를 구하는 방법에 대해서는 배운 바가 없습니다. 1N 이 무엇이다라고 정확히 알고 있다면, 예를 들어  8N의 힘을 받을 때 물체가 2m/s^2 의 가속도로 운동한다면 물체의 질량은 4kg 이고, 그 물체가 1m/s^2 의 가속도로 운동한다면 물체의 질량이 8kg 인지 알 수 있을 것입니다. 한번 더 해 보면 2m/s^2으로 운동하는 물체가 받는 힘이 4N 이라면 이 물체의 질량이 2kg 이고, 받는 힘이 8N 이라면 4kg 인 것을 알 수 있습니다. 그…런…데… 1N 이 무엇이다라고 정해둔 적이 없다는 것입니다.

오히려 현재 물리학은 질량값에 대한 정의를 먼저 하는 쪽으로 시작한다는 것입니다. 질량이 뭔지는 정확히 모르겠지만, 일단 1kg 의 질량이란 양을 먼저 정해 두었다는 것입니다. [단위와 차원]에서 한 번 언급한 것과 같이 질량을 기본 단위로 정했습니다.

> 물리학자들이 힘에 대해서 관심이 별로 없다고 한 것과 일맥 상통하지요. 이렇게 힘을 기본 단위로 사용하지 않습니다.

따…라…서… 교과서에서는 1N 이란 힘은 1kg 의 질량을 가진 물체를 1m/s^2 의 가속도를 가지게 하는 량이라고 설명하고 있고, 심지어 F = ma 라고 하니, 뉴턴의 2법칙이 힘을 정의하는 법칙처럼 보인다는 점입니다.

앞에서 말한 바와 같이 질량이란 개념을 처음 소개하는 곳이기도 하고, 힘 개념을 처음 소개하는 것이 아니라 힘의 크기를 어떻게 정할지를 가르쳐 주는 곳이기도 합니다.

> 교과서는 질량은 어쩌꾸 저쩌구 ~~ 라고 설명하면서 시작하는게 아니라  힘은 어쩌구 저쩌구 ~~ 라고 설명하면서 시작합니다. (중학교 과정 힘 참조 )  제생각에는 그래야 우리가 배우기가 좋기 때문으로 보입니다.  우리의 감각기관이 질량을 느끼는게 아니라 힘을 느끼기 때문에 훨씬 더 직관적인 접근법입니다.

문…제… 는 kg 란 단위는 우리 일상생활에서 널리 쓰이고 있어서 마치 잘 알고 있다고 착각한다는 점입니다.
여러분의 몸무게는 얼마인가요? ‘저는 60kg 입니다.’라고 말합니다. (거짓말입니다. ㅋㅋ) 그래서, 무게가 질량을 말하는 것으로 착각하고 있다는 것이지요. 물리학 교과서를 따라 말하면 ‘저는 60kgf 입니다.’라고 말해야 한다는 것입니다. kgf 는 1kg의 질량을 가진 물체가 받는 중력의 크기, 즉 힘의 크기입니다. ‘kgf’ 대신 ‘kg중’ 이라고도 합니다. 즉 몸무게는 힘의 크기를 말하는 것이지 중력의 크기를 말하는 게 아닙니다. 앞에서 말한 질량값을 구하는 방법과 같이 힘을 얼마나 받았을 때 가속도가 얼마가 되는지 확인해서 측정한 값이 아니라 그냥 중력의 크기를 측정한 값입니다. 무게란 힘의 크기를 말하는 것이니까 질량과는 엄연히 다른 개념입니다.

물론 교과서에서 보았습니다. 기억이 나는 것 같습니다. 그게 무게이든 질량이든 뭐가 문제입니까라고 반문할 수 있다는 것입니다. 우리 일상생활에서는 전혀 중요하지 않습니다. 그러니까, 일상생활에서는 무게이든 질량이든 개념 구분없이 그냥 쓰는 것이고 그렇다고 뭐라고 하는 물리학자도 없습니다.

이 개념의 차이는 좀 특별한 곳에 가야 확실히 드러납니다. 몸무게가 60kgf 인 사람의 질량이 60kg 이므로 1m/s^2 의 가속도로 움직이고 있다면 60N의 힘을 받는 것이 확실합니다. 그 사람이 달에 가면 몸무게가 60kgf 가 아니라 10kgf 밖에 안나온다는 것입니다. 저울이 고장나서가 아니라 달의 중력이 약해서입니다. 하지만 그 사람은 달에서도 여전히 1m/s^2 의 가속도로 움직이기 위해서는 60N의 힘이 필요합니다.

> 언제가 달여행을 하실일이 생긴다면 반드시 저울을 하나 들고 가서 몸무게를 재어보세요. 제가 달여행 상품을 만든다면 반드시 무료로 저울을 드리도록 하겠습니다. ^^

정리하면 이렇습니다. 질량은 물체의 고유한 값입니다. 지구에서든 달에서든 동일한 값을 가지는 양입니다. 그러나 무게는 중력이란 힘을 말하는 값입니다. 그래서 지구에서와 달에서 그 값이 다릅니다. 예를 들어 질량이 60kg 인 물체는 지구나 달에서 모두 60kg 으로 값이 같지만, 지구에서는 60kgf ~ 600N 의 힘을 받지만, 달에서는 10kgf ~ 100N의 힘을 받습니다. 확실히 다른 양입니다.

관성 질량, 중력 질량

그냥 말 나온김에 더 써봅니다. 제가 앞에서 질량이 어떤 개념인지 잘 모른다고 했습니다. 모르는 척하는게 아니라 사실 잘 모릅니다. 우리가 F = m a 란 법칙을 이용해서 정한 질량개념을 관성질량이라고 합니다. 관성의 법칙에서 말하는 그 관성을 나타내는 양입니다. 하지만, 이 값을 정의 그대로 측정하지 않고 보통은 저울 위에 올려서 또는 천칭에 올려서 측정합니다. 이렇게 중력의 도움을 받아서 측정한 질량을 중력질량이라고 합니다.

> 중력의 도움을 받는다고 하는 이유는 중력이 없는 곳에서는 이런 방법으로는 도저히 질량을 측정할 수 없습니다. 

저울이 가르키는 눈금은 중력의 크기를 말해줍니다. 대략 중력이 600N 이란 값이 나왔다면( 즉 60kgf 란 값이 나왔다면) 그 물체는 60kg 일거라고 추정하는 것입니다. 물론 달에서는 100N 이란 값이 나왔다면 (즉 10kf 란 값이 나왔다면) 그 물체의 질량은 60kg 일거라고 추정하는 것입니다. 그런데 이렇게 중력의 도움을 받아서 측정한 질량값이란 관성의 법칙과 F = ma 에서 통용되는 방법으로 측정한 값이 다른 적이 한 번 도 없다는 점이 특이합니다. (등가 원리라고 합니다.) 왜 그런지 저는 잘 모릅니다. 그러니, 질량이 무엇인지 잘 모르겠다는 것입니다. 여러분도 왜 그런지 궁금한가요? 그럼 열심히 연구해 보십시오.

어떤 사람은 그게 왜 그런지 연구하지 않고 그냥 받아 들인 다음 아주 놀라운 결론을 내립니다. 관성질량과 중력질량은 항상 같다라고 합시다. 이건 어떤 이유도 근원도 없이 그냥 받아들여야 한다고 생각할 쯤되는 당연한 것이라고 합시다. (이쯤될 때는 법칙이라고 부르지 않고 원리라고 부릅니다.) 그래서 관성질량과 중력질량은 같다는 등가 원리가 있다고 합시다. 그것을 받아들이고 알고 있는 모든 지식들을 동원해서 질량이 없는 빛이 중력이 강한 곳을 지나가면 휘어서 움직이게 된다는 예측한 사람 [아인슈타인] 이 있고, 실제로 그 예측값이 잘 맞더라까지 측정까지 한 사람 [에딩턴] 이 있습니다. 혹시 열심히 연구해야지 결심하기 전에 이 사람들이 한 일 정도는 알고 계시라고 소개합니다.

> 중력질량과 관성질량이 구분이 안되더라로 너무 좌절할 필요는 없습니다. 교과서에서는 당연히 구분이 잘 안되게 설명하고 있고, 구분한다고 하더라도 결과적으로 한번도 다른 것을 발견한적이 없기 때문에 의미가 없습니다. 그러나, 머리속 상상으로는 충분히 구분이 가능하다는 것을 이야기하는 것입니다. 전자기학시간에 질량이 동일하더라도 전하량이 다를 수 있는 것처럼, 중력시간에 질량이 동일하더라도 ‘중력량’이 다를 수 있다고 시작해서 설명할 수 있을텐데, 현실에서는 질량이 동일하면 ‘중력량’이 항상 동일하다고 알려져 있습니다.  그러니, ‘중력량’ 이란 개념을 아예 처음 부터 쓰지 않습니다. 굳이 구분하자면 ‘중력량’ 이란 것이  가능한데, 이것이 위에서 말한 중력질량이란 개념입니다. 

알짜힘

그리고, 또 중요한 것은 F = ma 를 배울 때 F 는 우리가 가해준 힘을 말하는게 아닙니다. 저울위에 60kg 의 물체를 올려두었을 때 받는 중력을 말하는 것도 아닙니다. 이게 뭔 말인냐구요?

저울 위에 60kg 의 질량을 가진 물체를 올려두면 중력이 가한 힘이 60kgf ~ 600N 이 나옵니다. 그럼, 그 물체의 가속도는 10m/s^2 인가요? 아닙니다. 그 물체는 가만히 정지한 상태로 있습니다. 그 물체의 속도는 0 이고, 그 물체의 가속도는 0 입니다. 뉴턴의 2법칙이 맞다면 F = m a = 60[kg] * 0 [m/s^2] = 0 [N] 입니다. 그러니까, F = 0 입니다. 60kgf 가 아니라 0 입니다. 힘을 가해주면 물체가 가속되고 어쩌구 저쩌구 해놓고 이제 와서 왜 딴 소리를 하냐구요?

힘을 가해주면 물체가 가속한다는 말은 “다른 힘은 존재하지 않고 오로그 그 힘만을 가해주면”이란 말이 들어 있는데, 보통 그렇게 길게 설명하지 않습니다. 그러니 여러분이 착각하고 있었다면 가르쳐 주신분의 실수입니다. 그래서, 앞 부분 조금 읽다가 나간 사람은 잘 못 알고 있는 상태로 그냥 나간 것이지만 다행히 여러분은 그림하나 없는 긴 글을 읽고 계시는군요.

다시 저울 위의 60kg의 물체를 봅시다. 무엇을 어떻게 고쳐야 할까요? 중력이 0 이라고 할까요? 뉴턴의 법칙이 틀렸다고 할까요?

저는 제 3의 길로 가겠습니다. 중력은 60kgf 로 여전히 존재하고 뉴턴의 법칙도 여전히 맞다고 생각하겠습니다. 그렇다면 내릴 수 있는 다른 결론은 우리가 모르고 있는 어떤 힘이 가해져서 중력과 반대방향으로 60kgf 의 힘을 가하고 있구나 하는 결론입니다. 우리가 모르고 있는 어떤 힘은 [수직항력]편에서 다룹니다.

F=ma 에서 말하는 F 는 우리가 알든 알지 못하든 어쨌든 그 물체에 가해지는 모든 힘의 합을 말합니다. 어떤 힘을 합친 값을 합력이라고 합니다. 여기서 F 는 단순한 합력이 아니라 모..든.. 힘을 합친 합력입니다.
총…. 합력입니다. 영어로는 net force 라고 합니다. 다른 학문에서도 “net” 이 들어간 용어 들이 많이 있습니다. 보통 “총”~~ 라고 번역하더라구요. 이 표현을 한글화 하면서 나온 용어가 알짜힘입니다. ‘알짜배기’할 때 그 알짜 입니다. 운동의 변화량을 알 수 있는 알짜배기 힘이란 의미도 될 수 있겠죠. 조금 어색하긴 해도 익숙해지니까 정겹기도 합니다. (물리 용어 한글화하면서 살아남은 몇몇의 용어입니다.) 그래서, 영어로 된 물리학 책에는 F = ma 라고 하지 않고 F_net = ma 라고 하는 교과서도 있습니다. 정확히는 이렇게 쓰는 것이 혼동의 여지가 없습니다.

다시 저울의 사례로 돌아가 봅시다. 60kg 질량을 가진 물체를 저울에 가만히 올려두면 중력 60kgf 를 받고 우리가 잘 모르지만 나중에 배울 수직항력 60kgf 를 받고 있어 이 힘들의 총 합력은 0 이 됩니다. 알짜힘이 0입니다 따라서, 뉴턴의 2법칙 F= ma 에 따라 이 물체의 가속도는 0 이 될 것임을 예측할 수 있고, 그러므로 정지 할 것인지는 모르겠지만 속력이 변화하지 않을 것임을 예측할 수 있습니다. 그래서, 뉴턴의 법칙을 만족하는 지구에서는 중력이 존재하고, 그 물체를 저울에 올려 놓아서 물체가 저울에 닿는 순간 수직항력이 저울면의 수직으로 작용하는데 우리가 손을 떼게 되면 그 크기는 중력이랑 같은 값이 되므로 수직방향으로는 가속도가 0 이고, 가만히 놓으면서 속력도 0 이 되도록 했기 때문에 속력도 0으로 정지하여 있습니다.

> 물체를 저울에 올려놓는 걸 이렇게 길게 이야히 해야하다니……

그런데, 만약 누군가가 옆에서 이 물체를 10N 의 힘으로 밀게 되면 중력, 수직항력, 옆에서 민 힘의 합력 즉 모든 힘의 합인 알짜힘의 크기는 10N 만 남게 되므로 이물체는 a = F / m = 10 [N]/ 60 [kg] = 1/6 [m/s^2]의 가속도로 움직이고 있을 것입니다.

> 가속도를 가지게 되면 속력은 점점 더 빨라지고 있는 것입니다. 옆에서 10N 을 더 이상 가하지 않으면 (힘을 주지 않으면) 가속도는 0 이 되고, 속력은 변화하지 않기 때문에 힘을 가하지 않은 순간의 그 물체의 속력으로 움직일 것입니다.

정리

제가 지쳐서 여러분이 잘 정리해 보시길 바랍니다. 긴 글 읽느라 수고 하셨습니다.

> 이 글을 쓴 날 대략 2시간 쯤 안 쉬고 타이핑했던 것으로 기억합니다.

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이 글은 [엔트로피 변화량 구하기]를 잘 알고 있는 분이 읽어야 합니다.

사실 열역학 2법칙인 엔트로피 증가의 법칙을 안다고 시험문제를 푸는데 도움이 된 적은 없는 것 같습니다. 그러나, 이 법칙을 잘못 알고 있다가 막상 문제를 풀고난뒤 자신이 없어서 괜히 잘 풀어둔 답을 고쳐쓰는 잘못을 저지르지 않기 위해 이 글을 준비합니다.

엔트로피는 항상 증가하는 법칙이다?

이렇게 알고 있다면 큰일 날 가능성이 큽니다. 아래의 문제를 일단 풀어봅시다.

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예제 : 77K 의 질소 기체가 액화하여 77K의 액체로 바뀌면서 154J의 열량을 방출하였다. 질소의 엔트로피 변화는 얼마인가?

[엔트로피 변화량 구하기] 에서 보았듯이 질소에 출입한 열량을 \(\Delta Q\) 라고 하고, 온도를 T 라고 하면 엔트로피 변화량 \(\Delta S = \frac{\Delta Q }{T}\) 입니다. 질소에서 열이 방출하였으므로 \(\Delta Q\)= -154[J] 이 되고, 온도가 77[K]가 되므로 \(\Delta S = \frac{\Delta Q }{T}\)= – 154 /77 [J/K] = -2 [J/K]가 됩니다.

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분명히 엔트로피는 감소했습니다. 괜히 열역학 2법칙이 생각나서 +2[J/K]라고 착각하면 안됩니다. 열역학 2법칙은 엔트로피는 항상 증가한다는 법칙이 아닙니다. 열출입이 가능한 가역과정에서는 엔트로피는 증가할 수도 감소할 수도 있습니다. 따라서, 위 문제와 같은 경우는 엔트로피가 감소하는 것이 맞습니다.

고립계에서 엔트로피는 항상 증가하는 법칙이다?

열역학 2법칙에서는 고립계(닫힌계)에서란 단서 조건이 붙어 있습니다. 위의 예제와 같이 열출입이 가능한 경우에는 증가할 수도 있고 감소할 수도 있습니다. 그러니, 고립계란 단서조건이 달려있습니다. 그렇다면 고립계에서 엔트로피는 항상 증가할까요? 아래의 문제를 봅시다.

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예제 : 압력이 P, 부피가 V 인 이상기체의 온도는 T 이다. 단열된 조건에서 천천히 부피 팽창을 하여 2배가 되었다. 이때 엔트로피 증가량은 얼마인가?

압력 P, 부피가 V 란 조건을 주는 것은 이 문제를 잘못 풀도록 유도하기 위해 주어진 조건입니다. P,V가 생각나면서 무언가 식이 생각날 듯 안날듯 하면서 자신이 없습니다. 그러나 엔트로피를 구하는데는 전혀 관계가 없습니다. 단열 되었으므로 열출입이 없으며, 천천히란 말은 가역과정을 거친다는 뜻입니다. (물론 단열팽창의 경우라면 빨리 팽창하더라도 열출입이 영향을 받지 않기 때문에 중요한 부분도 아닙니다.) 따라서, 열출입이 없으므로 엔트로피 변화량도 0 이 됩니다.

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지금과 같이 열출입이 없는 고립계이면서 가역과정을 거친다면 엔트로피의 변화량은 0입니다.

고립계의 비가역과정에서 엔트로피는 항상 증가하는 법칙이다.

열역학 2법칙이 엔트로피 증가의 법칙이라고 부르는 것은 고립계이면서 비가역과정에서 엔트로피가 증가한다는 법칙입니다.

[엔트로피 변화량 구하기] 마지막 문제에서 보았던 경우처럼 고립계에서 비가역 과정인 경우에 분명히 엔트로피가 증가한 경우를 보았습니다. 그때 얻은 결과 \( m c ln \frac{T_f^2}{T_1 T_2} = m c ln \frac{(T_1 + T_2)^2}{4 T_1 T_2} \) 를 보면 \( T_1\) 과  \(T_2\)이 서로 다르다면   \(  \frac{(T_1 + T_2)^2}{4 T_1 T_2} \) 은 항상 1 보다 크므로 엔트로피 변화량은 항상 0 보다 큽니다. 따라서, 엔트로피가 항상 증가하는 경우입니다.

> 고등학교 수학문제로 \( {(T_1 + T_2)^2}-{4 T_1 T_2} = {(T_1 – T_2)^2}>0 \) 이므로 \( {(T_1 + T_2)^2}>{4 T_1 T_2} \) 이고 \(  \frac{(T_1 + T_2)^2}{4 T_1 T_2} > 1 \) 임이 분명합니다. 

비슷한 문제로 단열된 공간에 두 고체의 온도가 300K, 200K 가 있고, 온도가 높은 쪽 물체에서 600J 의 열이 온도가 낮은 쪽으로 흘러갔을 때 엔트로피의 변화를 살펴봅시다. [엔트로피 변화량 구하기]에서 설명하였듯이 비가역과정 문제는 엔트로피는 상태함수이므로, 동일한 상태의 가역과정일 때와 엔트로피의 변화량과 같으므로, 300K 인 물체에서는 엔트로피 변화는 대략 -600/300 = -2 [J/K] 인데 반해, 200K 인 물체에서는 엔트로피 변화는 대략 600/200 = 3 [J/K] 이므로 전체는 대략 1[J/K]의 엔트로피 증가한 것을 알 수 있습니다.

> 여기서 왜 대략이라고 하는지는 [엔트로피 변화량 구하기]를 제대로 이해하신 분은 감이 올것입니다. 열출입이 있으면 물체의 온도가 변하는 것이 보통이므로 위의 방식으로 구하는 것은 온도가 일정할 때만 구할 수 있는 방법이기 때문입니다. 지금처럼 엔트로피를 구하려면 600J의 열출입이 있더라도 온도가 변하지 않는 경우만 적용할 수 있지만, 주어진 문제에서는 온도가 떨어지고 올라갈 수 있으므로 맞지 않을 가능성이 크기 때문입니다. 물체의 열용량이 아주 크다면 reservoir 와 비슷하게 열출입이 있더라고 거의 온도 변화가 없을 것입니다. 이문제에서는 물체의 열용량은 주어지지 않았고 대략의 감만 가지자는 이야기입니다.

이 문제와 같은 경우라면 온도가 몇 도이든 출입한 열량이 얼마이든 온도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 열이 움직이면 엔트로피 계산은 나누기해주는 온도값 때문에 항상 엔트로피가 증가하는 것을 볼 수 있습니다. 단열된 곳이라면 뜨거운 물체는 온도가 떨어지고, 차가운 물체는 온도가 낮아질 것이고 열은 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 이동한다는 법칙과 열역학 2법칙이 같은 이야기를 하고 있는 것입니다.

> 이 문제에서도 마찬가지로 고립계가 아니라면 처음과 같이 엔트로피는 증가할 수도 감소할 수도 있습니다. 즉, 단열을 하지 않는다면 외부의 온도에 따라 이 물체들에 열이 들어 올 수도 나올 수도 있기 때문에 엔트로피 변화량은 0보다 클수도 작을 수도 있습니다.

이런 상황 뿐만 아니라 비가역과정인 어떤 경우라도 고립계라면 엔트로피는 증가한다는 법칙입니다.

우주의 엔트로피는 항상 증가한다.

열역학 2법칙이 고립계란 단서 조건이 붙어 있으므로 현실에서는 쓸모가 없는 법칙이긴 합니다. 우리 일상의 대부분은 단열이 잘 된 것도 아니므로 열출입이 있기 때문에 현실적이지 않습니다. 그래서, 처음 문제처럼 엔트로피가 감소하는 경우도 있습니다. 그러나 우주 전체를 볼 때는 그렇지 않습니다. 우주 전체란 그 밖으로 열출입이 불가능한 고립계입니다. 우주 밖으로 열출입이 가능한 곳이 있다면 그곳까지 다 포함해서 우주전체가 됩니다. 더 이상 그 밖의 세상을 상상할 수 없는 곳을 우주라고 한다면 우주는 고립계가 됩니다.

처음 문제에서 엔트로피가 감소했지만 대신 그 밖의 세상은 엔트로피가 증가했을 것입니다. 즉, 우주 전체를 생각하면 엔트로피는 변화가 없거나 증가했을 것입니다. 가역과정이라면 엔트로피는 변화하지 않았고, 비가역과정이라면 엔트로피는 증가했을 것입니다.

우주 전체에서 일어나는 일 중에 비가역과정이 수 없이 많이 볼 수 있습니다. 우리가 공을 굴리면 결국은 멈추어 섭니다. 그 공이 저절로 우리에게 돌아오는 경우를 본적이 없습니다. 우주 전체에는 비가역과정이 아주 많이 있기 때문에 우주의 엔트로피는 항상 증가한다고 생각할 수 있습니다. 따라서, 열역학 2법칙을 엔트로피의 증가의 법칙이라고 부르는 것은 우주 전체를 염두에 두고 한 말인듯합니다.

시험 문제를 풀 때는 좀 더 정확히 알고 있어야겠지요. 고립계에서는 가역과정이라면 엔트로피의 변화량은 0 이고, 비가역과정이라면 엔트로피 변화량은 0보다 크다. 즉, 고립계에서는 엔트로피가 감소하는 일이 절대로 일어나지 않는다. 물론 열출입이 가능한 경우라면 엔트로피는 증가할 수도 감소할 수도 있다. 이제 교과서를 다시 한 번 펼쳐서 읽어보시면 열역학 2법칙 설명이 무슨 말인지 이해가 될까요?

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이글을 네이버에 썼던 글을 삭제하면서 정리 중에 있는 글입니다.

부력이 작용하는 곳에서 관성력의 영향은 뭔가 특별한 일이 일어나는 것처럼 보입니다.

특히나 헬륨풍선이 있는 곳에서 관성력을 생각하는 경우입니다. 헬륨풍선이 하늘을 날아가는 이유에 대해서는 알고 있지요?

 

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